2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之二次函数练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之二次函数练习，共22页。试卷主要包含了之间满足关系，已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3等内容，欢迎下载使用。
1．（2024秋•鼓楼区校级期中）把二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2B．y＝2（x+1）2C．y＝2x2﹣1D．y＝2x2+1
2．（2024秋•东川区期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝1500（1+x）2B．y＝1500（1﹣x）2
C．y＝（1+x）2+1500D．y＝x2+1500
3．（2024秋•江夏区期中）抛物线y＝（x+2）2﹣6的顶点坐标为（ ）
A．（2，6）B．（﹣2，﹣6）C．（2，﹣6）D．（﹣2，6）
4．（2024•犍为县模拟）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
5．（2024秋•蓬江区校级期中）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（ ）
A．①②④B．①③⑤C．①②③D．①④⑤
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•老城区期中）抛物线y＝x2﹣2x﹣6，当﹣1＜x＜4时，函数y的取值范围是 ．
7．（2024秋•闵行区期中）用一根长15厘米的铁丝制成一个长方形框架，设长方形的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，则y关于x的函数解析式是 ．
8．（2024秋•崂山区期中）在正常情况下，10米跳台跳水运动员必须在距水面不小于5m时完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员距离水面的高度h（m）和运动员起跳后的运动时间t（s）之间满足关系：h＝10+2.5t﹣5t2，则当h＝5时，10+2.5t﹣5t2＝5即2t2﹣t﹣2＝0．
根据表格中的对应值，可判断运动员完成动作的时间最多不超过 s．（精确到0.1）
9．（2024秋•西湖区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．当0≤x≤3时，则y的取值范围 ．
10．（2024秋•丰台区校级期中）某商场第一年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，则第三年的销售量y关于每年增加的百分率x的表达式为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2023秋•蚌埠期末）已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．
12．（2024•新城区校级模拟）某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置OA喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为y（m），水流与OA之间的水平距离为x（m），y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置OA高度为3.5米，水流最高处离喷水装置OA的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米．
（1）求水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式；
（2）若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置OA多少米处，才不会被喷出的水流击中？
13．（2024•垦利区模拟）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标．
14．（2024秋•沙坪坝区校级期中）如图，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（0，1）和B（﹣2，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C（m，7）为第二象限内抛物线上一点，连接AC，点P为线段AC下方抛物线上一点，过点P作PD∥AC交y轴于点D，求22PD+AD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AB、BC，将原抛物线沿射线BA方向平移22个单位长度，若点M为平移后新抛物线上一点，过点M作MN⊥y轴于点N，直接写出所有使得△AMN相似于△ABC的点M的横坐标．
15．（2024秋•平谷区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）画出它的图象；
（2）该二次函数图象的对称轴为 ，顶点坐标为 ；
（3）当x 时，y的值随x值的增大而减小；
（4）当y＞0时，x的取值范围是 ；
（5）当0≤x≤4时，y的取值范围是 ．
2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•鼓楼区校级期中）把二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2B．y＝2（x+1）2C．y＝2x2﹣1D．y＝2x2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平移规则“左加右减，上加下减”，即可求解．
【解答】解：根据平移规则“左加右减，上加下减”，把二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为y＝2x2﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的平移，解题的关键是：熟记平移规律，
2．（2024秋•东川区期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝1500（1+x）2B．y＝1500（1﹣x）2
C．y＝（1+x）2+1500D．y＝x2+1500
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】A
【分析】利用该品牌头盔9月份的销售量＝该品牌头盔7月份的销售量×（1+7月份到9月份销售量的月增长率）2，即可列出y与x的函数关系．
【解答】解：根据题意得：y＝1500（1+x）2．
故选：A．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系是解题的关键．
3．（2024秋•江夏区期中）抛物线y＝（x+2）2﹣6的顶点坐标为（ ）
A．（2，6）B．（﹣2，﹣6）C．（2，﹣6）D．（﹣2，6）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）求解即可．
【解答】解：抛物线y＝（x+2）2﹣6的顶点坐标是（﹣2，﹣6），
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
4．（2024•犍为县模拟）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
【考点】抛物线与x轴的交点．
【答案】C
【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0
∴k＞﹣1
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数
∴k≠0
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．
5．（2024秋•蓬江区校级期中）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（ ）
A．①②④B．①③⑤C．①②③D．①④⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵−b2a=1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，符合题意；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②错误，不符合题意；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误，不符合题意；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确，符合题意；
⑤由图象可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑤正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•老城区期中）抛物线y＝x2﹣2x﹣6，当﹣1＜x＜4时，函数y的取值范围是 ﹣7≤y＜2 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】﹣7≤y＜2．
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为x＝1，处于x取值范围内，将对称轴代入抛物线解析式即可得到y的最小值，再根据距离对称轴x＝1越远的函数值越大，即可得到y的最大值，并注意根据x取值范围，y的取值能否等于最小值和最大值，即可解题．
【解答】解：由题可知：抛物线y＝x2﹣2 x﹣6开口向上，对称轴为x=−−22×1=1，
∵﹣1＜1＜4，
∴y的最小值为12﹣2×1﹣6＝﹣7，
∵|﹣1﹣1|＝2＜|1﹣4|＝3，
∴y的最大值为42﹣2×4﹣6＝2，
∴当﹣1＜x＜4时，函数y的取值范围是﹣7≤y＜2，
故答案为：﹣7≤y＜2．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特点，正确记忆相关知识点是解题关键．
7．（2024秋•闵行区期中）用一根长15厘米的铁丝制成一个长方形框架，设长方形的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，则y关于x的函数解析式是 y＝﹣x2+152x ．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积．
【解答】解：由题意知，长方形的另一边长为15−2x2厘米，
则面积y＝x•15−2x2=−x2+152x，
故答案为：y＝﹣x2+152x．
【点评】本题考查列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点．
8．（2024秋•崂山区期中）在正常情况下，10米跳台跳水运动员必须在距水面不小于5m时完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员距离水面的高度h（m）和运动员起跳后的运动时间t（s）之间满足关系：h＝10+2.5t﹣5t2，则当h＝5时，10+2.5t﹣5t2＝5即2t2﹣t﹣2＝0．
根据表格中的对应值，可判断运动员完成动作的时间最多不超过 1.3 s．（精确到0.1）
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】1.3．
【分析】根据表格中的对应值，即可得到结论．
【解答】解：根据表格中的对应值，可判断运动员完成动作的时间最多不超过1.3s，
故答案为：1.3．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确解一元二次方程．
9．（2024秋•西湖区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．当0≤x≤3时，则y的取值范围 ﹣4≤y≤0 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】﹣4≤y≤0．
【分析】通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4．
y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
将x＝3代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝0，
∴0≤x≤3时，﹣4≤y≤0，
故答案为：﹣4≤y≤0．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质才能比较熟练解决问题．
10．（2024秋•丰台区校级期中）某商场第一年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，则第三年的销售量y关于每年增加的百分率x的表达式为 y＝5000（1+x）2 ．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先表示出第二年的为5000（1+x），然后表示出第三年的为5000（1+x）2，从而确定答案．
【解答】解：设每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，
根据题意得：y＝5000（1+x）2，
故答案为：y＝5000（1+x）2
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是分别表示出第二年和第三年的销售量，难度中等．
三．解答题（共5小题）
11．（2023秋•蚌埠期末）已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接设顶点式，再用待定系数法求二次函数的解析式．进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴方程．
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把顶点和点（1，﹣3）代入解析式，得：
a=−54，所以抛物线的解析式为：y=−54(x+1)2+2；
（2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴x＝﹣1．
【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．
12．（2024•新城区校级模拟）某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置OA喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为y（m），水流与OA之间的水平距离为x（m），y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置OA高度为3.5米，水流最高处离喷水装置OA的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米．
（1）求水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式；
（2）若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置OA多少米处，才不会被喷出的水流击中？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣0.5（x﹣3）2+8；（2）花盆需至少离喷水装置OA为7米处，才不会被喷出的水流击中．
【分析】（1）依据题意得，抛物线的顶点为（3，8），从而可设抛物线为y＝a（x﹣3）2+8，又抛物线过（0，3.5），进而计算可以得解；
（2）依据题意，由抛物线为y＝﹣0.5（x﹣3）2+8，进而令y＝0，则0＝﹣0.5（x﹣3）2+8，求出x的值即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（3，8），
∴可设抛物线为y＝a（x﹣3）2+8．
又抛物线过（0，3.5），
∴3.5＝9a+8．
∴a＝﹣0.5．
∴水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝﹣0.5（x﹣3）2+8．
（2）由题意，∵抛物线为y＝﹣0.5（x﹣3）2+8，
∴令y＝0，则0＝﹣0.5（x﹣3）2+8．
∴x＝7或x＝﹣1（不合题意，舍去）．
∴花盆需至少离喷水装置OA为7米处，才不会被喷出的水流击中．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
13．（2024•垦利区模拟）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y=−12x2+32x+2；
（2）P（2，3）；
（3）N点坐标为（1，0）或（−5+412，0）或（−5−412，0）或（7，0）．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，设P（t，−12t2+32t+2），则Q（t，−12t+2），则S=12×4×（−12t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）；
（3）设M（m，−12m2+32m+2），N（n，0），根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，结合中点坐标公式求n的值即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴a−b+c=0c=216a+4b+c=0，
解得a=−12b=32，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+2，
∴4k+2＝0，
解得k=−12，
∴直线BC的解析式为y=−12x+2，
过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，
设P（t，−12t2+32t+2），则Q（t，−12t+2），
∴PQ=−12t2+32t+2+12t﹣2=−12t2+2t，
∴S=12×4×（−12t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）；
（3）设M（m，−12m2+32m+2），N（n，0），
当BC为平行四边形的对角线时，4＝m+n，2=−12m2+32m+2，
解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝1，
∴N（1，0）；
当BM为平行四边形的对角线时，m＝4+n，0=−12m2+32m+4，
解得m=3+412，n=−5+412或m=3−412，n=−5−412，
∴N（−5+412，0）或（−5−412，0）；
当BN为平行四边形的对角线时，n＝4+m，2=−12m2+32m+2，
解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝7，
∴N（7，0）；
综上所述：N点坐标为（1，0）或（−5+412，0）或（−5−412，0）或（7，0）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
14．（2024秋•沙坪坝区校级期中）如图，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（0，1）和B（﹣2，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C（m，7）为第二象限内抛物线上一点，连接AC，点P为线段AC下方抛物线上一点，过点P作PD∥AC交y轴于点D，求22PD+AD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AB、BC，将原抛物线沿射线BA方向平移22个单位长度，若点M为平移后新抛物线上一点，过点M作MN⊥y轴于点N，直接写出所有使得△AMN相似于△ABC的点M的横坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数的应用；图形的相似；应用意识．
【答案】（1）y=12x2+2x+1；
（2）P（﹣4，1），最大值为8；
（3）M的横坐标为：−23或23或6或﹣6．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先求解C（﹣6，7），可得AC为y＝﹣x+1，如图，过P作PF⊥y轴于F，证明kPD＝﹣1，∠PDF＝45°＝∠FPD，可得PF=DF=22PD，设P(m，12m2+2m+1)，可得22PD+AD=−12m2−4m(−6＜m＜0)，再利用二次函数的性质解答即可；
（3）先求解B（﹣2，﹣1），可得直线AB为y＝x+1，可得新的抛物线为：y=12x2+1，证明AC2+AB2＝BC2，∠BAC＝90°，设M(x，12x2+1)，如图，当M在y轴的左侧时，∠ANM＝∠BAC＝90°，如图，当M在y轴的右侧时，∠ANM＝∠BAC＝90°，再利用相似三角形的判定方法建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c经过点A（0，1）和B（﹣2，﹣1），
∴c=12−2b+c=−1，
解得：b=2c=1，
∴抛物线的解析式为y=12x2+2x+1；
（2）∵点C（m，7）为第二象限内抛物线上一点，
∴12m2+2m+1=7，
解得：m＝﹣6或m＝2（不符合题意，舍去），
∴C（﹣6，7），
∵A（0，1），
设AC为y＝kx+1，
∴﹣6k+1＝7，解得：k＝﹣1，
∴AC为y＝﹣x+1，
如图，过P作PF⊥y轴于F，
∵PD∥AC，
∴kPD＝﹣1，∠PDF＝45°＝∠FPD，
∴PF=DF=22PD，
设P(m，12m2+2m+1)，
∴PF＝DF＝﹣m，F(0，12m2+2m+1)，
∴12m2+2m+1−(−m)=12m2+3m+1，
∴D(0，12m2+3m+1)，
∴AD=1−12m2−3m−1=−12m2−3m，
22PD=PF=−m，
∴22PD+AD=−m−12m2−3m=−12m2−4m(−6＜m＜0)，
∴当m=−−42×(−12)=−4时，最大值为−12×(−4)2−4×(−4)=8，
此时P（﹣4，1）；
（3）∵y=12x2+2x+1=12(x+2)2−1，
∴B（﹣2，﹣1），而A（0，1），
同理可得直线AB为y＝x+1，
∴将原抛物线y=12(x+2)2−1沿射线BA方向平移22个单位长度，相当于将原抛物线y=12(x+2)2−1往右，往上都平移2个单位；
∴新的抛物线为：y=12x2+1，
∵A（0，1），B（﹣2，﹣1），C（﹣6，7），
∴AB=(−2−0)2+(−1−1)2=22，
BC=(−2+6)2+(−1−7)2=45，
AC=(−6−0)2+(7−1)2=62，
∴AC2+AB2＝BC2，∠BAC＝90°，
设M(x，12x2+1)，
如图，∠ANM＝∠BAC＝90°，
∴当ABAC=ANMN时，△AMN相似于△ABC，
∴|12x2+1−1||x|=2262=13，
整理得：3x2+2x＝0或3x2﹣2x＝0，
解得：x=±23或x＝0（不符合题意，舍去），
当ABAC=MNAN时，△AMN相似于△ABC，如图所示：
∴|12x2+1−1||x|=3，
整理得：x2+6x＝0或x2+6x＝0，
解得：x＝±6或x＝0（不符合题意舍去），
综上：M的横坐标为：−23或23或6或﹣6．
【点评】本题考查的是二次函数的综合题，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．
15．（2024秋•平谷区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）画出它的图象；
（2）该二次函数图象的对称轴为 x＝1 ，顶点坐标为 （1，﹣4） ；
（3）当x ＜1 时，y的值随x值的增大而减小；
（4）当y＞0时，x的取值范围是 x＞3或x＜﹣1 ；
（5）当0≤x≤4时，y的取值范围是 ﹣4≤y≤5 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】（1）图象见解答；
（2）x＝1，（1，﹣4）；
（3）x＞3或x＜﹣1；
（4）﹣4≤y≤5．
【分析】（1）根据函数解析式求出抛物线的对称轴，顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，然后根据函数的性质用五点法作出函数图象；
（2）根据函数图象即可得出结论；
（3）根据函数图象即可得出结论；
（4）根据函数图象即可得出结论；
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）；
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）；
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
图象如图所示：
（2）二次函数图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
故答案为：x＝1，（1，﹣4）；
（3）由图象得，当x＜1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为：＜1；
（3）当y＞0时，x的取值范围是x＞3或x＜﹣1，
故答案为：x＞3或x＜﹣1；
（4）当x＝0时，y＝﹣3；当x＝4时，y＝5，
∴当0≤x≤4时，y的取值范围是﹣4≤y≤5，
故答案为：﹣4≤y≤5．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的性质．
考点卡片
1．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
2．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
3．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
4．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
6．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
7．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
8．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
9．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．t
1.1
1.2
1.3
1.4
2t2﹣t﹣2
﹣0.68
﹣0.32
0.08
0.52
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