北师大版数学七下高频考点突破练习专题02 频率与概率（2份，原卷版+解析版）

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题型1 必然事件的识别
【解题技巧】在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．
1．（2021·河南九年级期末）下列事件中，必然事件为（ ）
A．投掷一枚硬币，向上一面是正面
B．经过有交通信号灯的路口；遇到红灯
C．打开电视机，正在播放新闻联播
D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中任意摸出的2个球中有红球
2．（2021·山东九年级期末）下列事件中，必然事件是（ ）
A．未来一周都是好天气 B．假期出门遇见同学
C．不在同一直线上的三个点确定一个圆 D．掷一次硬币，正面向上
3．（2021·广西九年级一模）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”
B．将一组数据中的每一个数都加上同一个数，这组数据的方差不变
C．一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题
D．在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数
4．（2021·湖北孝感市·九年级期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天的最高气温将达35℃B．经过任意三点能画一个圆
C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上D．对顶角相等
5．（2021·广东九年级期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨
6．（2021·湖北九年级二模）掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．下列事件是必然事件的是（ ）
A．掷两次骰子，朝上的一面的点数和大于1 B．掷一次骰子，朝上的一面的点数为7
C．掷一次骰子，朝上的一面的点数为4 D．掷两次骰子，朝上的一面的点数都是3
题型2 随机事件的识别
【解题技巧】在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.
1．（2021·湖北武汉市·九年级月考）从1，3，5，7中任取两个数，则下列事件中是随机事件的是（ ）
A．两个数的和为奇数B．两个数的和为偶数
C．两个数的积为偶数D．两个数的积为3的倍数
2．（2021·江苏淮安市·八年级期末）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于7
C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和等于5
3．（2021·天津九年级期末）两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于3 B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于0 D．两个小球的标号之和等于1
4．（2021·河南郑州市·九年级期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．掷一枚硬币10次，仅有1次正面朝上 B．三角形的三个内角之和等于
C．从装有5个红球的袋子里摸出一个白球 D．在地面向上抛出一个篮球还会下落
5．（2021·山东七年级期中）小林同学做了3次投掷硬币试验，皆正面朝下．在他得到的下列结论中，正确的是（ ）．
A．投掷硬币正面朝上是不可能事件B．投掷硬币正面朝下的概率为1
C．投掷硬币正面朝上是随机事件D．继续第4次投掷一定是正面朝下
6．（2021·陕西西安市·交大附中分校）下列事件，是随机事件的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．两个负数相加，和为正数
C．任意掷两枚质地均匀的骰子，面朝上的数字积为14 D．投掷一枚硬币，正面朝上
题型3 不可能事件的识别
【解题技巧】在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．
1．（2021·浙江台州市·九年级一模）有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字2，3，4．从中任意抽取两张，则下列事件为不可能事件的是（ ）
A．两张卡片的数字之和等于4B．两张卡片的数字之和等于5
C．两张卡片的数字之和等于6D．两张卡片的数字之和等于7
2．（2021·浙江杭州市·九年级期末）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．a是实数，则|a|≥0B．任意一个三角形都有外接圆
C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6D．一匹马奔跑的速度是每秒100米
3．（2020·江苏泰州市·八年级期中）不透明的袋子里装有3只相同的小球，给它们分别标上序号1、2、3后搅匀．事件“从中任意摸出1只小球，序号为4”是_____事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．
4．（2020·福建南安·初三其他）下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和为180°
C．买一张彩票，中奖 D．从一副没有大小王的扑克牌中抽出两张，数字之和为27
5．（2020·辽宁建平·初一期末）事件：“在只装有2个红球和8个黑球的袋子里，摸出一个白球”是
A．可能事件B．随机事件C．不可能事件D．必然事件
6．（2020•沭阳县期中）下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．降雨时水位上升 B．度量三角形的内角和，结果是360°
C．打开电视，正在播广告 D．体育运动中肌肉拉伤
题型4 可能性的大小
【解题技巧】可能性等于所求情况数与总情况数之比．
1．（2021·全国七年级课时练习）抛掷一个均匀的正方体骰子，下列事件中出现机会最小的是（ ）
A．奇数朝上B．偶数朝上C．合数朝上D．质数朝上
2．（2021·全国七年级课时练习）打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶6次，若他们各射击一次，有1人中靶，1人没中靶，则（ ）
A．中靶的人一定是甲，不中靶的人一定是乙B．中靶的人一定是乙，不中靶的人一定是甲
C．甲中靶的可能性要小于乙中靶的可能性D．甲中靶的可能性要大于乙中靶的可能性
3．（2021·全国七年级课时练习）甲组有5位女生和10位男生，乙组有8位女生和15位男生，以下说法正确的是（ ）
A．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会大
B．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大
C．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大
D．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会小
4．（2021·全国七年级课时练习）在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（ ）
A．第一格B．第二格C．第三格D．第四格
5．（2021·全国七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．班中50个同学中有2人生日相同，说明50人中2人生日相同的概率是1
B．班中50个同学中若没有2人生日相同，说明50人中2人生日相同的概率是0
C．300个人必有2人生日相同
D．400个人必有2人生日相同
6.（2021•泗阳县期末）估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（ ）
A．①②③④⑤B．⑤④③②①C．⑤④②③①D．④⑤③②①
题型5 概率的意义
【解题技巧】随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率.
1．（2021·全国九年级课时练习）在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是”，小明做了下列三个模拟实验来验证．
①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；
③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥（如图），从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．
上面的实验中，不科学的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．（2021·山东聊城市·九年级期末）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）
A．“在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件
B．掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为
C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品
D．彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖
3．（2021·山东青岛市·九年级专题练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（ ）
A．可能有50次反面朝上B．每两次必有1次反面朝上
C．必有50次反面朝上D．不可能有100次反面朝上
4．（2021·湖北襄阳市·九年级期末）事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每5000次事件A发生的次数是_____．
5．（2021·浙江宁波市·九年级期末）气象台预报明天下雨的概率为，则下列理解正确的是（ ）
A．明天的地区不会下雨B．明天下雨的可能性较大
C．明天的时间会下雨D．明天下雨是必然事件
6．（2021·全国七年级课时练习）在某次摸奖活动中，李明通过调查并计算出每摸一次的平均收益是15元，其意思是（ ）
A．摸奖一次，就能中15元 B．此次摸奖活动中，人人都能中奖
C．若摸奖若干次，那么每摸一次所获金额的平均数为15元 D．每张奖券的面额是15元
题型6 等可能事件的概率
1．（2021·天津九年级一模）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是_______．
2．（2021·浙江温州市·九年级二模）在同一副扑克牌中抽取5张“方块”，3张“梅花”，2张“黑桃”．将这10张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“黑桃”的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·辽宁大连市·九年级一模）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3，掷小正方体后，向上一面的数字，出现“”的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·四川九年级期末）在“我爱大运，我爱成都”这句话中任选一个汉字，这个字是“爱”的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·黑龙江九年级期末）在分别写有数字1、2、3、4、5的5张小卡片中，随机地抽出1张卡片，则抽出卡片上的数字是1的概率为_________
6．（2021·陕西榆林市·七年级期末）有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏．
（1）现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？
（2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？若小明已经抽到数字1，情况又如何？
题型7 概率（频率）与方程
【解题技巧】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
1．（2021·河南平顶山市·九年级期末）一个口袋中装有n个红球和5个白球，它们除颜色外完全相同．在不允许将球倒出来的前提下，小明采取如下方法估计n的大小：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复上述过程，小明共摸了200次，其中50次摸到了白球，由此小明估计n的大小为（ ）
A．14B．15C．16D．17
2．（2020·浙江杭州市·九年级期末）在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色外，其它无差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则口袋中的黄球总数n是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2020·四川米易·初三期末）不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2020次球，发现有505次摸到白球，则口袋中白球的个数是（ ）
A．5B．10C．15D．20
4．（2020·广东初三二模）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20B．24C．28D．30
5．（2021•厦门一模）一个不透明盒子里装有a只白球、b只黑球、c只红球，这些球仅颜色不同．从中随机摸出一只球，若P（摸出白球）＝，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝1B．a＝3C．a＝b＝cD．a＝（b+c）
6．（2021·全国七年级课时练习）在水产养殖场进行一种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化出8500尾鱼苗，求下列各题：（1）这种鱼卵孵化的概率（孵化率）；（2）30000个鱼卵大概能孵化出多少尾鱼苗；
（3）要孵化出5000尾鱼苗，大概要准备多少个鱼卵？
题型8 几何概型
【解题技巧】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
几何概型的特点:1）试验中所有可能出现结果(基本事件)有无限多个.2)每个基本事件出现的可能性相等.
1．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是____________．
2．（2021·江苏）小红在地上画了半径为2m和3m的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷小石子，若每一次都掷在大圆形成的封闭区域内，则掷中阴影部分的概率是________________．
3．（2021·辽宁鞍山·中考真题）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．
4．（2021·山东烟台市·七年级期末）由三个正方形彼此嵌套组成一个如图所示的图案，其中每个内层正方形的顶点都是其外层正方形边的中点，在该图案上任意取点，恰好取在空白区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·四川九年级期末）将一个棱长为4的正方体的表面涂成灰色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为____．
6.（2021·内蒙古）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，他们的两条直角边之比均为2：3，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
题型9 频率与概率的区别
1．（2020·江苏南京市·八年级期末）做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是（ ）
A．概率等于频率B．频率等于C．概率是随机的D．频率会在某一个常数附近摆动
2．（2020·江苏徐州市·创新外国语学校八年级月考）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A．概率是随机的，与频率无关 B．频率与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．频率就是概率
3．（2021·江苏九年级专题练习）下列说法：①事件发生的概率与实验次数有关；②掷10次硬币，结果正面向上出现3次，反面向上出现7次，由此可得正面向上的概率是0.3；③如果事件A发生的概率为，那么大量反复做这种实验，事件A平均每100次发生5次．其中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（2021·全国七年级专题练习）学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（ ）
A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是
B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖
C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是
D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一
5．（2020·全国九年级课时练习）在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（ ）
A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定
B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同
C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5
D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518
6．（2020·辽宁阜新市·七年级期末）关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A．事件发生的频率就是它发生的概率
B．在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率
C．事件发生的频率与它发生的概率无关
D．随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动
7．（2021·江西九年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等
题型10 利用频率估计概率
【解题技巧】概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
1．（2021·云南红河·九年级期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（ ）．
下面有四个推断：①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；
④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵．
A．①②B．①④C．②③D．②④
2．（2021·北京交通大学附属中学）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如下表所示：
下面有四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；
②随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；
③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；
④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽.
其中合理的是______.
3．（2021·全国九年级课时练习）下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是______(填序号)．
4．（2021·陕西汉中市·七年级期末）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中成活情况的一组数据统计结果．下面三个推断：①当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以“移植成活”的概率是0．904；②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0．880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0．880；③若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0．875，则“移植成活”的概率是0．875．其中合理的是（ ）
A．①③B．②③C．①D．②
5．（2021·辽宁九年级二模）某市林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：
由此可以估计该种幼树移植成活的概率为__________．（结果保留小数点后两位）
6.（2021•渝中区一模）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
（1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近 （结果精确到0.1）
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）；（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π）
移植棵数
成活数
成活率
移植棵数
成活数
成活率
50
47
1500
1335
270
235
3500
3203
400
369
0.923
7000
6335
750
662
14000
12628
种子个数
200
300
500
700
800
900
1000
发芽种子个数
187
282
435
624
718
814
901
发芽种子率
0.935
0.940
0.870
0.891
0.898
0.904
0.901
移植总数（）
50
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数（）
47
235
369
662
1335
3180
6321
8073
12628
成活频率（）
0.94
0.87
0.923
0.883
0.89
0.908
0.903
0.897
0.902
掷小石子落在不规则图形内的总次数
50
150
300
…
小石子落在圆内（含圆上）的次数m
20
59
123
…
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n
29
91
176
…