2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之用频率估计概率练习

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2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之用频率估计概率一．选择题（共5小题）1．（2024秋•碑林区校级期中）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数可能是（　　）A．12 B．16 C．18 D．202．（2024秋•兰州期中）近年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影部分面积的频率稳定在0.7左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（　　）A．9.6 B．11.2 C．4.8 D．0.33．（2024秋•崂山区期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（　　）A．2.9枚 B．3枚 C．7枚 D．7.1枚4．（2024•六盘水二模）袋中有50个除颜色外其余均相同的小球，从中摸出一个红球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为（　　）A．20 B．15 C．10 D．55．（2024秋•萧山区期中）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2%左右，则鱼塘中估计有鱼（　　）条．A．4000 B．5000 C．10000 D．2000二．填空题（共5小题）6．（2024秋•乐清市期中）在一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，这些球除颜色外无其他差别，随机从中摸出1个，记下颜色后，放回并摇匀．通过大量实验后发现摸出白球的频率逐渐稳定于0.4，则盒子中白球的个数可能是　 　．7．（2024秋•碑林区校级期中）一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将6个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在0.3附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为 　 　．8．（2024秋•龙岗区期中）为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图（a）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图（b）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为 　 　度．9．（2024•青秀区校级二模）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为　 　．10．（2024•光明区校级三模）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 　 　m2．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•莲湖区校级期中）某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢恵顾”两种卡片（两种卡片形状、大小相同，质地均匀），下表是活动进行中的一组统计数据．（1）填空：a＝　 　，b＝　 　．（2）根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率为 　 　.（精确到0.1）12．（2024秋•西安期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）①上表中的a＝ 　 　，b＝ 　 　；②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是 　 　；（精确到0.1）（2）试估计盒子中黄色乒乓球的个数．13．（2024秋•福田区校级期中）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．如表是此次活动中的一组统计数据：（1）完成上述表格，其中a＝ 　 　，b＝ 　 　；（2）请估计当n很大时，频率将会接近 　 　，假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 　 　；（本小问结果全部精确到0.1）（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是 　 　°；（4）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用A、B、C表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率．14．（2024秋•永寿县校级期中）刘老师将4支红中性笔芯和若干支黑色中性放入一个不透明的盒子中并搅匀，这些中性笔芯除颜色不同外其余都相同，他让若干学生进行摸笔芯试验，每次摸出一支中性笔芯，记下颜色后，放回搅匀，经过多次试验发现，从盒中摸出一支笔芯是红色中性笔芯的频率稳定在0.2．试估算盒中黑色中性笔芯的数量．15．（2024春•句容市期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制成了如图所示的统计图，请根据图中信息回答问题：（1）该名运动员正中靶心的频率在 　 　附近摆动，他正中靶心的概率估计值为 　 　．（2）如果一次练习时他一共打了150枪．①试估计他正中靶心的枪数．②如果他想要在这次练习中想要打中靶心180枪，请计算出他还需要打大约多少枪？2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之用频率估计概率参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2024秋•碑林区校级期中）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数可能是（　　）A．12 B．16 C．18 D．20【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】C【分析】根据红球在总数中所占比例与实验所得频率应该相等，列式解答即可求出答案．【解答】解：设袋中红球有x个，根据题意，可得x30=0.6，解得：x＝18，则红球的个数为18个．故选：C．【点评】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．2．（2024秋•兰州期中）近年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影部分面积的频率稳定在0.7左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（　　）A．9.6 B．11.2 C．4.8 D．0.3【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；运算能力．【答案】C【分析】先求出落入白色部分的概率，进而可得出结论．【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，∴落在白色部分的概率约为1﹣0.7＝0.3，∴估计此二维码中白色部分的面积＝16×0.3＝4.8．故选：C．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．3．（2024秋•崂山区期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（　　）A．2.9枚 B．3枚 C．7枚 D．7.1枚【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】B【分析】根据题意，可以计算出白球出现的概率，从而可以得到黑球出现的概率，从而可以求得黑球的个数，本题得以解决．【解答】解：∵71÷100≈0.7，∴黑球的数量为：10×（1﹣0.7）＝10×0.3＝3（枚），故选：B．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．4．（2024•六盘水二模）袋中有50个除颜色外其余均相同的小球，从中摸出一个红球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为（　　）A．20 B．15 C．10 D．5【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】C【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：设盒子中有红球x个，由题意可得：x50=0.2，解得：x＝10，故选：C．【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．5．（2024秋•萧山区期中）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2%左右，则鱼塘中估计有鱼（　　）条．A．4000 B．5000 C．10000 D．2000【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】B【分析】用标记鱼的数量除以其频率的稳定值即可得出答案．【解答】解：鱼塘中鱼的数量约为100÷2%＝5000（条），故选：B．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•乐清市期中）在一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，这些球除颜色外无其他差别，随机从中摸出1个，记下颜色后，放回并摇匀．通过大量实验后发现摸出白球的频率逐渐稳定于0.4，则盒子中白球的个数可能是　8　．【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】8．【分析】球的总个数乘以白球频率的稳定数值即可得出答案．【解答】解：盒子中白球的个数约为20×0.4＝8（个），故答案为：8．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．7．（2024秋•碑林区校级期中）一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将6个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在0.3附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为 　14　．【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】14．【分析】用红球的个数除以其频率的稳定值得出球的总个数，继而可得白球的个数．【解答】解：由题意知，箱子中球的总个数约为6÷0.3＝20（个），箱子中白球的个数为20﹣6＝14（个），故答案为：14．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．8．（2024秋•龙岗区期中）为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图（a）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图（b）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为 　72　度．【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；运算能力．【答案】72．【分析】利用频率估计概率，可知当n很大时，频率将会接近其概率，所以可估计指针落入优胜奖区域的概率，用360°乘概率即可得出答案．【解答】解：由图（b）可估计指针落入优胜奖区域的概率为0.2，∴转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为：0.2×360°＝72°．故答案为：72．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．9．（2024•青秀区校级二模）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为　0.9　．【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】见试题解答内容【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论．【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，∴该植物的种子发芽的概率为0.9，故答案为：0.9．【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．（2024•光明区校级三模）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 　94　m2．【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】94．【分析】用正方形的面积乘以小石子落在不规则区域的频率稳定的常数0.25即可得出答案．【解答】解：根据题意可估计不规则区域的面积是3×3×0.25=94（m2），故答案为：94．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•莲湖区校级期中）某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢恵顾”两种卡片（两种卡片形状、大小相同，质地均匀），下表是活动进行中的一组统计数据．（1）填空：a＝　0.32　，b＝　240　．（2）根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率为 　0.3　.（精确到0.1）【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】（1）0.32，240；（2）估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率是0.3．【分析】（1）根据频率和总数求出a的值即可；根据频数和总数求出频率b即可；（2）根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率即可．【解答】解：（1）a＝48÷150×＝0.32，b＝800×0.3＝240；故答案为：0.32，240；（2）根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率约是0.3，故答案为：0.3．【点评】本题考查了利用频率估计概率，频率的计算，利用频率估计概率求解即可．12．（2024秋•西安期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）①上表中的a＝ 　0.71　，b＝ 　0.701　；②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是 　0.7　；（精确到0.1）（2）试估计盒子中黄色乒乓球的个数．【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；运算能力．【答案】（1）①0.71，0.701；②0.7；（2）28个．【分析】（1）①利用概率公式求出a，b的值即可；②根据表格中的数据即可得出结论；（2）根据②中的结果即可得出结论．【解答】解：（1）①由题意得a=213300=0.71，b=7011000=0.701，故答案为：0.71，0.701；②由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在0.7附近，∴当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7，故答案为：0.7；（2）由（1）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7，∴盒子中黄色乒乓球的个数＝40×0.7＝28（个）．答：盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个．【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．13．（2024秋•福田区校级期中）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．如表是此次活动中的一组统计数据：（1）完成上述表格，其中a＝ 　472　，b＝ 　0.59　；（2）请估计当n很大时，频率将会接近 　0.6　，假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 　0.6　；（本小问结果全部精确到0.1）（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是 　144　°；（4）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用A、B、C表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率．【考点】利用频率估计概率；扇形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）472，0.59；（2）0.6，0.6；（3）144；（4）13．【分析】（1）根据频率的定义解得即可；（2）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是0.6；（3）用360°乘以0.4即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角；（4）利用列表法和树状图法解答即可．【解答】解：（1）a＝800×0.59＝472；b＝295÷500＝0.59；故答案为：472，0.59；（2）当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是0.6；故答案为：0.6，0.6；（3）（1﹣0.6）×360°＝144°，所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是144°．故答案为：144；（4）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13．【点评】本题考查了扇形统计图、列表法和树状图法以及利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14．（2024秋•永寿县校级期中）刘老师将4支红中性笔芯和若干支黑色中性放入一个不透明的盒子中并搅匀，这些中性笔芯除颜色不同外其余都相同，他让若干学生进行摸笔芯试验，每次摸出一支中性笔芯，记下颜色后，放回搅匀，经过多次试验发现，从盒中摸出一支笔芯是红色中性笔芯的频率稳定在0.2．试估算盒中黑色中性笔芯的数量．【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】16支．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可．【解答】解：∵从盒中摸出一支笔芯是红色中性笔芯的频率稳定在0.2，∴从盒中摸出一支笔芯是红色中性笔芯的概率为0.2，设盒中有x支黑色中性笔芯，根据题意得：44+x=0.2，解得：x＝16，经检验：x＝16是原分式方程的解，∴估算盒中有16支黑色中性笔芯．【点评】此题考查了利用频率估计概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn 是解题关键．15．（2024春•句容市期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制成了如图所示的统计图，请根据图中信息回答问题：（1）该名运动员正中靶心的频率在 　0.9　附近摆动，他正中靶心的概率估计值为 　0.9　．（2）如果一次练习时他一共打了150枪．①试估计他正中靶心的枪数．②如果他想要在这次练习中想要打中靶心180枪，请计算出他还需要打大约多少枪？【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）0.9，0.9；（2）①135枪；②50枪．【分析】（1）根据图形数据的稳定数值可得答案；（2）①总枪数乘以正中靶心的概率；②正中靶心的枪数除以其概率得出总枪数，继而得出答案．【解答】解：（1）该名运动员正中靶心的频率在0.9附近摆动，他正中靶心的概率估计值为0.9，故答案为：0.9，0.9；（2）①150×0.9＝135（枪），答：估计他正中靶心的枪数为135枪；②180÷0.9＝200（枪），200﹣150＝50（枪），答：他还需要打大约50枪．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．考点卡片1．扇形统计图（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．（3）制作扇形图的步骤①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．2．列表法与树状图法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．3．利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．种子个数100400900150025004000发芽种子个数92352818133622513601发芽种子频率0.920.880.910.890.900.90抽奖总次数n1001502008001000抽到“中奖”卡片的次数m334863b299中奖的频率mn0.33a0.3150.30.299摸球的次数n1001502003005008001000摸到黄色乒乓球的次数m69102143213353560701摸到黄色乒乓球的频率mn0.690.680.715a0.7060.70b转动转盘的次数n1002004005008001000落在“可乐”区域的次数m60122240295a604落在“可乐”区域的频率mn0.60.610.6b0.590.604种子个数100400900150025004000发芽种子个数92352818133622513601发芽种子频率0.920.880.910.890.900.90抽奖总次数n1001502008001000抽到“中奖”卡片的次数m334863b299中奖的频率mn0.33a0.3150.30.299摸球的次数n1001502003005008001000摸到黄色乒乓球的次数m69102143213353560701摸到黄色乒乓球的频率mn0.690.680.715a0.7060.70b转动转盘的次数n1002004005008001000落在“可乐”区域的次数m60122240295a604落在“可乐”区域的频率mn0.60.610.6b0.590.604