人教版数学七下高频考点突破练习专题02 相交线与平行线 重难点题型（2份，原卷版+解析版）

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解题技巧：邻补角的和等于180°，对顶角相等这两个结论在几何计算中的应用非常广泛。邻补角和对顶角在解题中常常起着桥梁的作用，它们可以将未知角和已知角直接联系起来，是复杂的问题简单化。我们要善于挖掘题干中的隐含信息，充分利用邻补角和对顶角的关系，使其与已知条件相联系，从而使所求问题得到解决。
1．（2021·四川南充·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，OF平分∠DOE，若∠AOC＝32°，则∠AOF的度数为（ ）
A．119°B．121°C．122°D．124°
【答案】A
【分析】根据OE⊥AB于O，即可得出∠BOE＝∠AOE＝90°，进而求出∠DOE＝58°，再利用OF平分∠DOE，即可求出∠EOF的度数，再由∠AOF＝∠AOE+∠EOF即可求出∠AOF的度数．
【详解】解：∵OE⊥AB于O，∴∠BOE＝∠AOE＝90°，∵∠AOC＝32°，∴∠AOC＝∠BOD＝32°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣32°＝58°，∵OF平分∠DOE，∴∠EOFDOE29°，
∠AOF＝∠AOE+∠EOF＝90°+29°＝119°．故选：A．
【点睛】此题主要考查了垂线、角平分线的定义、对顶角等知识点，根据已知熟练应用角平分线的性质以及邻补角与余角之间关系是解题关键．
2．（2021·全国·七年级专题练习）如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE ⊥CD于点O，∠AOC=40，则∠EOF=_______．
【答案】130°
【分析】根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=40°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=40°，根据OE⊥CD，得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°即可．
【详解】解：∵AB、CD相交于点O，∴∠BOD=∠AOC=40°．
∵OD平分∠BOF，∴∠DOF=∠BOD=40°，∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°．故答案为130°．
【点睛】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．
3．（2021·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）已知，线段AB垂直于线段CD，垂足为O，OE平分∠AOC，∠BOF＝28°，则∠EOF＝____°．
【答案】107
【分析】分两种情况：①射线OF在∠BOC内部；②射线OF在∠BOD内部．
【详解】解：∵AB⊥CD，垂足为O，∴∠AOC=∠COB=90°，
∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE=∠AOC=45°．分两种情况：
①如图1，射线OF在∠BOC内部时，
∵∠AOE=45°，∠BOF=28°，∴∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF=107°；
②如图2，射线OF在∠BOD内部时，
∵∠COE=45°，∠COB=90°，∠BOF=28°，∴∠EOF=∠COE+∠COB+∠BOF=163°．
故答案为107或163．
【点睛】本题考查了垂直的定义，角平分线定义以及角的计算，进行分类讨论是解题的关键．
4．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）已知：如图，直线相交于点，平分，若，求的度数．
【答案】
【分析】先根据平角的定义和可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据对顶角相等即可得．
【详解】解：，，
平分，，由对顶角相等得：．
【点睛】本题考查了对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
5．（2021·全国·七年级课时练习）如图，斜折一页书的一角，使点落在同一书页内的处，为折痕，作平分，试猜想等于多少度，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】根据折叠的性质得出∠FDE=∠ADE=∠ADF，根据角平分线定义求出∠GDF=∠BDF，推出∠EDG=∠BDF+∠ADF=∠BDA即可求出答案．
【详解】解：∠EDG=90°；
理由是：∵斜折一页书的一角，使点A落在同一书页内的F处，DE为折痕，∴∠FDE=∠ADE=∠ADF，
∵DG平分∠BDF，∴∠GDF=∠BDF，
∴∠EDG=∠GDF+∠FDE=∠BDF+∠ADF=∠BDA=×180°=90°．
【点睛】本题考查了角平分线定义和折叠的性质的应用，关键是求出∠EDG=∠BDF+∠ADF=∠BDA．
6．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB．
（1）如图，，求∠AOC的度数．
（2）如图，在（1）的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，满足射线OM平分∠BOD在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与2∠EOF度数相等的角．
【答案】（1）60°；（2）∠BOC，∠AOD，∠NOF，∠EOM
【分析】（1）根据对顶角的性质得出，再根据列出方程即可求解；
（2））根据（1）中∠AOC＝60°，分别计算各角的度数，得其中∠EOF＝60°，根据各角的度数可得结论．
【详解】：（1）如图1，∵，且，∴，
∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∴∠COB-∠COE-＝90°，
，，∴，
（2）如图2，由（1）知：∠AOC＝60°，
∵射线OM平分∠BOD，∴∠BOM＝∠DOM＝∠AON＝∠CON＝30°，
∵OE⊥AB，OC⊥OF，∴∠AOE＝∠COF＝90°，∴∠AOC＝∠EOF＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝∠FON＝∠EOM＝180°﹣60°＝120°＝2∠EOF，
∴与2∠EOF度数相等的角是：∠AOD，∠BOC，∠FON，∠EOM．
【点睛】本题考查的是垂直的性质，角平分线的定义，以及对顶角和邻补角，熟练掌握这些性质和定义是关键，并会识图，明确角的和与差．
7．（2021·河南济源·七年级期末）直线AB、CD相交于点O，OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线
（1）画出这个图形；（2）射线OE、OF在同一条直线上吗？请说明理由；
（3）画∠AOD的平分线OM，OE与OM有什么位置关系？
（4）请名用一句话归纳对顶角、邻补角的角平分线的位置关系．
【答案】（1）见解析；（2）在，理由见解析；（3）OM⊥OE，理由见详解；（4）对顶角的平分线在同一直线上；邻补角的平分线互相垂直
【分析】（1）利用基本作图，作∠AOC和∠BOD的平分线；
（2）证明∠EOF=180°，则可判断射线OE、OF在同一条直线；（3）依据题意画出图形，由垂线的定义结合已知结论判断即可；（4）利用（2）（3）的结论得到对顶角的平分线在同一直线上；根据邻补角的定义和垂直的定义可得到邻补角的平分线互相垂直．
【详解】解：（1）如图，即为所作；
（2）射线OE、OF在同一条直线；
理由如下：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠COE=∠AOC，∠DOF=∠BOF=∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，∴∠COE=∠DOF，∵∠COB+∠BOD=180°，
即∠COB+∠BOF+∠DOF=180°，∴∠COB+∠BOF+∠COE=180°，即∠EOF=180°，
∴射线OE、OF在同一条直线；
（3）OM⊥OE，理由如下：∵OM平分∠AOD，∴∠AOM=∠DOM，
由（2）可得：∠AOE=∠DOF，而∠AOE+∠DOF+∠AOD=180°，
∴∠AOE+∠AOM=90°，∴OM⊥OE．
（4）对顶角的平分线在同一直线上；邻补角的平分线互相垂直．
【点睛】本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．也考查了邻补角和对顶角．
题型2 平行线间距离与面积问题
解题技巧：两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解此类题型时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。
1．（2020·上海金山·初一期中）如图，，是线段上任意一点，与相交于点，若的面积是5，的面积是1，则的面积是______．
【答案】4
【分析】由AD∥BC，S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等，则得到S△CBE=S△ABC=5，再利用S△BOC = S△CBE - S△EOC得到结论．
【解析】解：∵AD∥BC，∴S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等.∴S△CBE=S△ABC=5，
∵S△EOC=1，∴S△BOC = S△CBE - S△EOC =5-1=4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
2．（2020·南通市通州区育才中学八年级月考）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（ ）
A．AC=BPB．△ABC的周长等于△BCP的周长
C．△ABC的面积等于△ABP的面积D．△ABC的面积等于△PBC的面积
【答案】D
【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．
【详解】解：∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，
根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形，
故△ABC的面积等于△PBC的面积．故选D．
【点睛】本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．
3．（2020·江苏泰州市·昭阳湖初中八年级期中）如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】由中线的性质可得，，由角平分线的定义可得；由AF是的高，可得．
【详解】解：是中线，，，故A、D说法正确；
是角平分线，，，故C说法错误；
是的高，，，故B说法正确；故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键．
4．（2020·上海市建平中学初一期末）直线，点、位于直线上，点、位于直线上，如果和的 面积之比是，那么____．
【答案】9：16
【分析】根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△BCD和△ABC的面积比等于CD：AB，从而进行计算．
【解析】解：∵a∥b，∴△ABC与△CBD等高∴△ABC的面积：△CBD的面积=AB：CD，
∵△ABC和△CBD的面积之比是9：16，∴AB：CD=9：16，故答案为：9：16．
【点睛】此题考查了平行线间的距离以及三角形的面积比的一种方法，即等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比．
5．（2020·河北滦州·初一期中）如图，直线，点是直线上一个动点，当点的位置发生变化时，三角形的面积（ ）
A．向左移动变小B．向右移动变小C．始终不变D．无法确定
【答案】C
【分析】根据平行线间的距离处处相等可得点P到CD的距离不变，因此三角形的面积不变．
【解析】解：∵直线，点是直线上一个动点，
∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变，
∴三角形的底不变，高不变，面积也不变，故选：C．
【点睛】本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．
6．（2021·上海市培佳双语学校初一月考）已知，，且，和的面积分别为2和8，则的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】利用平行线间的距离相等可知与的高相等，底边之比等于面积之比，设的面积为，建立方程即可求解．
【解析】∵∴与的高相等
∵∴
设的面积为，则，
∴解得∴故选B．
【点睛】本题考查平行线间的距离问题，由平行线间的距离相等得到两三角形的高相等，从而建立方程是解题的关键．
题型3 网络平移
解题技巧：观察比较网格中平移前后图形的位置变换，确定平移方向和平移距离。
1．（2021·江苏泰州市·七年级期末）如图是由相同边长的小正方形组成的网格图形，小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点都在格点上，利用网格画图．（注：所画格点、线条用黑色水笔描黑）
（1）过点画的垂线，并标出垂线所过格点；（2）过点画的平行线，并标出平行线所过格点；（3）画出向右平移8个单位长度后的位置；（4）的面积为______．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）9.5
【分析】（1）根据网格特点以A为锐角顶点，对边为1，临直角边为5构造格点直角三角形，即可解答；
（2）根据网格特点以A为锐角顶点，对边为1，临直角边为5构造格点直角三角形，即可解答；
（3）根据平移的性质，向右8个单位长度描出对应顶点，即可画出；
（4）由矩形法即可求出三角形面积．
【详解】解：（1）如图所示，AP是的垂线；为所求格点；
（2）如图所示，，、为所求格点；
（3）如图所示，为所求；
（4）的面积，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握相关性质以及结合网格画出对应点是解题关键．
2．（2020·安徽合肥市·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－5， 1)，B(4，0)，C(2，5)，将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△EFG．
（1）画出平移后的图形，并写出△EFG的三个顶点坐标．
（2）求△EFG的面积．
【答案】（1）画图见解析；，，；（2）21.5
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点E，F，G即可解决问题．
（2）利用分割法求三角形面积即可．
【详解】解：（1）如图，△EFG即为所求，E（-3，0），F（6，-1），G（4，4）．
（2）S△EFG=5×9-×1×9-×5×2-×4×7=21.5．
【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．（2020·浙江金华市·八年级期末）在如图所示的方格纸中，
（1）作出关于对称的；
（2）是由经过怎样的平移得到的？并求出在平移过程中所扫过的面积．
【答案】（1）图见解析；（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，面积是16
【分析】（1）作点A、B、C关于MN的对称点、、，即可得到；
（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位可以得到，画出平移的图象，求出扫过的面积．
【详解】解：（1）如图所示，
（2）如图所示，
先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到，
在平移过程中所扫过的面积是图中阴影部分，
．
【点睛】本题考查轴对称和平移，解题的关键是掌握轴对称图形的画法和图形平移的方法．
4．（2020·江苏盐城市·金丰初中七年级月考）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点.(1)画出△ABC的边上的中线CD．(2)画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1.
(3)图中AC与A1C1的关系是：______.
【答案】（1）作图见解析；(2)作图见解析；（3）平行且相等
【分析】（1）根据中线的定义得出AB的中点即可得出△ABC的AB边上的中线CD；
（2）平移A，B，C各点，得出各对应点，连接得出△ ；
（3）利用平移的性质得出AC与A1C1的关系；
【详解】（1）△ABC的AB上的中线CD如图所示，

（2）△如图所示，
（3）根据平移的性质得出,AC与 的关系是：平行且相等；
5．（2020·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）如图，在所给网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）△ABC经过平移后得到△A1B1C1，请描述这个平移过程；
（2）过点C画AB的平行线CD；（3）求出△ABC的面积．
【答案】（1）△ABC向下平移4个单位，向左平移5个单位得到△A1B1C1；（2）见解析；（3）5．
【分析】（1）根据平移变换的性质解决问题即可；（2）利用数形结合的思想解决问题即可；
（3）利用分割法求解即可．
【详解】解：（1）△ABC向下平移4个单位，向左平移5个单位得到△A1B1C1；
（2）如图，直线CD即为所求；
（3）S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝16﹣6﹣1﹣4＝5．
【点睛】本题考查作图−应用与设计，平行线的判定和性质，三角形的面积，坐标与图形的平移等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2020·江苏扬州市·七年级期末）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，在方格纸内将经过一次平移后得到， 图中标出了点的对应点．请利用网格点和直尺画图或计算：
（1）在给定方格纸中画出平移后的；（2）画出边上的中线及高线 ；
（3）在上述平移中，边所扫过的面积为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34
【分析】（1）首先确定A、C两点平移后的位置，再连接即可；
（2）利用三角形中线和高的定义画图即可；（3）利用矩形面积减去多余三角形面积即可．
【详解】解：（1）如下图所示；
（2）如下图所示；
连接AA′，BB′，边AB所扫过的面积为：．
故答案为：34．
【点睛】此题主要考查了平移变换，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
题型4 命题概念理解性问题
解题技巧：判断一个命题的正假，只要举出一个反例，即让它符合命题的题设，但不满足结论就可以了。证明一个命题正确时，证明中的每一步推理都要有依据，不能“想当然”。这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等。
1．（2020·浙江绍兴市·八年级月考）命题“对顶角相等”改写成如果_____________________，那么____________________．
【答案】两个角是对顶角 这两个角相等
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【详解】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．
【点睛】本题主要考查了将原命题写成题设与结论的形式，“如果”后面是命题的题设，“那么”后面是命题的结论，解决本题的关键是找到相应的题设和结论，比较简单．
2．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．
【详解】解：能说明命题“若，则”是假命题的一个反例是：
，，，但，故选：A．
【点睛】此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
3．（2021·浙江杭州市·八年级期末）要说明命题“若a>b，则a2>b2” 是假命题，可设( )
A．a=3，b=4B．a=4， b=3C．a=－3，b=－4D．a=－4，b=－3
【答案】C
【分析】说明是假命题，只需举一个反例即可，作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．
【详解】解：A选项和D选项中，a＜b，不满足条件，不能作为反例，不符合题意；
B选项中，a=4， b=3，满足a>b，也满足a2>b2，不能作为反例，不符合题意；
C选项中，a=－3，b=－4，满足a>b，a2＜b2，能作为反例，符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以．
4．（2021·重庆南岸区·八年级期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，同旁内角相等D．两直线平行，同旁内角互补
【答案】C
【分析】根据平行线的性质定理依次作出判断即可．
【详解】解：A. 两直线平行，内错角相等，正确，真命题，不符合题意；
B. 两直线平行，同位角相等，正确，真命题，不符合题意；
C. 两直线平行，同旁内角相等，错误，假命题，符合题意；
D. 两直线平行，同旁内角互补，正确，真命题，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查判断命题的真假．掌握平行线的性质定理是解题关键．
5．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学七年级期末）下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两点之间线段最短 C．同角的余角相等 D．内错角相等
【答案】D
【分析】根据相关概念辨析即可．
【详解】根据相关定义A，B，C均正确，
对于D，当两直线平行时，内错角相等，故本选项是假命题，故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到直线相交时产生的相关概念，以及两点间距离等等，熟记基本定理及性质是解题关键．
6．（2021·四川成都市·八年级期末）下列命题中，真命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行B．相等的角是对顶角
C．同位角相等D．直角三角形两个锐角互补
【答案】A
【分析】利用平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
C、只有当两直线平行时，同位角才会相等；两直线不平行时，同位角不会相等，故错误，是假命题；
D、直角三角形两锐角互余，不会互补，故错误，是假命题．故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义，难度不大．
题型5、折叠问题中角的计算
解题技巧：在折叠的过程中，会产生相等的角。利用折叠中的相等角，结合对顶角、邻补角进行推导求解。
1．（2020·江苏秦淮·南京一中初二月考）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=_____．
【答案】25°．
【解析】首先根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AD∥BC，进而可以计算出∠EBC，再根据折叠可得∠EBD=∠CBD=∠EBC，然后再根据平行线的性质可以计算出∠ADB的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∵∠ABE=40°，∴∠EBC=90°﹣40°=50°，根据折叠可得∠EBD=∠CBD，∴∠CBD=25°，
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=25°，故答案为25°．
考点：翻折变换（折叠问题）．
2．（2020·江苏高邮·初一期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则’等于__________．
【答案】
【分析】先根据两直线平行，内错角相等，由AD∥BC得到∠DEF＝∠EFB＝68°，再利用折叠的性质得到∠D′EF＝∠DEF＝68°，然后利用平角的定义求解．
【解析】∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝68°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点DC分别落在点D′、C′的位置，∴∠D′EF＝∠DEF＝68°，
∴∠AED′＝180°−∠D′EF−∠DEF＝180°−2×68°＝44°．故答案为44°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
3．（2020·江西九江.初一期末）将如图1的长方形纸片沿折叠得到图2，折叠后与相交于点．如果则的度数为____．
【答案】55°
【分析】根据翻折可知对应角都相等．另外两直线平行，同旁内角互补．利用这两条性质即可解答．
【解析】解：∵AE∥BF，∴∠AEP=∠FPE=70°．又∵折叠后DE与BF相交于点P，设∠PEF=x，
即∠AEP+2∠PEF=180°，即70°+2x=180°，x=55°．即∠PEF=55°，故答案为：55°．
【点睛】解答此题的关键是要明白图形翻折变换后与原图形全等，对应的角和边均相等．
4．（2020·广东禅城.初一期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，则∠BFC′的度数为_________．
【答案】30°．
【分析】根据平角的定义计算出∠DED′=150°，再根据折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，所以∠DEF=∠DED′=75°．再由平行线的性质可得∠DEF=∠EFB=75°，∠DEF+∠EFC=180°，即可得∠EFC=105°，由折叠的性质可得∠EFC=∠EF C′=105°，由此可得∠BFC′=∠EF C′-∠EFB=105°-75°30°.
【解析】∵∠AED′=30°，∴∠DED′=180°-∠AED′=180°-30°=150°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，
∴∠DEF=∠D′EF，∴∠DEF=∠DED′=×150°=75°．
∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=75°，∠DEF+∠EFC=180°，∴∠EFC=105°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，
∴∠EFC=∠EF C′=105°，∴∠BFC′=∠EF C′-∠EFB=105°-75°30°.故答案为30°．
【点睛】本题考查了折叠的性质及平行线的性质，熟练运用折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键.
5．（2020·内蒙古临河.初一期末）如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则________度．
【答案】65
【分析】根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可．
【解析】解：如图，由题意可知，AB∥CD，∴∠1+∠2=130°，
由折叠可知，∠1=∠2，∴2∠1＝130°，解得∠1＝65°．故答案为：65．
【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般．
6．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°．
【答案】110
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，可以得到∠2的度数，本题得以解决．
【详解】如图：
由折叠的性质可得，∠1＝∠3，∵∠1＝55°，∴∠1＝∠3＝55°，
∵长方形纸片的两条长边平行，∴∠2＝∠1+∠3，∴∠2＝110°，故答案为：110．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
题型6、识别同位角、内错角和同旁内角
解题技巧：常见的识别方法有2种，具体如下
方法一、定义法：如下图：
= 1 \* GB3 ①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角
例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找
= 2 \* GB3 ②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系
例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8与∠4符合同位角关系。
内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠2符合内错角关系。
同旁内角，即：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符合同旁内角关系。
方法二、像形识别法： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①同位角：F = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②内错角：Z = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③同旁内角：C
1.（2021•巴州区校级期中）如图，下列说法中错误的是（ ）
A．∠3和∠5是同位角 B．∠4和∠5是同旁内角 C．∠2和∠4是对顶角 D．∠2和∠5是内错角
【分析】根据同位角，同旁内角，对顶角以及内错角的定义进行判断．
【答案】解：A、∠3和∠5是同位角，故本选项不符合题意．
B、∠4和∠5是同旁内角，故本选项不符合题意．
C、∠2和∠4是对顶角，故本选项不符合题意．D、∠2和∠5不是内错角，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．
2．（2021·浙江长兴·七年级期末）如图，与是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角
【答案】A
【分析】先确定基本图形中的截线与被截线，进而确定这两个角的位置关系即可．
【详解】解：根据图象，∠A与∠1是两直线被第三条直线所截得到的两角，因而∠A与∠1是同位角，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同位角的定义，是需要识记的内容，比较简单．
3．（2021·广东东莞·七年级期末）如图所示，下列四个选项中不正确的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是对顶角 D．与是邻补角
【答案】B
【分析】根据同旁内角，内错角，对顶角，邻补角的定义逐项分析．
【详解】A. 与是同旁内角，故该选项正确，不符合题意；
B. 与不是内错角，故该选项不正确，符合题意；
C. 与是对顶角，故该选项正确，不符合题意；
D. 与是邻补角，故该选项正确，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了同旁内角，内错角，对顶角，邻补角的定义，理解定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别在两条直线的同侧,且在第三条直线的同旁,那么这两个角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别在两条直线之间,且在第三条直线的两侧,那么这两个角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别在两条直线之间,且在第三条直线的同旁,那么这两个角叫做同旁内角．两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
4．（2021·山西忻州·七年级期末）如图，与是同旁内角，它们是由（ ）
A．直线，被直线所截形成的 B．直线，被直线所截形成的
C．直线，被直线所截形成的 D．直线，被直线所截形成的
【答案】A
【分析】根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角．
【详解】解：与是同旁内角，它们是由直线，被直线所截形成的故选A．
【点睛】本题考查了同旁内角的含义，熟练掌握含义是解题的关键．
5．（2021·山东郯城·七年级期末）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠2 和∠4B．∠6和∠4C．∠2 和∠6D．∠6和∠3
【答案】A
【分析】同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，根据此定义即可得出答案．
【详解】解：∵直线AD，BE被直线BF和AC所截，∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠4是内错角，故选A．
【点睛】本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题关键是熟记内错角和同位角的定义．
6．（2021·辽宁朝阳·七年级期中）已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如：从起始位置跳到终点位置有两种不同路径，路径1：；路径2：.
试一试：（1）写出从起始位置跳到终点位置的一种路径；
（2）从起始位置依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置？
【答案】（1）（答案不唯一）；（2）能跳到终点位置.其路径为
（答案不唯一）
【分析】（1）根据同旁内角、内错角和同位角的定义进行选择路径即可；（2）先判断能够到达终点位置，在根据定义给出具体路径即可.
【详解】（1）（答案不唯一）路径：.
（2）从起始位置依次按同位角内错角同旁内角的顺序跳，能跳到终点位置.其路径为
（答案不唯一）.
【点睛】本题考查的是同位角、内错角和同旁内角的定义，熟知这些角的特征是解题的关键.
题型7、 证平行线的技巧
解题技巧：
1）、借助平行公理及推论证平行：证平行中，理清需要证明的是哪两条线，然后再观察题干，看那些已知条件的某部分与证平行的3类角有关系，则优先考虑以此展开证明推导。
2）、转化法论证平行：在证明的过程中，有些题目并不能很明确的发现3类角之间的关系，通常需要寻找中间角，将已知角进行转化，最终推导出3类角之间的关系。
1．（2020·河北宣化·初三二模）如图是某节数学课上王老师和琪琪的对话，根据对话内容，判定的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．内错角互补，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【分析】根据三角板中的度数，结合图形，利用平行线的判定即可做出选择．
【解析】∵，，，
故根据内错角相等，两直线平行得故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，熟知三角板中的度数，掌握平行线的判定是解答的关键．
2．（2020·太原师范学院附属中学初一月考）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤；⑥，能得的有_________ (只填序号)．
【答案】①③⑥
【分析】根据平行线的判定逐一判断即可．
【解析】解：①，，故本条件正确；
②，，故本条件错误；③，，故本条件正确；
④，不能判定任何直线平行，故本条件错误；
⑤，，故本条件错误；
⑥，，故本条件正确．故答案为：①③⑥．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
3．（2020·山西期末）综合与探究
问题情境：如图，已知平分，于点D，E为延长线上一点，于点F，平分交于点G，．
问题发现：（1）如图1，当时，____________°；
（2）如图2，当为锐角时，与有什么数量关系，请说明理由；
拓展探究：（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究和的位置关系，并证明结论；（4）如图3，当为锐角时，若点E为线段上一点，于点F，平分交于点H，．请写出一个你发现的正确结论．
【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3），证明见解析；（4）答案不唯一，例如
【分析】（1）根据角平分线的性质得∠1=∠AOB=45，∠2=∠DEF=45，即可求得；
（2）根据角平分线的性质得，，即可求得；
（3）在Rt△EFG中，得到，结合，得到∠2=∠EGF，即可得到；
（4）根据角平分线的性质得∠1=∠AOB，∠2=∠DEF，即可求得．
【解析】（1）∵，∴，∵，∴，
∵平分，平分，∴∠1=∠AOB=45，∠2=∠DEF=45，
∴；故答案为：90；
（2）．理由如下：
∵，分别是，的平分线，
∴，，∴，
∵，∴；
（3）和的位置关系为OC∥GE．
证明：∵于点，∴．∴．
∵，∴，∴OC∥GE；
（4）答案不唯一，例如．
理由如下：∵，分别是，的平分线，
∴，，∴，
∵，∴；
【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
4．（2020·陕西省西安市育才中学初一月考）如图，已知∠ABC=180°-∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．
(1)求证：AD∥BC；(2)若∠ADB=36°，求∠EFC的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)36°.
【分析】(1)求出∠ABC+∠A=180°，根据平行线的判定推出即可；
(2)根据平行线的性质求出∠DBC，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠EFC．
【解析】 (1)证明：∵∠ABC=180°-∠A，∴∠ABC+∠A=180°，∴AD∥BC；
(2)∵AD∥BC，∠ADB=36°，∴∠DBC=∠ADB=36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，∴∠DBC=∠EFC=36°
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
5．（2020·南阳市油田教育教学研究室初一期末）如图，在中，是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点．
（1）求和的度数；（2）若，问：//吗，请说明理由．
【答案】(1) 105°，30°；(2)平行，理由见解析
【分析】(1)根据折叠求出∠BAD=∠DAF，根据三角形内角和定理求出∠AFB的度数后进而求得∠AFC；由三角形内角和定理求出∠ADB，进而求得∠ADF，再用∠ADB-∠ADF即可求解；
(2)求出∠C=∠EDF=30°，即可证DE∥AC．
【解析】解：(1)由折叠前后对应的角相等可知，∠BAD=∠DAF=30°，
∴∠BAF=∠BAD+∠DAF=30°+30°=60°，
在△ABF中，由三角形内角和定理可知，∠AFB=180°-∠BAF-∠B=180°-60°-45°=75°，
∴∠AFC=180°-∠AFB=180°-75°=105°，
在△ABD中，由三角形内角和定理可知，∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-30°-45°=105°，
∴∠ADF=180°-∠ADB=75°，由折叠前后对应的角相等可知，∠ADE=∠ADB=105°，
∴∠EDF=∠ADE-∠ADF=105°-75°=30°，故答案为：105°，30°；
(2) //，理由如下：∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠B=∠E=45°，
∵∠E：∠C=3：2，∴∠C=30°，∴∠C=∠EDF=30°，∴DE∥AC．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的判定等知识点，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键．
6．（2021·辽宁朝阳市·八年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．
【答案】EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC，见解析
【分析】根据同角的补角相等，和平行线的判定定理即可作出判断．
【详解】解：EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC．
理由：∵∠EOD＋∠OBF＝180°，又∠EOD＋∠BOE＝180°，∴∠BOE＝∠OBF，∴EC∥BF；
∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，
又∵EC∥BF，∴∠ECB＝∠CBF，∴∠DBC＝∠CBF，
又∵∠DBC＝∠G，∴∠CBF＝∠G，∴DG∥BF；
∵EC∥BF，DG∥BF，∴DG∥EC．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质定理及补角定理是解题关键．
题型8 平行线的性质
解题技巧：平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来提现的。
1）3类角的大小关系都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提条件“两直线平行”，当两直线不平行时，3类角无大小关系。
2）如果要从角的关系得到的结论是两直线平行，用平行线的判定；如果已知两直线平行，从平行线得到角相等或互补关系，用平行线的性质。填写理由时，要防止把性质与判定混淆。
1．（2020·河南西华·初一期中）如图所示，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为A，B，C，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC交直线AC于点E，过点E作EF∥AB交直线BC于点F，若∠ABC＝50°，则∠DEF的度数___．
【答案】130°．
【分析】先求出∠ABC＝∠ADE＝50°，再求出∠DEF＝180°﹣50°＝130°即可．
【解析】解：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE＝50°（两直线平行，同位角相等），
∵EF∥AB，∴∠ADE+∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠DEF＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．
【点睛】本题考查了平行线线段的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．
2．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点．
（1）求的度数；（2）过点作，交的延长线于点，求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】(1)利用三角形的外角性质和角的平分线性质求解即可；
(2)根据三角形外角的性质和两直线平行，同位角相等求解.
【详解】（1）在中，，，
，
是的平分线，；
（2），，，
，.
【点睛】本题考查了运用三角形外角性质，角平分线性质，平行线的性质求角的度数，熟练并灵活运用这些性质是解题的关键.
3．（2020·山东安丘·东埠初中初二月考）如图，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于，若，，求的长
【答案】5
【分析】由BE平分ABC可得DBE=EBC，由DEBC可得EBC=DEB，所以DEB=DBE，所以DE=BD，同理可证EF=CF，由已知线段的长度求解即可．
【解析】BE平分ABC，DBE=EBC，
DEBC，EBC=DEB，DEB=DBE， DE=BD，同理可证：EF=CF，
BD=8，DE=8，DF=3，EF=5，CF=5．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及平行线的性质，熟记相关性质是解题关键．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图1，已知，，；
（1）请探索与之间满足的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若平分，平分，反向延长交于点P，求的度数．
【答案】（1），理由见解析；（2）15°
【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
（2）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．
【详解】解：（1）如图1，分别过点，作，，
，，，
又，，，，
又，，，，
，；
（2）如图2，过点作，由（2）知，，
设，则，平分，平分，
，，
，，，
，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知：如图1，，点，分别为，上一点．
（1）在，之间有一点（点不在线段上），连接，，探究，，之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在，之两点，，连接，，，请选择一个图形写出，，，存在的数量关系（不需证明）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．
证明：过点M作MP∥AB．
∵AB∥CD，∴MP∥CD．∴∠4=∠3．∵MP∥AB，∴∠1=∠2．
∵∠EMF=∠2+∠3，∴∠EMF=∠1+∠4．∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；
证明：过点M作MQ∥AB．
∵AB∥CD，∴MQ∥CD．∴∠CFM+∠1=180°；
∵MQ∥AB，∴∠AEM+∠2=180°．∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．
∵∠EMF=∠1+∠2，∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；
（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，∴∠2+∠3=180°，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，
∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4=∠2+∠3=180°；
如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，∴∠2=∠3，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，
∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4=180°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．（2020·上海静安·初一期中）（1）如图所示，，且点在射线与之间，请说明的理由．
（2）现在如图所示，仍有，但点在与的上方，
①请尝试探索，，三者的数量关系．②请说明理由．
【答案】（1）；（2）①∠1+∠2-∠E=180°；②见解析
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得到∠A=∠AEF和∠FEC=∠C，再相加即可；
（2）①、②过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF+∠1=180°和∠FEC=∠2，从而可得三者之间的关系．
【解析】解：（1）过点E作EF∥AB，∴∠A=∠AEF，
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠C，
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，∴∠AEC=∠A+∠C；
②过点E作EF∥AB，∴∠AEF+∠1=180°，
（2）①∠1+∠2-∠E=180°，
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠2，即∠CEA+∠AEF=∠2，
∴∠AEF=∠2-∠CEA，∴∠2-∠CEA+∠1=180°，即∠1+∠2-∠AEC=180°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．
题型9、构造辅助线之添加平行线
解题技巧：1）证平行的题目，辅助线技巧比较单一，常见题型仅“添加平行线”这一种方法。当要求解的几个角之间“距离”比较远，3类角难以扯上关系时，通常用“添加平行线”的方法，过渡出“距离”较远角之间的关系。2）“M”型图形，通常通过添加平行线辅助线来与平行联系上
1．（2020·湖北随县·初二月考）如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC的度数为（ ）
A．125°B．75°C．65°D．55°
【答案】D
【分析】延长CB，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC即可求得．
【解析】延长CB，延长CB，
∵AD∥CB,∴∠1=∠ADE=145，∴∠DBC=180−∠1=180−125=55.故答案选：D.
【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
2．（2020·吉林长春·初三一模）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为( )
A．45°B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可．
【解析】解：如图，作，∴，，
∵，∴，故选B．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出，．
3．（2020·山东日照·二模）如图，直线，，则（ ）
A．150°B．180°C．210°D．240°
【答案】C
【分析】根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可.
【解析】解：作直线l平行于直线l1和l2

故选C.
【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等.
4．（2020·深圳市高级中学初二月考）如图，，，则，，之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．
【解析】如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，
∵，∴，
∴，，，
∴，
又∵，∴，∴，即，故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b，b//c⇒a//c．
5．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是( )

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】①如图1，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③正确；
④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，
所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；故选C.
6．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠、∠、∠三者之间的关系是( )
A．° B．° C．° D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得∠CEF=180°-y，x=z+∠CEF，利用等量代换可得x=z+180°-y，再变形即可．
【解析】解：∵CD∥EF，∴∠C+∠CEF=180°，∴∠CEF=180°-y，
∵AB∥CD，∴x=z+∠CEF，∴x=z+180°-y，∴x+y-z=180°，故选：B．
7．（2020·山东青岛·初一期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__ °．
【答案】46
【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得到结论．
【解析】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，
∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，∴∠BCD＝46°，故答案为：46．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．
8．（2020·太原师范学院附属中学初一月考）如图所示，点，分别在，上，，，，，则，，之间满足的关系式是______．
【答案】
【分析】过B作BH∥DF，由 DF//EG，可知BH∥EG，由平行线∠ABH=∠ADF=α，∠CBH=∠CEG=β，由∠ABC=∠ABH+∠CBH即可的结论．
【解析】过B作BH∥DF，∵DF//EG，∴BH∥EG，∵DF//EG，∴∠ABH=∠ADF=α
∵BH∥EG，∠CBH=∠CEG=β ．
．故答案为：
【点睛】本题考查三个角之间的关系问题，掌握利用平行线把两角和问题转化为与之相等的两角是关键．
题型10、平行线的压轴题
1．（2021·河南驻马店市·七年级期末）已知：△ABC和平面内一点D．
（1）如图1，点D在BC边上，过D点作DE//BA交AC于点E，作DF//CA交AB于点F，判断∠EDF与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF//CA，∠EDF＝∠A，请你判断DE与BA的位置关系．并说明理由． （3）如图3，点D在△ABC的外部，若作DE//BA，DF//CA，请直接写出∠EDF与∠A数量关系．
【答案】（1）相等，理由见解析；（2）平行，理由见解析；（3）相等或互补
【分析】（1）根据平行线的性质，即可得到∠A=∠EDF；
（2）延长BA交DF于G．根据平行线的性质以及判定进行推导即可；
（3）分两种情况讨论，即可得到∠EDF与∠A的数量关系：∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°．
【详解】解：（1）∠EDF=∠A．理由：∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠A=∠DEC，∠DEC=∠EDF，∴∠A=∠EDF；
（2）DE∥BA．证明：如图，延长BA交DF于G．
∵DF∥CA，∴∠2=∠3．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．∴DE∥BA．
（3）∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°．理由：①如图，∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠D+∠E=180°，∠E+∠EAF=180°，∴∠EDF=∠EAF=∠BAC；
②如图，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠D+∠F=180°，∠F=∠CAB，∴∠EDF+∠BAC=180°．
综上，∠EDF与∠A相等或互补
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
2．（2020·山东临沂市河东区教育科学研究中心初一期末）（1）问题情境：如图1，，，．求度数．
小明的思路是：如图2，过点作，通过平行线性质，可得．
（2）问题迁移
（1）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．猜想、、之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出、、之间的数量关系．选择其中一种情况画图并证明．
【答案】（1），证明见解析；（2）当点在两点之间时，；当点在两点之间时，，证明见解析．
【分析】（1）如图，过点作交于点，证明，利用平行线的性质与角的和差关系可得答案；（2）分两种情况讨论，当点在两点之间时，如图，过点作交于点，证明，利用平行线的性质与角的和差关系可得结论；当点在两点之间时，如图，过点作交于点，证明，利用平行线的性质与角的和差关系可得结论．
【解析】解：（1）．如图，过点作交于点，
，，，
，
（2）当点在两点之间时，，
当点在两点之间时，．
理由如下：①当点在两点之间时，如图，过点作交于点，
，，，
．
②当点在两点之间时，．如图，过点作交于点，
，，，
．
【点睛】本题考查的是平行公理，平行线的性质的应用，角的和差关系，掌握以上知识是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
3．（2020·北京海淀实验中学初二开学考试）已知ABCD，点M，N分别在直线AB、CD上，E是平面内一点，∠AME和∠CNE的平分线所在的直线相交于点F．
（1）如图1，当E、F都在直线AB、CD之间且∠MEN＝80°时，∠MFN的度数为 ；
（2）如图2，当E在直线AB上方，F在直线CD下方时，探究∠MEN和∠MFN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当E在直线AB上方，F在直线AB和CD之间时，直接写出∠MEN和∠MFN之间的数量关系 ．
【答案】（1）45°；（2）∠MEN＝2∠MFN，证明见解析；（3）
【分析】（1）过E作EH∥AB，FG∥AB，根据平行线的性质得到∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，根据角平分线的定义得到∠BMF+∠DNF＝（∠BME+∠DNE）＝45°，于是得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝∠EGB﹣∠EMB，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠END，∠FHB＝∠FND，根据角平分线的定义得到∠EMB＝2∠FMB，∠END＝2∠FND，于是得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠5＝∠END，根据角平分线的定义得到∠5＝∠END＝2∠4，∠BME＝2∠1＝∠E+∠5＝∠E+2∠4，根据三角形的外角的性质和四边形的内角和即可得到结论．
【解析】解：（1）如图1，过E作EH∥AB，FG∥AB，
∵AB∥CD，∴EH∥CD，FG∥CD，∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，
∴∠BME+∠DNE＝∠MEH+∠NEH＝∠MEN＝90°，同理∠MFN＝∠BMF+∠DNF，
∵ME平分∠BMF，FN平分∠CNE，∴∠BME+∠DNF＝（∠BME+∠DNE）＝45°，
∴∠MFN的度数为45°；故答案为：45°；
（2）∵∠EGB＝∠EMB+∠E，∴∠E＝∠EGB﹣∠EMB，
∵AB∥CD，∴∠EGB＝∠END，∠FHB＝∠FND，∴∠E＝∠END﹣∠EMB，
∵MF、NF分别平分∠BME和∠DNE，∴∠EMB＝2∠FMB，∠END＝2∠FND，
∴∠E＝2∠FND﹣2∠FMB＝2（∠FND﹣∠FMB），
∵∠FHB＝∠FMB+∠F，∴∠F＝∠FHB﹣∠FMB，＝∠FND﹣∠FMB，∴∠MEN＝2∠MFN；
（3）∠E+∠MFN＝180°， 证明：如图3，∵AB∥CD，∴∠MGE＝∠ENC，
∵NF平分∠ENC，∴∠MGE＝∠ENC＝2∠FNG，
∵MF平分∠AME，∴∠AME＝2∠1＝∠E+∠MGE＝∠E+2∠FNG，
∴∠FMG＝∠1＝∠E+∠FNG，
∵∠E+∠MFN＝360°﹣∠FNG﹣∠FMG﹣∠EMG＝360°﹣∠FNG﹣（180°﹣∠E﹣2∠FNG）﹣（∠E+∠FNG）＝180°+∠E，∴∠MFN+∠E＝180°．故答案为：∠E+∠MFN＝180°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，结合三角形外角性质是解题的关键．
4．（2020·河南舞钢·初一期中）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求值．
【答案】（1）∠C＝∠1+∠2，理由见解析；（2）60°；（3）2
【分析】（1）过C作CD∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C＝∠1＋∠2；
（2）根据（1）中的结论可得，∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，得到∠GEN＝180°−2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP＝90°−∠CEM＝90°−x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF＝90°−x，据此可得的值．
【解析】（1）∠C＝∠1+∠2．理由：如图，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，∴PQ∥CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．
5．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学初一月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．（直接写出结论）
问题情境2 如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．（直接写出结论）
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝ ．
【答案】问题情境1：∠B+∠BPD+∠D＝360°，∠P＝∠B+∠D；（1）140°；（2）∠E+∠M＝60°（3）
【分析】问题情境1：过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，得到∠B+∠BPE=180°，∠D+∠DPE=180°，进而得出：∠B+∠P+∠D=360°；
问题情境2：过点P作EP∥AB，再由平行线的性质即可得出结论；
②，③根据①中的方法可得出结论；
问题迁移：
（1）如图4，根据角平分线定义得：∠EBF=∠ABE，∠EDF=∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，再根据四边形的内角和可得结论；
（2）设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论；
（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论．
【解析】问题情境1：如图2，∠B+∠BPD+∠D＝360°，理由是：
过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°，
∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，即∠B+∠BPD+∠D＝360°，故答案为∠B+∠P+∠D＝360°；
问题情境2：如图3，∠P＝∠B+∠D，理由是：过点P作EP∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EP，∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，
∴∠BPD＝∠B+∠D，即∠P＝∠B+∠D；故答案为∠P＝∠B+∠D；
问题迁移：（1）如图4，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∴∠EBF+∠EDF＝140°，∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；
（2）如图5，∠E+∠M＝60°，理由是：
∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∠E＝60﹣x﹣y，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+∠M＝60°；
（3）如图5，∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝360°，∴x+y＝，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，
∴∠M＝；故答案为∠M＝．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
6．（2020·洛阳市第二外国语学校初一期中）如图1，D是△ABC延长线上的一点，CEAB．
（1）求证：∠ACD＝∠A+∠B；
（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数．
（3）如图3，AHBD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠F=55°；（3）∠MQN＝∠ACB；理由见解析．
【分析】（1）首先根据平行线的性质得出∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，然后通过等量代换即可得出答案；
（2）首先根据角平分线的定义得出∠FCD＝∠ECD，∠HAF＝∠HAD，进而得出∠F＝（∠HAD+∠ECD），然后根据平行线的性质得出∠HAD+∠ECD的度数，进而可得出答案；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义得出，， ，再通过等量代换即可得出∠MQN＝∠ACB．
【解析】解：（1）∵CEAB，∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，
∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD，∴∠ACD＝∠A+∠B；
（2）∵CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，∴∠FCD＝∠ECD，∠HAF＝∠HAD，
∴∠F＝∠HAD+∠ECD＝（∠HAD+∠ECD），
∵CHAB，∴∠ECD＝∠B，∵AHBC，∴∠B+∠HAB＝180°，
∵∠BAD＝70°，， ∴∠F＝（∠B+∠HAD）＝55°；
（3）∠MQN＝∠ACB，理由如下：平分，．
平分，． ， ．
∴∠MQN＝∠MQG﹣∠NQG＝180°﹣∠QGR﹣∠NQG＝180°﹣（∠AQG+∠QGD）
＝180°﹣（180°﹣∠CQG+180°﹣∠QGC）＝（∠CQG+∠QGC）＝∠ACB．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
7．（2020·辽宁中山·初一期末）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．
数学课上，老师出示了这样—道题：
如图1，已知点分别在上，．求的度数．

同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：
小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”
小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”

小华：∵如图4，也能求出的度数．”
(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；
(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；
老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”
请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：
(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．
【答案】（1）过点作；（2）30；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点作，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；
（3）设，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据角的和差关系即可得答案．
【详解】（1）由图中虚线可知PQ//AC，∴小明同学辅助线的做法为过点作，
故答案为：过点作
（2）如图2，过点作，
∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案为：30
（3）如图，设，过点作，
∵
，即．
【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．