人教版数学七下高频考点突破练习专题03 不等式与不等式组的含参问题与新定义问题（2份，原卷版+解析版）

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含参问题的解题步骤：
①将参数当成“常数”解出不等式组；
②“根据不等式组的解集确定参数的取值范围”、“逆用不等式组的解集确定参数的取值范围”类型利用不等式组解集口诀确定出参数的取值范围；
“根据不等式组的整数解情况确定确定参数的取值范围”需要借助数轴与不等式组解集口诀确定出参数的取值范围。
注：参数取值范围是否取等于号需要将参数带进不等式中验证，不能凭感觉。而且需要注意的是带进去的是参数的值，并不是的值。
1）根据不等式（组）的解集确定参数的取值范围
例1．（2021·江苏·苏州市吴江区实验初级中学七年级阶段练习）已知的解集为，则的范围______．
【答案】
【分析】根据不等式的基本性质，由不等式方向改变可知，不等式两边同时除以小于0，求解即可．
【详解】解：∵不等式的解集为，不等式方向改变，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质．
变式1．（2022·黑龙江·云山农场中心学校九年级期末）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___ ．
【答案】x8，则m的值是_____．
【答案】m＜-6．
【分析】先解方程组，然后将x、y的值代入不等式解答．
【详解】解：①+②得，，解得，x=2m-1，
把x=2m-1代入②得，，解得，y=4-5m，
将x=2m-1，y=4-5m代入不等式2x+y＞8得4m-2+4-5m＞8，∴m＜-6，故答案为：m＜-6．
【点睛】本题考查了方程组与不等式，熟练解方程组与不等式是解题的关键．
变式4．（2021·浙江杭州市·九年级期中）已知。（1）若，求m的值；（2）求关于的表达式；（3）若，求的值的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3）．
【分析】（1）将代入中，即可求出m的值．（2）由可得，代入中，即可得到y关于x的表达式．（3）由题意列不等式组，可求出m的取值范围，再根据（1），即可求出的取值范围．
【详解】（1）由题可知：，．
（2）∵，∴，代入中．∴．
（3）由题可知，解得：．由（1）知，
∴，即．
【点睛】本题考查代数式求值以及求解不等式组．掌握代数式求值和不等式组的解法是解答本题的关键．
不等式的新定义问题
新定义问题解决方法：根据根据题干中的定义和不等式的相关问题解决即可。
例1．（2021·江苏淮安·七年级期末）我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为．如：．如果有，求的解集．
【答案】x的解集为．
【分析】据题意列出不等式，然后去括号、移项、合并同类项，再把x的系数化为1即可得不等式解集．
【详解】解：由题意得，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
把x的系数化为1得：，
x的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，理解题目中定义的新运算，正确掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．
变式1．（2021·广西岑溪·七年级期中）对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先根据定义得出2※x＝x+1，再结合1＜2※x≤7得出关于x的不等式组，解之可得答案．
【详解】解：∵2※x＝2x﹣2﹣x+3＝x+1，∴1＜x+1＜7，解得0＜x＜6，
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
变式2．（2021·河北临西·七年级期末）对于实数x，y规定“x△y＝ax﹣by（a，b为常数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3（1）a+b＝___．（2）已知m是实数，若2△（﹣m）≥0，则m的最大值是 ___．
【答案】
【分析】（1）根据已知条件得出关于a、b的方程组，求出方程组的解集，即可求解；
（2）根据已知新运算得出不等式，再求出答案即可．
【详解】解：（1）∵2△3=4，5△（-3）=3，
∴，解得：，∴；故答案为：；
（2）∵，，2△(-m)≥0，∴2△(-m)，
解得：，则m的最大值是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式等知识点，能根据新运算得出代数式是解此题的关键．
例2．（2021·河南济源·七年级期末）对x，y定义一种新的运算G，规定：G（x，y）＝例如：G（2，1）＝2﹣2×1＝0，若关于p（p＞0）的不等式组恰好有两个整数解，则a的取值范围是____
【答案】12≤a＜16
【分析】根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有2个整数解，求出a的范围即可．
【详解】解：根据题意得：G（x，y）=，
∵p＞0，∴3p＞p，-2-3p＜-2p∴G（3p，p）=3p-2p＞-3，解得p＞-3；
G（-2-3p，-2p）=-2p-2（-2-3p）=4p+4≤a，解得p≤，∴不等式组的解集为-3＜p≤，
又∵p＞0，∴0＜p≤，∵不等式组恰好有2个整数解，即p=1，2．
∴2≤＜3，解得：12≤a＜16，故答案为：12≤a＜16．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，根据新定义化简不等式组，并熟练掌握解一元一次不等式组的能力、根据其整式解个数得出关于a的不等式组是解题的关键．
变式3．（2022·河北临漳·七年级期末）对有理数a，b定义运算：a✬b=ma +nb，其中m，n是常数，如果3✬4=2，5✬8>2，那么n的取值范围是（ ）
A．n>B．n2D．n2可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得．
【详解】解：由题意得：，解得，由5✬8>2得：，
将代入得：，解得，故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解新运算的定义是解题关键．
变式4．（2022·江苏·七年级专题练习）对于任意实数m、n，定义一种运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，例如：3※5＝3×5﹣3﹣5+3＝10．请根据上述定义解决问题：若a＜4※x＜7，且解集中有三个整数解，则整数a的取值可以是_________．
【答案】
【分析】利用题中的新定义列出不等式组，求出解集即可确定出a的范围．
【详解】根据题中的新定义化简得：a≤4x-4−x＋3＜7，
整理得： ，即