2023-2024学年安徽省合肥市肥东县九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市肥东县九年级上学期数学期末试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线的开口方向是（ ）
A. 向右B. 向上C. 向左D. 向下
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与性质，掌握“，开口向上，，开口向下，”即可求解．
【详解】解：中二次项系数为，，
抛物线开口向上．
故选：B．
2. 在中，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，再把已知条件代入即可得到答案．
【详解】解：


故选：B．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的含义，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
3. 下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性，掌握相关函数的图象与性质即可解题．
【详解】解：A、，当时，y随x的增大而增大，不符合题意．
B、，当时，y随x的增大而减小，符合题意．
C、，当时，y随x的增大而增大，不符合题意．
D、，当时，y随x的增大而增大，不符合题意．
故选：B．
4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，平移后的抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”即可得到答案．
【详解】解：根据“上加下减，左加右减”，
向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，
故平移后的表达式为，
即为．
故选A．
5. 如图，C是线段的黄金分割点，，则下列结论中正确的是（ ）

B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．根据黄金分割的定义得出，即可得到答案．
【详解】解：C是线段的黄金分割点，，
，
故选D．
6. 若点（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）分别在反比例函数的图象上，且，则下列判断中正确的是（ ）
A. y1＜y2＜y3B. y3＜y1＜y2C. y2＜y3＜y1D. y3＜y2＜y1
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，根据反比例函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
又∵，
∴，，即，
故选：B．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质．
7. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为（ ）
A.
B.

C.

D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的图像，根据象限得到系数的取值范围是解题的关键．根据题意得到即可得到答案．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
故二次函数开口向上，且交轴的负半轴，
故选D．
8. 已知中，是高，，，，则为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况讨论，①AD在三角形内部，②AD在三角形外部，分别画出图形求解即可．
【详解】①当AD在三角形内部时：
∵tan∠B==1，tan∠C==，
∴∠B=45°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-45°-30°=105°，
②当AD在△ABC外部时：
∵tan∠C==，tan∠ABD==1，
∴∠C=30°，∠ABD=45°，
∴∠BAC=45°-30°=15°，
故选C.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，分类讨论并熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键.
9. 如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（ ）
A. 6B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何综合，延长，交轴于点，有轴，根据平移特点证明四边形为菱形，得到，设，则，，由与都在反比例函数图象上，建立等式，求得值，再利用勾股定理求得值，即可解题．
【详解】解：延长，交轴于点，由题意知，轴，
沿y轴向上平移3个单位长度至，且，
，，
四边形为菱形，
，
设，则，
，且点D为的中点，
，
与都在反比例函数图象上，
，解得，即，
，
，即，
，即．
故选：B．
10. 如图△ABC的边上有D，E，F三点，若，，，，，，则四边形ADEF与△ABC的面积之比为（ ）
A. 1：3B. 1：4C. 2：5D. 3：8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．证明，再利用相似三角形的性质求出，得出，再证明，求出，即可求出答案．
【详解】解： ，
，
，
∴，
，
（负值舍去），
，
，
同理可证，
，
，
，
,
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
11. 设，那么______________
【答案】
【解析】
【分析】根据比例式的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了比例的基本性质．如果，那么．
12. 如图，直线，若，，，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3．AB＝6，BC＝10，
∴，
∵EF＝9，
∴DE．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
13. 如图，在中，为上一点，且于，连结，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】作，将的值转化为与的比，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正切值与三角形边的关系，代入三角函数进行求出与的长．
【详解】解：如图，作出，垂足为，则，
设，则，，
，
，
．
，
，，
，，
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了比例线段性质和锐角三角函数的概念，熟悉相关性质是解题的关键．
14. 在二次函数中，t为大于0的常数．
（1）若此二次函数的图象过点，则t等于______；
（2）如果，，都在此二次函数的图象上，且，则m的取值范围是______．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题考查根据点坐标求未知数的值，
（1）根据题意将代入中即可得到本题答案；
（2）根据题意求得对称轴，再利用增减性及题干条件分情况讨论即为本题答案．
【详解】解：（1）∵若此二次函数的图象过点，
∴将代入中得：，解得：；
（2）∵，，都在此二次函数的图象上，
∴二次函数对称轴为：，即：，
∵，即：，解得：，
∵，
∴在对称轴左侧，在对称轴右侧，
在中，令，即：，
∴与轴的交点为，
∴关于对称轴直线的对称点为，
∵，
∴，即：，
①当，都在对称轴左侧时，
∵随增大而减小，且，
∴，解得：，
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
∵，
∴到对称轴距离大于到对称轴的距离，
∴，解得：，
∴此时满足的条件是，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，满分64分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记几个特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入，然后运用实数运算法则进行计算，即可解题．
详解】解：
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标；
（2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）．
【答案】（1）图见解析，点E的坐标为．
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查根据位似图形找位似中心，位似作图，掌握位似图形的特征是解题的关键．
（1）由位似中心是对应点连线的交点作图即可，再根据点的位置直接写出点的坐标即可解题；
（2）根据位似比确定、、的位置，再连线即可得到．
【小问1详解】
解：点E的位置如下图所示：
由图知，点E的坐标为．
【小问2详解】
解：得到如图所示：
17. 已知抛物线．
（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
（2）x取何值时，？
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了顶点式，熟练掌握函数的图形和性质是解题的关键．
（1）用配方法变成顶点式即可得到答案；
（2）令，确定函数图像与轴的交点，结合开口方向即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
顶点坐标，
对称轴；
小问2详解】
解：令，即，
解得或，
由于抛物线开口向下，
故当或时，．
18. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过几秒钟，与相似．

【答案】经过秒或秒钟，与相似．
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，设经过秒钟时，与相似，得到，，，讨论对应边的不同，分别利用相似三角形对应边成比例，建立方程求解即可．
【详解】解：设经过秒钟，与相似．
由题意得，，
，，
，，
与相似，
当与对应时，有，即，解得，
当与对应时，有，即，解得，
综上所述，经过秒或秒钟，与相似．
19. 学校科技创新社团制作了一种固定翼飞机的机翼模型，形状如图所示．测得，，，，，求边的长．
（参考数据：，，，，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．作，在中求出；证四边形是矩形得；在中求出即可求解．
【详解】解：作，如图所示：
在中，，
∴
∵，，
∴
∴四边形是矩形，
∴
在中，，
∴
∴
20. 如图1放置的木板余料，下方边缘为，上方边缘呈抛物线形状，最大高度为．如图2，建立平面直角坐标系，在轴上，轴正好是此木板的对称轴．
（1）求木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式；
（2）如图3，若从此木板中切割出矩形，且边在轴上，求此矩形的最大周长；
（3）若从此木板中横向切割出短边为的矩形木板若干块（矩形的长边与轴共线或平行），然后拼接成一个短边为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出此时的切割方案，并直接写出拼接后矩形长边的最长长度．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）
（3）见详解，
【解析】
【分析】（1）根据已知可得抛物线的顶点坐标为，，，再设抛物线表达式为，把代入，可求出，即可得出抛物线的函数表达式；
（2）在矩形中，设，由抛物线的对称性可知，因此矩形的周长为，由于，且，当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
（3）如图画出的切割方案，分别令，，，，即可求出，，，，再加起来即为拼接后的矩形的长边长．
【小问1详解】
根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，，，
设抛物线的函数表达式为
点此抛物线上，
，
，
木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
在矩形中，设，
由抛物线的对称性可知，
矩形的周长为
，
，且，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为，
此矩形的最大周长为；
【小问3详解】
如图是画出的切割方案：
在中，令，则有
，
，
，
在中，令，则有
，
，
，
在中，令，则有
，
，
，
在中，令，则有
，
，
，
拼接后的矩形的长边长为
．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的表达式和二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
21. 如图1，E是矩形边的中点，F是边上一点，线段和相交于点P，连接，过点A作交于点Q．
（1）求证：；
（2）已知，，，求的长；
（3）当F是的中点时，求值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）本题根据平行线性质得到，根据矩形的性质得到，证明，得到，再结合E是的中点，即可解题．
（2）本题根据，证明，得到，再结合矩形性质证明，得到，即可解题．
（3）本题作，交于点，结合矩形的性质证明，推出，，再证明，得到，即可解题．
【小问1详解】
解：，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
E是的中点，
，
．
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，．
【小问3详解】
解：作，交于点，如图所示：
，
四边形为矩形，
，，
四边形为矩形，
，，，
即，
，
，
F是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行线性质、中点的特点、相似三角形的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关定理并灵活运用．