江苏无锡市东林中学2024-2025学年七上数学第14周综合难度题强化训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市东林中学2024-2025学年七上数学第14周综合难度题强化训练模拟练习【含答案】，共13页。试卷主要包含了方程的正整数解有 　 　组，方程组有 　 　组解等内容，欢迎下载使用。
1．关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣0.5＜a＜0B．﹣0.5≤a＜0C．1＜a≤1.5D．1≤a＜1.5
二．填空题（共23小题）
2．方程的正整数解有 组．
3．方程组有 组解．
4．已知关于x的不等式ax+b≥0的解集是，则满足不等式bx﹣2a≥0的x的最小值为 ．
5．已知[x]表示不超过x的最大整数，若，则x＝ ．
6．若[x]表示不大于x的最大整数，关于x的方程[+]＝3有正整数解，则常数a的取值范围是 ．
7．已知0＜a＜1，且满足[a]+[a+]+…+[a+]＝18，则[10a]的值等于 ．（[x]表示不超过x的最大整数）
8．已知a，b，c为整数，且a+b＝2006，c﹣a＝2005．若a＜b，则a+b+c的最大值为 ．
9．如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB＝4cm，BC＝6cm，AE＝CG＝3cm，BF＝DH＝4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为 cm2．
10．一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西5米处，一列火车以每小时84千米的速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离．小狗只有到达桥头才能逃离铁路桥，若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头3米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头0.5米处被火车追上．小狗的速度为每小时 千米．
11．一项工程，甲工程队单独做需要10天完成，乙工程队单独做需要15天完成，如果两队合作，甲队的工作效率将降低到独做时的，乙队的工作效率将降低到独做时的．现计划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽量少，那么两队要合作 天．
12．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在 千米处．
13．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是 ．
14．王明参加了10场数学擂台赛，他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数，则王明最多赢了 场比赛．
15．已知a、b为给定的实数，且1＜a＜b，那么1，a+1，2a+b，a+b+1这四个数据的平均数与中位数的差的绝对值是 ．
16．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出 个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除．
17．依次排列4个数：2，11，8，9．对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差排在这两个数之间得到一串新的数：2，9，11，﹣3，8，1，9，这称为一次操作．做第二次操作后得到一串新的数：2，7，9，2，11，﹣14，﹣3，11，8，﹣7，1，8，9．这样下去，第100次操作后得到的一串数的和是 ．
18．算式：兔××＝中的一个汉字代表0～9的一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．所代表的四位数是 ．
19．将9个各不相同的正整数填在3×3表格的9个格子中，一个格子填一个数，使得每个2×2子表格中四个数的和都恰好等于100．这9个正整数总和的最小值是 ．
20．六人参加乒乓球比赛，每两人比赛一场，分胜负，无平局．最终他们胜利的场数分别是a，b，b，c，d，d，且a＞b＞c＞d，那么a＝ ．
21．将12个相同的小球放入编号为1至4的四个盒子中，每个盒子中的小球数不小于盒子编号数，那么共有 种不同的方法．
22．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为p0，p1，p2，p3，则p0，p1，p2，p3中最大的是 ．
23．甲、乙、丙、丁四位老师分别教语文、数学、科学、英语，甲老师可以教语文、科学；乙老师可以教数学、英语；丙老师可以教数学、语文、科学；丁老师只能教科学，为了使每人都能胜任工作，那么教数学的是 老师．
24．A，B，C，D，E五人，每人头上戴一顶帽子，只有红或白两种颜色中的一种．他们看见别人所戴的帽子颜色，其中四人分别说了以下的话：
A说：我看到的是3白1红；
B说：我看到的是4红；
C说：我看到的是1白3红；
E说：我看到的是4白．
已知戴白帽子的人说真话，而戴红帽子的人说假话．A，B，C，D，E五人戴的帽子颜色依次是 ．
三．解答题（共3小题）
25．解方程：|||x|﹣2|﹣1|＝3．
26．求证：．
27．解关于x的不等式：|x﹣5|﹣|2x+3|＜1．
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．【解答】解：解不等式x﹣3＜得：x＜7，
解不等式＜x﹣a得：x＞2a+1，
∵关于x的不等式组只有3个整数解，
∴3≤2a+1＜4，
∴1
故选：D．
二．填空题（共23小题）
2．【解答】解：方程可化为y＝，
∵x、y均为正整数，
∴7x＞0，
∴x﹣7＞0且7x是x﹣7的倍数，
当x＝8时，y＝56，
当x＝14时，y＝14，
当x＝56时，y＝8，
∴方程的正整数解有，，共3组，
故答案为：3．
3．【解答】解：分四种情况讨论如下：
①当x＞0，y＞0时，则|x|＝x，|y|＝y，
∴原方程组可化为：，该方程组无解；
②当x＞0，y＜0时，则|x|＝x，|y|＝﹣y，
∴原方程组可化为：，解得：，
而y＝3与y＜0矛盾，不符合题意；
③当x＜0，y＞0时，则|x|＝﹣x，|y|＝y，
∴原方程组可化为：﹣x+y＝12，x+y＝6，解得：符合题意；
④当x＜0，y＜0时，则|x|＝﹣x，|y|＝﹣y，
∴原方程组可化为：，该方程组无解．
综上所述：该方程组有一组解符．
故答案为：一．
4．【解答】解：由题意得：a＜0，b＞0，x≤﹣，
∵，
∴﹣，
∴a＝﹣3b，
∴bx﹣2a≥0，x＝﹣6．
故答案为：﹣6．
5．【解答】解：∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴，
由①得：9x+2≥15x﹣1，
∴x≤．
由②得9x+2＜15x﹣1+3，
∴x＞0，
∴0＜x≤，
∴0＜5x≤，
∴﹣＜5x﹣≤﹣，
∴﹣＜5x﹣≤，
∴整数5x﹣＝0或1或2，
当5x﹣＝0时，x＝．
当5x﹣＝1时，x＝．
当5x﹣＝2时，x＝．
故答案为：或或．
6．【解答】解：根据题意得3≤+＜4，
30≤5x+a＜40，
30﹣a≤5x＜40﹣a，
≤x＜，
∵方程有正整数解，﹣＝2，
∴＞1，
∴a＜35，
故答案为：a＜35．
7．【解答】解：∵0＜a+＜a+＜…＜a+＜2，
∴[a]、[a+]…[a+]，等于0或1
由题设[a]+[a+]+…+[a+]＝18知，
其中有18个等于1，
所以[a+]＝[a+]＝…＝[a+]＝0，
[a+]＝[a+]＝…＝[a+]＝1，
所以0＜a+＜1，1≤a+＜2．
故18≤30a＜19，于是6≤10a＜，所以[10a]＝6，
故答案为：6．
8．【解答】解：由a+b＝2006，c﹣a＝2005，得a+b+c＝a+4011．
∵a+b＝2006，a＜b，a为整数，
∴a的最大值为1002．
∴a+b+c的最大值为a+b+c＝a+4011＝5013．
故答案为：5013．
9．【解答】解：连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y．
则△CFP在CF边上的高为4﹣x，△CGP在CG边上的高为6﹣y．
∵AH＝CF＝2cm，AE＝CG＝3cm，
∴S四边形AEPH＝S△AHP+S△AEP．
＝AH×x×+AE×y×
＝2x×+3y×＝5cm2
2x+3y＝10
S四边形PFCG＝S△CGP+S△CFP＝CF×（4﹣x）×+CG×（6﹣y）×
＝2（4﹣x）×+3（6﹣y）×
＝（26﹣2x﹣3y）×
＝（26﹣10）×
＝8cm2．
故答案为8．
10．【解答】解：设铁路长为x米，分以下两种情况：
（1）在小狗向西跑的情况下，小狗跑的路程为（），火车行的路程为（3x﹣3）米；
（2）在小狗向东跑的情况下，小狗跑的路程为（），火车行的路程为（4x﹣0.5）米；
所以小狗一共跑了（）+（）＝（x﹣0.5）米，火车一共行了（3x﹣3）+（4x﹣0.5）＝（7x﹣3.5）米，
因为（7x﹣3.5）是（x﹣0.5）的7倍，即火车行的路程是小狗跑的路程的7倍，
所以火车的速度是小狗的7倍，
所以小狗的速度为：84÷7＝12（千米/小时）．
故答案为：12．
11．【解答】解：∵甲工程队单独做需要10天完成，乙工程队单独做需要15天完成，
∴甲工程队的工作效率更高，
∴甲工程队做满8天的时候，两队合作天数最少．
设两队合作x天，则乙工程队做了x天，
根据题意得：++＝1，
解得：x＝5，
∴两队要合作5天．
故答案为：5．
12．【解答】解：∵4和9的最小公倍数为36，
19+36＝55，
∴第二次同时经过这两种设施是在55千米处．
故答案为：55．
13．【解答】解：如图所示：
则取法的种数是16．
故答案为：16．
14．【解答】解：设王明输了b场、打平c场，赢了a场，
则a+b+c＝10，
∵他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数，
∴3a＜10，
解得：a＜，即a≤3，
当a＝3时，b＞3，c＞3，
∵b、c都是正整数，
∴b≥4，c≥4，
则b+c≥8，
这与b+c＝7矛盾，
当a＝2时，b+c＝8，b＝3，c＝5或b＝5，c＝3或b＝c＝4都可以，
综上所述：王明最多赢了2场比赛，
故答案为：2．
15．【解答】解：∵a，b为给定的实数，且1＜a＜b，
∴在这一组数据中平均数是：[1+（a+1）+（2a+b）+（a+b+1）]÷4＝，
∴在这一组数据中中位数是：[（a+1）+（a+b+1）]÷2＝，
∴这四个数据的平均数与中位数之差是：﹣＝﹣．
∴这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是：．
故答案为：．
16．【解答】解：首先，如下61个数：11，11+33，11+2×33，...，11+60×33（即1991）满足题设条件，
另一方面，设a1＜a2＜an是从1，2，2010中取出的满足题设条件的数，
对于这n个数中的任意4个数ai，aj，ak，am，
因为33|（ai+ak+am），33|（aj+ak+am），
所以33|（aj﹣ai），
∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数，
设ai＝a1+33di，i＝1，2，3，n，
由33|（a1+a2+a3），得33|（3a1+33d2+33d3），
所以33|3a1，11|a1，即a1≥11，dn＝≤＜61，
故dn≤60，所以n≤61，
综上所述，n的最大值为61．
故答案为：61．
17．【解答】解：根据题意：
第0次操作，可知2+11+8+9＝30．
第一次操作后，可知和为37．
第二次操作后，可知和为44．
经过推理，可以发现每经过一次操作，和增加7，
这样下去，第100次操作后得到的一串数的和是37+99×7＝730．
故答案为：730．
18．【解答】解：∵兔××＝，＝兔×111111，
∴×＝111111＝3×7×11×13×37，
∵一个汉字代表0～9的一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，111111没有相同数字的两位因数有13，2137，39，91，
又∵111111＝13×8547＝21×5291＝37×3003＝39×2849＝91×1221，只有13×8547的6个数字互不相同．
∴所代表的四位数是8547．
故答案为：8547．
19．【解答】解：设9个数字如下排列，
依题意可知：要使九个数字和最小，应在1﹣9中取8个数字，
由题意，得a+c+g+i+2b+2d+2h+2f+4e＝a+b+c+d+e+f+g+h+i+b+h+g+f+e+e+e＝400，
即a+b+c+d+e+f+g+h+i＝400﹣b﹣h﹣g﹣f﹣e﹣e﹣e，
要九个数字和最小，那么需要b+h+g+f+e+e+e尽量大，
当a+c+g+i＝1+2+3+4＝10最小时，
2b+2d+2h+2f+4e＝400﹣10＝390，
即b+d+h+f+2e＝195，
①当e＝85时，b+d+h+f＝25，但5+6+7+8＝26＞25，故舍去；
②当e＝84时，b+d+h+f＝27，数字和a+b+c+d+e+f+g+h+i＝10+84+27＝121；
③当e＝83时，b+d+h+f＝29，数字和a+b+c+d+e+f+g+h+i＝10+83+29＝122；
④当e＝82时，b+d+h+f＝31，（不符合题意，舍去）．
所以9个正整数总和最小值为121，排列如下（不唯一）：
故答案为：121．
20．【解答】解：六人参加乒乓球比赛，每两人比赛一场，
则共有：＝15场比赛，
∴a+b+b+c+d+d＝15，
∵a＞b＞c＞d，
∴6d＜15，
∴d≤2，
当d＝2时，a+b+b+c＝11，
∴4c＜11，
∴c≤2，与已知矛盾，
当d＝1时，a+b+b+c＝13，
∴4c＜13，
∴c≤3，
当c＝3时，a+b+b＝10，
∴3b＜10，
∴b≤3，与已知矛盾，
当c＝2时，a+b+b＝11，
∴3b＜11，
∴b≤3，
当b＝3时，a＝5，
故答案为：5．
21．【解答】解：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有＝10种．
故答案为：10．
22．【解答】解：根据题意画出树状图如下：
一共有36种情况，两个数字之和除以4：和为4、8、12时余数是0，共有9种情况，
和是5、9时余数是1，共有8种情况，
和是2、6、10时余数是2，共有9种情况，
和是3、7、11时余数是3，共有10种情况，
所以，余数为0的有9个，p0＝＝；
余数为1的有8个，p1＝＝；
余数为2的有9个，p2＝＝；
余数为3的有10个，p3＝＝．
可见，＞＞；
∴p1＜p0＝p2＜p3．
故答案为：p3．
23．【解答】解：由题意可得：丁老师只能教科学，则甲老师只能教语文，
∴丙老师教数学，
故答案为：丙．
24．【解答】解：先由易到难，用否定判断法：
若E说了真话，则共有5白，即大家都说了真话，这与其他人所说内容相矛盾，所以E必是戴红帽；
若A说了真话，则共有4白1红，那么除了A、E以外，还有2人说真话，就是B、C也说真话，这也不可能，所以A也戴红帽；
在确定A、E之后，把B、C说真话或假话的情况列表来判断：
设B说真话 红 白 红 红 红
设C说真话 红 红 白 白 红
若B说真话，由于B看到的是4红，则C、D都戴红帽，那么 C应是说假话，
但C说1白3红却是真的，所以矛盾，B没有说真话，应是戴红帽．
最后C确实说了真话（看到1白3红这时可知D是戴白帽．
综上可知，A、B、C、D、E所戴帽子的颜色分别是：红，红，白，白，红．
故答案为：红，红，白，白，红．
三．解答题（共3小题）
25．【解答】解：根据绝对值的定义，由|||x|﹣2|﹣1|＝3得：
||x|﹣2|﹣1＝±3．即：||x|﹣2|＝4或||x|﹣2|＝﹣2（无解），
根据绝对值的定义，由||x|﹣2|＝4得：
|x|﹣2＝±4，即：|x|＝6或|x|＝﹣2（无解），
根据绝对值的定义，由|x|＝6得，
x＝±6．
∴原方程的解为x＝6或x＝﹣6．
26．【解答】证明：∵，＝，，
∴
＝（）+（）+（）
＝．
27．【解答】解：当x≤﹣时，原式即：5﹣x﹣（﹣2x﹣3）＜1，
解得：x＜﹣7；
当﹣＜x＜5时，原式即5﹣x﹣（2x+3）＜1，
解得：x＞，
则x的范围是：＜x＜5；
当x≥5时，原式即：x﹣5﹣（2x+3）＜1，
解得：x＞﹣9，
则x的范围是：x≥5．
综上可知，不等式的解集为x＜﹣7或x＞．
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