精品解析：山东省邹城市峄山镇2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：山东省邹城市峄山镇2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2. 方程的两个根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将进行因式分解，，计算出答案．
【详解】∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
3. 抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【答案】B
【解析】
【详解】解：将的图象向左平移2个单位后得函数的函数图象，
将的图象向下平移3个单位得到的函数图象，
∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
4. 如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，边与边交于点C（不在上），则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，由旋转的性质可得，再由三角形外角的性质可求解．
【详解】解：∵将绕点O顺时针旋转，得到，
∴，
∴，
故选：C．
5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式的应用，根据一元二次方程的定义和的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，即，
解得：且．
故选：C．
6. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【详解】连接OB，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
7. 抛物线过，，三点，则大小关系（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小；
对二次函数，对称轴，开口向上，在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小．
【详解】在二次函数，对称轴，，开口向上，
在图象上的三点，，，点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近，
故选：D．
8. 如图1，在正方形中，动点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度匀速运动到点B，C停止，连接.设点M运动的路程为x，的面积为S，其中S与x之间的函数关系图象如图2所示，则正方形的边长是（ ）
A. 4B. C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形的面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．设正方形的边长为a，根据点的运动情况，写出每种情况和之间的函数关系式，即可求出边长．
【详解】解：设正方形的边长为a，
时，在上，在上，依题意可知：
设，
，
；
该二次函数图象开口向上，
当时，二次函数的最小值为6；
，
解得：（负值舍去）
正方形的边长是4，
故选：A．
9. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，经过第2026次旋转后，顶点D在的位置，先求出点的坐标，再证明即可．
【详解】解：连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，

在正六边形中，，，
，
，
将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，
，即8次旋转一周，
余2，
，
故经过第2026次旋转后，顶点D在的位置，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
10. 对称轴为直线的抛物线(a，b，c为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(m为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可．
【详解】解：①由图象可知：，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线，
∴另一个交点在到之间，
∴当时，，故③错误；
④当时，，
∴，故④正确；
⑤当时，y取到值最小，此时，，
而当时，，
∴ ，
故，即，故⑤正确，
⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
所以，正确的结论有：②④⑤，共3个
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是______
【答案】2
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，可得答案．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，
∴，
则．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
12. 已知m为一元二次方程的一个根，则代数式的值为______
【答案】2025
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，
，
∴，
∴．
故答案为：2025．
13. 二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图像如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】求关于x的不等式的解集，实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于 的值时x的取值范围，由两个函数图像的交点及图像的位置，可求范围．
【详解】解：依题意得求关于x的不等式的解集，
实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于的值时x的取值范围，
由两个函数图像的交点及图像的位置可以得到此时x的取值范围是．
故答案为：．
14. 如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接OD，
∵AB是切线，则OD⊥AB，
在菱形中，
∴，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD=，
∴，
∴扇形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积．
15. 已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为5，则的值为 ．
【答案】﹣1或5．
【解析】
【分析】由解析式可知该函数在时取得最小值1、时，随的增大而增大、当时，随的增大而减小，根据时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若，时，取得最小值5；②若，当时，取得最小值5，分别列出关于的方程求解即可．
【详解】∵当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴①若，时，取得最小值5，
可得：，
解得：或（舍）；
②若，当时，取得最小值5，
可得：，
解得：或（舍）．
综上，的值为﹣1或5，
故答案为﹣1或5．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
16. 如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可．
【详解】解：由题意得：，
∵四边形ABCD是正方形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
，
，
由勾股定理得：，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. 解下列方程：（1） （2）
【答案】（1）x1=﹣1，x2=3；（2）x1=﹣3，x2=
【解析】
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可解答；
（2）根据十字相乘法解一元二次方程即可解答．
【详解】解：（1）原方程可化为：，
∴x+1=0或x﹣3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3；
（2）原方程可化为：，
∴（x+3）(2x﹣1)=0，
∴x+3=0，2x﹣1=0，
解得：x1=﹣3，x2=．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，属于基础题型，掌握并灵活选用解一元二次方程的方法是解答的关键．
18. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出△ABC关于原点对称的并写出点的坐标；
（2）请画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的；
（3）在△ABC旋转到的过程中，点C经过的路径长度为________．
【答案】（1）画图见解析，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用旋转的性质得出旋转后点的坐标进而得出答案；
（3）先利用勾股定理求出AC的长，然后利用弧长公式求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求．
∵点是点C（3，4）关于原点对称的点，
∴；
小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
【小问3详解】
解：∵点C的坐标为（3，4），点A的坐标为（1，1），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了画关于原点对称的图形，画旋转图形，求弧长，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键．
19. 某市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”．某市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 人， ，并补全条形统计图；
（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？
（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）
【答案】（1）200，35，见解析；（2）去B地旅游的居民约有420人；（3）到A，C两个景区的概率为.
【解析】
【分析】(1)先由D景区人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念和各景区人数之和等于总人数求解可得；
(2)利用样本估计总体思想求解可得；
(3)画树状图得出所有等可能结果，从中找到选到A，C两个景区的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是(人)，
则，即，
C景区人数为(人)，
补全条形图如下：
故答案为200，35；
(2)估计去B地旅游的居民约有(人)；
(3)画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果，
所以选到A，C两个景区的概率为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图等知识，注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20. 某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发 现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设商场每天获得总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元.
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”即可得w与x之间的函数关系式；（3）将所得函数解析式化为顶点式，根据二次函数性质即可解答．
【详解】（1）∵与满足一次函数关系.
∴设与的函数表达式为 .
将，代入中，得
解得
∴与之间的函数表达式为.
（2）由题意，得.
∴与之间的函数表达式为.
（3）.
∵，∴抛物线开口向下.
由题可知：，
∴当x=50时，有最大值，元
答：当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元.
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
21. 如图，是四边形外接圆O的直径，，，延长到使得，作射线交的延长线与F，交与G．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明是等边三角形，由得到，则．即可证明结论；
（2）证明是等边三角形，则，在中，，得到，，则，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，
是直径，
，
，，
∴，
∴，
是等边三角形，
，
，
．
又是半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，，
，
周长．
【点睛】此题考查了切线判定、直径对圆周角是直角、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，证明与相切是解题的关键．
22. 已知和都是等腰直角三角形．
（1）如图1：连，求证：；
（2）若将绕点顺时针旋转，
①如图2，当点恰好在边上时，若，请求出线段的长；
②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）①；②或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合图形正确判断全等三角形是解题的关键．
（1）先证，再根据证明即可；
（2）①连接，同（1）可证，推出，，进而可证，再用勾股定理解即可；
②分“点N在线段上”和“点M在线段上”两种情况，画出图形，结合前面的结论，分别求解即可．
【小问1详解】
证明：和都是等腰直角三角形
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：①如图，连接，
和都是等腰直角三角形，
，， ，
．
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，
，
；
②分两种情况，当点N在线段上时，连接，过点O作于点H，
同（1）可得，
和都是等腰直角三角形，，，
，，
，
，
，
；
当点M在线段上时，连接，过点O作于点H，
同①可证，
，
和都是等腰直角三角形，，，
，，
，
，
，
．
综上可知，的长为或．
23. 如图所示，抛物线与轴相交于，与y轴相交于点C0,−3，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接、．求面积的最大值及此时点N的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出P点的坐标．
【答案】（1），顶点坐标为：
（2）最大值为，的坐标为
（3）点坐标为，，，
【解析】
【分析】（1）把点、点和点的坐标代入抛物线解析式，求出，b，即可得出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）由（1）可得到直线的解析式，设点，则，进而表达三角形的面积，利用二次函数的最值问题可得；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：把点和点，点，
代入抛物线，
则，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
∵，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知抛物线的顶点为，
设直线的解析式为令，将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为：，
设点，则
∴
∴面积，
∵，
∴当时，面积的最大值为．
此时；
【小问3详解】
解：∵抛物线的对称轴为：直线，
设点坐标为，
∵，
∴，
，
，
①当时，即，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
②当时，即，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，；
③当时，，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点坐标为，，，．