2023-2024学年安徽省合肥市包河区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市包河区九年级上学期数学期末试题及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下面四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合．逐一进行判断即可．
【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为，点到圆心的距离为，则有当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可对各选项进行判断．
【详解】解：点是外一点，
，
的长可能为，
故选：D．
3. 已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，再由反比例函数图象的性质得到在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为6，据此可得答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵反比例函数图象上点横纵坐标一定满足其解析式，
∴在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为6，
∴四个选项中只有A选项中点符合此条件，
故选：A．
4. 将抛物线沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．
【详解】解：将抛物线沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是，
故选：C．
5. 如图，是的切线，M是切点，连结、．若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据切线的性质定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到的度数．此题主要考查了切线的性质定理，熟练掌握切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：∵是的切线，M是切点，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D
6. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式的特点，确定其开口方向和对称轴，根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵点，，都在二次函数的图象上，
∴，
故选：A．
7. 小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
A. -1B. 3C. 4D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性即可求出结论．
【详解】解：由表格可知：抛物线过（0，3）、（2，3）、（3，0）
∴抛物线的对称轴为直线x==1
而
∴x=-1对应的纵坐标与x=3对应的纵坐标相等，都是0
∴这个被蘸上了墨水的函数值是0
故选D．
【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴是解题关键．
8. 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（）可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度x为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出x的长．求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵外径为，
∴，
∴．
故选：C．
9. 在中，已知，，，那么的长等于 ( )
A. 1B. 9C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，根据题意，表示出的正切即可解决问题．
【详解】解：在中，
，
又因为，，
所以，
解得．
故选：A．
10. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接、相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于（ ）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，过点B作于H，先证明，进而解直角三角形得到，，再证明得到，则，利用勾股定理求出，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：如图所示，过点B作于H，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
故选：B．
二、填空题（共5小题）
11. 抛物线的顶点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的顶点式；根据抛物线的顶点式可直接得出答案．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
12. 已知，那么__．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的性质，设x＝5a，则y＝2a，代入原式即可求解.
【详解】解：∵，
∴设x＝5a，则y＝2a，
那么．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出的值进而求解是解题关键．
13. 已知线段的长是，点P是线段的黄金分割点，则较长线段的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义即可进行解答．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，线段的长是，线段为较长线段，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是黄金比例，解题的关键清楚黄金比例概念以及黄金分割比为．
14. 如图，为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若，则弧的长为___________．当P点为弧三等分点时，扇形的面积为___________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算即可得到弧的长；分的长等于弧长的和的长等于弧长的两种情况，求出扇形圆心角度数，根据扇形面积公式进行计算即可得到扇形的面积．
【详解】连接AQ，OQ，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴弧的长为．
连接，
当的长等于弧长的时，
∵，
∴，
∴，
∴扇形的面积为，
当的长等于弧长的时，
∵，
∴，
∴，
∴扇形的面积为，
故答案为：，或
【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理、扇形面积公式、圆心角和弧之间的关系，掌握相关公式和分类讨论是解题的关键．
三、解答题（共2小题，每小题8分，计16分）
15 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值和乘方，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：

．
16. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若PC=2，求CD的长．
【答案】（1）见解析 （2）CD的长为
【解析】
【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；
（2）由（1）的结论△ABP∽△PCD 可得，从而可以求出线段CD的长．
【小问1详解】
证明：∵等边三角形ABC，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠CPD=120°，
在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD；
【小问2详解】
解：等边三角形边长为3，PC=2，
由（1）得△ABP∽△PCD，
，
∴，
∴CD=．
答：CD的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD．
四、解答题（共2小题，每小题8分，计16分）
17. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于 和；
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）根据图像，直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）一次函数的解析式为：；反比例函数的解析式为
（2）或
【解析】
【分析】（1）将代入，求出的值，进而求出点的坐标；将点和点的坐标代入一次函数表达式求解即可；
（2）根据图像判断即可；
【小问1详解】
解：（1）将代入，得
∴
将代入，得
∴
将、代入得：

解得：
故一次函数的解析式为：
【小问2详解】
解：由图像可知：
当时，
当时，
故关于x的不等式的解集为：或
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像的性质；熟练掌握函数图像与函数表达式之间的关系是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
（1）画出关于y轴的轴对称图形；
（2）以点O为位似中心，在第一象限中出画出，使得与位似，且相似比为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称及位似，熟练掌握轴对称及位似的性质是解题的关键；
（1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可；
（2）由（1）及位似的性质可进行作图
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求．
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
五、解答题（共2小题，每小题10分，计20分）
19. 为弘扬我国传统文化，合肥市一年一度的端午节龙舟赛在政务区天鹅湖举行，小刚在天鹅湖北广场点P处观看500米直道竞速赛，如图所示，赛道为东西方向，赛道起点A位于点P的南偏东方向上，终点B位于点P的南偏西方向上，米，求点P到赛道的距离（结果保留整数，参考数据：）
【答案】米．
【解析】
【分析】过点作，垂足为，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再根据米，列出关于的方程，进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，垂足为，
设米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵米，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴点到赛道的距离约为米．
20. 如图，为的直径，平分，点C、D都在上，过点D作，交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线．
（2）延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质．
（1）连结，如图，先证明得到，再利用得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）根据含30度角的直角三角形三边的关系，先在中计算出，则，然后在中可计算出的长．
掌握切线的判定方法，是解题的关键．
【小问1详解】
证明：连结，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴．
故答案为：6．
六、解答题（共2小题，每小题12分，计24分）
21. 某景区纪念品超市以50元每个的价格新进一批工艺摆件，经过一段时间的销售发现日销量（个）与单个售价（元）之间的函数关系如下图．（景区规定任何商品的利润率不得高于）
（1）根据图象，直接写出与的函数关系式；
（2）该超市要想每天获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）；（2）销售单价应定为70元；（3）销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元
【解析】
【分析】（1）设y=kx+b，将点(60，140)，(70，120)代入即可求出y与x的函数关系式；
（2）由题意得：利润=单个利润×日销量，根据等量关系列方程，即可求解．
（3）设每天获得的利润为W元，由题意得W与x的二次函数关系式，分析二次函数的图像与性质，以及二次函数的最值，即可求解．
【详解】解：（1）设（，为常数）将点，代入得，
解得
∴y与x的函数关系式为：y=−2x+260；
（2）由题意得：，化简得：，
解得：，，
∵，且，
∴（舍去），
答：销售单价应定为70元．
（3）设每天获得的利润为元，由题意得，
∵，抛物线开口向下，
∴有最大值，当时，，
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确列出函数关系式，是解题的关键.
22. 已知：如图，在中，点D在边上，，，与交于点F．
（1）求证：；
（2）连接，如果，求证∶．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）证明，即可得出；
（2）先推导出，证明，得，即可证明进而得出结论．
【小问1详解】
证明：，，
，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
七、解答题（共1小题，计14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与y轴交于点C．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）如果点D是抛物线位于第三象限上一点，交x轴于点E，且E为的中点．
①求D点坐标；
②点P在x轴上，如果，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①，②或
【解析】
【分析】（1）将点和代入，求出a和b的值即可；
（2）①先求出点C的坐标，设点D的坐标为，根据点E为的中点可求出t的值，即可求出点D的坐标；②分两种情况进行讨论，当点P在点A左侧时和当点P在点A右侧时，画出辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等即可进行解答．
【小问1详解】
解：将点和代入得：
，解得，
∴这个抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
①把代入得：，
∴，
∵D是抛物线位于第三象限上一点，
∴设点D的坐标为，，
∵点E在x轴上，且E为的中点，
∴，解得：，（舍），
∴，
∴点D的坐标为；
②∵点E为的中点，，，
∴，
当点P在点A左侧时，延长交x轴于点F，
设直线的表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的表达式为，
把代入得：，解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点P在点A右侧时，延长交x轴于点F，连接，
同理可得：，，
∴，
∵，，
∴轴，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
综上：点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式、全等三角形的形的性质，注意图形与坐标之间的联系，巧妙的依据已知条件构建全等三角形是解题关键．x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
0
…