精品解析：山东省聊城市阳谷县2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：山东省聊城市阳谷县2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试题（解析版）-A4，共23页。
1．试题由选择题与非选择题两部分组成．共150分．考试时间130分钟．
2．将姓名、准考证号、考场号、座号填写在答题卡指定的位置．
3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．考试结束，只交答题卡．
愿你放飞思维，认真审题，充分发挥，争取交一份圆满的答卷．
第Ⅰ卷 选择题（共48分）
一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题4分，共48分）
1. 如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ）
A. 甲与丙B. 甲与乙
C. 乙与丙D. 三个矩形都不相似
【答案】A
【解析】
【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．
【详解】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为4：6＝2：3，1.5：2＝3：4，2：3，
∴甲和丙相似，
故选：A．
点睛】本题主要考查相似多边形的概念，解题关键是证明对应边成比例．
2. 如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（ ）
A. 1：2 B. 1：4
C. 1：8 D. 1：16
【答案】B
【解析】
【分析】利用相似三角形的相似比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答．
【详解】∵两个相似三角形对应边之比是1：4，
又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，
∴它们的对应中线之比为1：4．
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的相似比问题，须熟练掌握：①相似三角形的对应高、角平分线、中线的比等于相似比；②相似三角形的周长比等于相似比；③相似三角形的面积比等于相似比的平方．
3. 如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、，，
，
故A不符合题意；
B、，，
，
故B不符合题意；
C、由图形可知，，
，
，，
，
又，
，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明与相似，
故D符合题意，
故选：D．
4. 如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m，经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（ ）
A. mB. mC. mD. m
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，设小芳的身高为，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出的值即可，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．
【详解】设小芳的身高为米，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴，
解得，
故选：．
5. 在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则的正弦值（ ）
A. 扩大为原来的3倍B. 缩小为原来的3倍C. 不变D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的定义解答即可．
【详解】解：∵中，，将各边长度都扩大为原来的3倍，其比值不变，
∴的正弦值不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数的表示以及求值，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（ ）
A. sinA＝B. tanA＝C. csA＝D. tanB＝
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出BC长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∴sinA＝，故选项A错误；
tanA＝，故选项B错误；
csA＝45，故选项C正确；
tanB＝43，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．
7. 春节期间，小澎陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下A处沿坡前行，到达C处时，发现C处标语牌上写着“恭喜你已上升米”，若此山坡的坡度，爱思考的小澎很快告诉妈妈：“我们至少走坡路（ ）米了”．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出．
【详解】解：山坡的坡度，
，
米，
（米），
由勾股定理得：（米），
所以我们至少走坡路130米了，
故选：．
8. 如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（ ）
A. 仰角为B. 当无人机远离水平飞行时，仰角增大
C. 俯角为D. 当无人机远离水平飞行时，俯角减小
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角性质，仰角和俯角的定义，仰视角线与水平线的夹角为仰角，俯视角线与水平线的夹角为俯角，据此即可作答．
【详解】解：∵利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，
∴仰角为，俯角为，
故A和C选项是正确的，不符合题意；
如图：
当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时
则
∴
∴仰角减小
故选项是错误的，符合题意；
当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时
则
∴
∴俯角减小
故选项是正确的；不符合题意．
故选：．
9. 下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了确定圆的性质，圆周角定理和三角形的内心和外心，熟悉相关性质是解题的关键．根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据三角形内心的定义对④进行判断．
【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误；
同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确；
故选：A．
10. 如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此求解即可．
【详解】解：连接AB，由图可知：OA=OB，AO=AB，∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cs∠AOB=cs60°=．
故选B．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，得出△ABC是等边三角形是解题的关键．
11. 设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（ ）
A. 5B. 10C. D. 5或
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，根据直角三角形斜边上的中线长等于三角形外接圆的半径求解即可．
【详解】解：∵的两条直角边长分别为6，8，
斜边长，
∴斜边上的中线长为5，
即此直角三角形外接圆半径为5，
故选：A．
12. 如图，已知是的直径，弦，垂足为E，，，则的长为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以勾股定理的应用，连接，由圆周角定理得出，根据垂径定理可得，证出为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案．
【详解】解：如图，连接，
是的直径，弦，，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，即，
，
，
故选：C．
二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13. 在锐角三角形中，若，满足，则______．
【答案】##75度
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，熟练掌握非负数的性质是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出，，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
14. 将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键．
由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
．
故答案为：．
15. 小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若，，，则原直角三角形玻璃的面积为_______．（参考数据：，，）
【答案】107
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积．利用直角三角形边角关系求出的长是解题的关键．
根据，求得，再根据直角三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：107．
16. 在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，则弦AB所对弧的度数 _________________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了圆中弧、弦、圆心角的关系，由题意得是等边三角形，据此即可求解
【详解】解：如图所示：
由题意得：，
∴是等边三角形，
∴
∴弦AB所对优弧度数为，所对劣弧的度数为，
故答案为：或
17. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在AB上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________．

【答案】90
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．
【详解】∵是圆的直径，
∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为，
∵、、、所对的弧的和为半圆，
∴，
故答案为：90．
18. 如图所示，点A、B、C都在上，若，，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题（8小题，满分78分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.
（1）以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且相似比为，点A，的对应点分别为，；
（2）直接写出点和点的坐标：（______，______），（______，______）.
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】本题主要考查了位似作图、图形与坐标等知识点，掌握位似的性质是解题的关键．
（1）先在网格中作出A、C的对应点、，然后顺次连接即可解答；
（2）根据（1）作图中点、的位置，直接写出坐标即可．
【小问1详解】
解：如图：即为所求．
【小问2详解】
解：点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：．
20 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了实数混合运算的能力，关键是代入并计算特殊角的三角函数值．
（1）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可；
（2）先代入特殊角的三角函数值，再按运算顺序进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式．
21. 如图，在中，D是边上一点，且满足，．
（1）求证：；
（2）若，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查三角形相似的判定与性质．
（1）根据，为公共角，即可证明；
（2）根据可得，进而得到，由（1）知，可得，求出，再根据，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：，，
；
【小问2详解】
解：，
，
设，则，
，
，
由（1）知，
，
，
，
（负值舍去），
，
．
22. 定义：如图，在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A＝＝ ．请解答下列问题：
已知：在△ABC中，∠C＝30°．
（1）若∠A＝45°，求thi A的值；
（2）若thi A＝，则∠A＝ °；
（3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系．
【答案】（1）thiA＝；
（2）60或120；
（3）thiA＝2sinA
【解析】
【分析】（1） 根据已知找到BC和AB关系，依据定义计算出答案即可；
（2） 过点B向AC所在直线作垂线，根据thi A＝=，利用正弦首先表示出垂线段的长度，再根据正弦分两种情况：当∠A为锐角或钝角时，可得∠A=60°或120°．
（3） 根据题意，由thiA＝， sinA＝， sinC＝＝易得BC＝2BH，进而可得答案．
【详解】（1）如图，作BH⊥AC，垂足为H．
在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
在Rt△BHA中，sinA＝＝ ，即AB＝BH．
∴thiA＝＝．
（2）如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵thi A＝，
∴thi A＝＝=，
∴设AB=x，则BC=，
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD=，
在Rt△ABD中，sinA=，
∴∠A=60°；
如下图所示时，则∠BAC=120°，
故答案为：60或120．
（3）在Rt△ABC中，thiA＝．
在Rt△BHA中，sinA＝．
在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
∴thiA＝2sinA．
23. 学科综合
我们在物理学科中学过，光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
观察实验
小明为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但不在细管所在直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，．

（1）求入射角的度数．
（2）若，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：， ，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角；
（2）根据直角三角形的边角关系求出、，再根据锐角三角函数的定义求出、即可．
【小问1详解】
解：如图，设法线为，
则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴入射角约为；
【小问2详解】
在中，，，
，
在中，，，
，
光线从空气射入水中的折射率，
答：光线从空气射入水中的折射率．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提．
24. 已知中，．以为直径的与的交点分别为D，E．
（1）如图①，求的大小：
（2）如图②，当时，求的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，“弧，弦，圆周角”之间的关系，直径所对的圆周角是直角．
（1）根据圆内接四边形对角互补得出，进而得出答案；
（2）连接，根据“弧，弦，圆周角”的关系得出，再根据“直径所对的圆周角是直角”得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案．
【小问1详解】
解：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵，
∴．
∵是的直径，
∴．
在中，．
25. 根据素材解决问题：
【答案】(1) (2) 10吨
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，任务1，设 圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，设桥拱的半径为，则，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题；
任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数．
【详解】解：任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，如图，
设桥拱的半径为，则，
，
，
，
，
，
圆形拱桥的半径为．
任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加10吨的货物才能通过．理由：
当是的弦时，与的交点为，连接，，如图，
四边形为矩形，
，
，
∵，，
．
，
，
，
，
根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
船在水面部分可以下降的高度为．
货船的载重量每增加吨，则船身下降，
吨，
至少要增加10吨的货物才能通过．
26. 表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大．
【答案】方案一：，方案二：，方案一的正方形水池面积更大．
【解析】
【分析】方案一：设正方形边长为x米，利用平行线分线段成比例定理即可求出正方形的边长；方案二：根据题意画出图形，作交于点．根据直角三角形的面积得出的长，利用相似三角形的判定定理即可得出∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出正方形的边长；把两方案中正方形的边长进行比较即可得出结论．
【详解】解：设正方形的边长为米．
方案一：∵，
∴，
∴，
∴；
方案二：如图2，作于H，交于点，
则四边形是矩形，
∴米，米；
由勾股定理得：米，
∵，
∴米；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
∵，
∴方案一的正方形水池面积更大．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质等知识，利用相似三角形的性质是解题的关键．
设计货船通过拱桥的方案
素材1
左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离．
素材2
如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
（1）求圆形桥拱的半径；
任务2
拟定设计方案
（2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？