备战2025年高考数学二轮复习课件专题4立体几何培优拓展（12）立体几何中的动态问题

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立体几何中的“动态问题”,是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的,是可变的一类开放性问题.由于“动态”的存在,也使立体几何问题更趋多元化,将立体几何问题与平面几何中的轨迹问题、解三角形问题等之间架设了桥梁,可以灵活转化.立体几何中的动态问题主要有两个类型:(1)研究动点的轨迹,主要方法有定义法(如圆锥曲线定义)、解析法、交轨法;(2)与动点有关的最值、范围问题,主要方法有几何法、函数法.
角度一 动点的轨迹问题
例1(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M为DD1的中点,N为ABCD所在平面上一动点,则下列说法正确的是(　　)A.若MN与平面ABCD所成的角为 ,则点N的轨迹为圆B.若MN=4,则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2πC.若点N到直线BB1与直线DC的距离相等,则点N的轨迹为抛物线D.若D1N与AB所成的角为 ,则点N的轨迹为双曲线
对于C,连接NB,因为BB1⊥平面ABCD,NB⊂平面ABCD,所以BB1⊥NB,所以点N到直线BB1的距离为点N到点B的距离.又点B不在直线CD上,所以点N的轨迹为以点B为焦点,CD为准线的抛物线,故C正确;
对于D,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),B(4,4,0),D1(0,0,4).设N(x,y,0),则
[对点训练1]在矩形ABCD中,点E是AB的中点,AD=1,AB=2,将△ADE绕DE顺时针旋转90°得到△A'DE,设A'C的中点为M,在此过程中动点M形成的轨迹长度为　　　　　　　. 
解析 如图,连接AC,设AC的中点为M0,△ADE绕DE顺时针旋转90°,此时平面A'DE⊥平面ABCD.取CD中点P,CE中点Q,连接PQ,MP,MQ,M0P,M0Q,取PQ中点N,连接MN,M0N.由题可知, 所以△MPQ和△M0PQ是等腰直角三角形.易知△MPQ和△M0PQ在旋转过程中保持形状、大小不变,所以动点M的轨迹是以N为圆心, 为半径的一段圆弧.
又MP∥A'D,MQ∥A'E,MP∩MQ=M,MP,MQ⊂平面MPQ, A'D∩A'E=A',A'D,A'E⊂平面A'DE,所以平面MPQ∥平面A'DE.又平面A'DE⊥平面ABCD,所以平面MPQ⊥平面ABCD.又平面MPQ∩平面ABCD=PQ,MN⊥PQ,所以MN⊥平面ABCD.又M0N⊂平面ABCD,所以MN⊥M0N.故动点M形成的轨迹长度为
角度二 与动点有关的最值、范围问题
例2(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,动点P在体对角线BD1上(含端点),则下列结论正确的有(　　)A.当P为BD1的中点时,∠APC为锐角B.存在点P,使得BD1⊥平面APC
解析 如图,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),
[对点训练2]在空间直角坐标系O-xyz中,正四面体P-ABC的顶点A,B分别在x轴、y轴上移动.若该正四面体的棱长是2,则OP的取值范围是(　　)