湖南省娄底市第一中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷（解析版）-A4

这是一份湖南省娄底市第一中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了 下列各式，，，中，分式有个．， 已知命题， 辛弃疾词曰， 在、、、、，， 如图，中，，D为线段上一动点等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式，，，中，分式有（ ）个．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可．
【详解】解；由题意得是分式，共2个，
故选B．
【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的定义．
2. 下列长度的线段能组成三角形的是（ ）
A. 3、4、8B. 5、6、11C. 5、6、10D. 3、5、10
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析即可得出答案．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：
A.因为，所以不能组成三角形，故不符合题意；
B.因为，所以不能组成三角形，故不符合题意；
C.因为，所以能组成三角形，故符合题意；
D.因为，所以不能组成三角形，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3. 已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（ ）
A. 该命题为假命题B. 该命题为真命题
C. 该命题的逆命题为真命题D. 该命题没有逆命题
【答案】B
【解析】
【分析】首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项．
【详解】等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；
其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，
故选B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题，难度不大．
4. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米成饭食味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设原计划每天收割的面积为，则实际每天收割的面积为，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天收割的面积为，由题意得
．
故选D．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
5. 如图，小王做试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，他想在一张白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，他作图的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：图中的三角形已知一条边以及两个角，则他作图的依据是ASA.
故选C.
6. 我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ）
A. 三角形的不稳定性B. 三角形的稳定性
C. 四边形的不稳定性D. 四边形的稳定性
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性，即可得到答案．
【详解】跨海大桥上的结构有许多三角形，这样可以使得大桥更加牢固，体现了三角形的稳定性．
故选B
【点睛】本题主要考查三角形的稳定性，熟记三角形的稳定性是解题的关键．
7. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟记“被开方数不能含有能开得尽方的因数或式子，不能含有分母”是解题关键．
【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、，是最简二次根式，故B符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 故C不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
8. 在、、、、，（相邻两个之间的的个数逐次加）中，无理数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，据此解答即可．注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
【详解】解：，属于有理数；
是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有，，（相邻两个之间的的个数逐次加），共个．
故选：B．
9. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）

A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°
【答案】D
【解析】
【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】∵，
∴，，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
.
故答案为D.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
10. 如图，中，，D为线段上一动点（不与点重合），连接作，交线段于E，以下四个结论：①；②当D为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到；根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或；根据全等三角形的性质得到．
【详解】解：①，
，
，，
，
故①正确；
②为中点，，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
③，
，
，
为等腰三角形，
，
，
，
；
或为等腰三角形，
，
，
，
，
故③错误；
④，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确，
综上所述正确的有①②④．
故选：．
二．填空题（本大题菜6小题，共18分）
11. 纳米是一种长度单位，．已知某种植物孢子直径为，用科学记数法表示该孢子的直径为______m．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12. 不等式组的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：-1≤x＜2，
故答案为-1≤x＜2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13. 计算的结果是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算计算即可．掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 使代数式有意义的x的取值范围是______________.
【答案】x≥3且x≠4
【解析】
【详解】根据题意得，
解得x≥3且x≠4
故答案为x≥3且x≠4
15. 如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN=_____．

【答案】32°
【解析】
【分析】先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）解答即可．
【详解】解：在△ABC中，∠BAC＝106°，
∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−106°＝74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，
∴∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）＝106°−74°＝32°．
故答案为32°．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此题的关键．
16. 添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，BD是高，E是外一点，，若，，求的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可．
【详解】解：∵BD是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题中所给提示，通过证明三角形全等，将求的面积转化为求的面积是解题的关键．
三．计算题（本大题共3小题，共18分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了绝对值的化简、二次根式的化简、二次根式的乘法、零指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．先进行绝对值的化简、二次根式的化简、零指数幂等运算，然后合并．
【详解】：
原式．
18 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）方程无解
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【小问1详解】
解：
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
【小问2详解】
解：
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
19. 先化简，再求值：，其中a ＝－1．
【答案】，．
【解析】
【分析】先根据混合运算的法则把原分式化为最简形式，再把a=-1代入进行计算即可．
【详解】解：原式＝＝
当a ＝-1时，原式＝．
四．解答题（本大题共6小题，共54分）
20. 为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【答案】（1）22道 （2）24道
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和不等式．
（1）设小明一共答对了x道题，则答错了道题，根据总得分答对题目数答错题目数，即可得出关于x一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”，根据题意列出不等式，并求解即可．
【小问1详解】
解：设小明一共答对了x道题，则答错了道题，
由题意可得：，
解得，
答：小明一共答对了22道题；
【小问2详解】
解：设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”，
由题意可得：，
解得，
答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“学党史小达人”．
21. 如图，D是△ABC的BC边上的一点，AD=BD，∠ADC=80°．
（1）求∠B的度数；
（2）若∠BAC=70°，判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）40°；（2）△ABC是等腰三角形．证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由AD=BD，根据等边对等角的性质，可得∠B=∠BAD，又由三角形外角的性质，即可求得∠B的度数；
（2）由∠BAC=70°，易求得∠C=∠BAC=70°，根据等角对等边的性质，可证得△ABC是等腰三角形．
【详解】(1)∵在△ABD中，AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=80°，
∴∠B=∠ADC=40°；
(2)△ABC是等腰三角形.
理由：∵∠B=40°,∠BAC=70°，
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=70°，
∴∠C=∠BAC，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
22. 2023年4月24日，在“中国航天日”主场活动启动仪式上，国家航天局和中国科学院联合发布了中国首次火星探测火星全球影像图我国航天事业的飞速发展激发了学生探索科学奥秘的兴趣某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的倍，用9600元购买的款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多套，问A、B两款套装的单价分别是多少元？
【答案】款套装的单价是元，款套装的单价是元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设款套装的单价是元，则款套装的单价是元，根据“用9600元购买的款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多套，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设款套装的单价是元，则款套装的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：款套装的单价是元，款套装的单价是元．
23. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出．
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∵将线段绕点旋转到的位置，
∴．
在与中，
，
∴（），
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键．
24. 我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．例如生活经验：
（1）往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（b＞a＞0），再往杯中加入m（m＞0）克糖，此时糖水的含糖量变大了，
①用数学关系式可以表示为 ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．
（2）再如：矩形的面积为S（S为定值），设矩形的长为x，则宽为，周长为2，当矩形为正方形时，周长为，“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，
①用数学关系式可以表示为 ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．（友情提示：，）
【答案】（1）①A；②见解析；（2）①A；②见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意直接进行选择即可；②利用作差法进行证明即可；
（2）①用数学关系式可以表示为；②利用完全平方式及不等式进行证明即可
【详解】（1）①由题意可知用数学关系式可以表示为：，
故选：A；
②证明：＝＝＝，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＞0，
∴成立．
（2）①A
②证明：＝＝
＝＝，
∵≥0，
∴≥，
∴成立
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是写出相应的式子，会用作差比较法比较两个式子的大小．
25. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ；
②如图3，当时，则长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与数量关系，并给予证明．
【答案】（1）①；②；（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键．
（1）①根据含30度的直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算；
（2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案．
【详解】解：（1）①∵是等边三角形，
∴，
∵是的“旋补三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵是的“旋补三角形”，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，是的“旋补中线”，
∴，
故答案为：4；
（2）猜想．
证明：如图，延长至点E使得，连接，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．