备战2025年高考数学二轮复习课件专题4立体几何培优拓展（10）球的“切”“接”问题

这是一份备战2025年高考数学二轮复习课件专题4立体几何培优拓展（10）球的“切”“接”问题，共28页。PPT课件主要包含了角度二内切球问题等内容，欢迎下载使用。
空间几何体的外接球和内切球是高中数学的难点和重点,也是高考命题的热点.既有相对简单的几何体的外接球和内切球问题,也有难度较大的特殊几何体模型问题,题型为选择或填空题.
角度一 三棱锥的外接球问题
热点一　墙角模型例1(2024河北保定模拟)已知S,A,B,C是球O表面上的不同点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC= ,若球O的表面积为4π,则SA=(　　)
解析 如图,由SA⊥平面ABC,可知SA⊥AB,SA⊥BC.
[对点训练1](2024陕西咸阳二模)已知三棱锥D-ABC中,AB=4,AC=3,BC=5, DB⊥平面ABC,且DB=4,则该三棱锥的外接球的表面积为　 . 
解析 因为AB=4,AC=3,BC=5,所以AB2+AC2=BC2,所以∠BAC=90°.又DB⊥底面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以DB⊥AB,DB⊥BC,所以三棱锥D-ABC的外接球即为以AB,AC,DB为棱的长方体的外接球,其中DC为该长方体体对角线,即该三棱锥的外接球的半径
热点二　对棱相等模型例2在三棱锥P-ABC中,已知 ,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为(　　)A.77πB.64πC.108πD.72π
解析 因为三棱锥的对棱相等,所以可以把它看成某个长方体的面对角线构成的几何体.设长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,且长方体的面对
[对点训练2]若四面体ABCD中,AB=CD=BC=AD= ,AC=BD= ,则四面体的外接球的表面积为　　　　　. 
解析 如图,因为四面体的对棱相等,所以可以把它看成某个长方体的面对角线构成的几何体.
热点三　垂面模型例3(1)(2023全国乙,文16)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=　　　　　. 
(2)已知三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,PB=2 ,AC=6,∠ABC=120°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为　　　　　. 
解析 由题意,将三棱锥P-ABC补成直三棱柱(图略),则该直三棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球,且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上.
[对点训练3](2024四川凉山二模)已知在三棱锥P-ABC中,PA= ,PB=PC=2,底面ABC是边长为1的正三角形,则该三棱锥的外接球表面积为(　　)
解析 如图,在三棱锥P-ABC中,PA= ,PB=PC=2,△ABC的边长为1,则PA2+AB2=PB2,所以PA⊥AB.同理,PA⊥AC.又AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设△ABC的外心为O1,三棱锥P-ABC外接球球心为O,PA的中点为D,连接OP,OD,OO1,O1A,易知四边形ADOO1是矩形,
例4在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD=1,则其内切球的表面积为(　　)
解析 如图,因为四面体ABCD四个面都为直角三角形,AB⊥平面BCD,所以AB⊥BD,AB⊥BC.又BC⊥CD,所以AC⊥CD.
[对点训练4]已知三棱锥P-ABC的棱长均为4,先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球O1,然后再放入一个球O2,使得球O2与球O1及三棱锥P-ABC的三个侧面都相切,则球O2的表面积为　　　　　. 
角度三 与球切、接有关的最值问题
例5已知正三棱锥的外接球半径R为1,则该正三棱锥的体积的最大值为(　)
解析 如图所示,设该正三棱锥的高为h,底面外接圆的半径为r,底面面积为S,由球的对称性可知,若使正三棱锥的体积最大,则其外接球的球心一定在三棱锥内部,即1