2023-2024学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列等式是一元二次方程的是( )
A. y−3=2xB. ax2+bx+c=0C. (x−1)2=3D. 4x3+3=1
2.下列属于等可能随机事件的是( )
A. 任意掷一枚图钉钉尖朝上B. 任意掷一枚均匀的硬币字面朝上
C. 用两条线段组成一个三角形D. 明天会下雪
3.一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的( )
A.
B.
C.
D.
4.如图所示，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：2，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是( )
A. 4m
B. 5m
C. 6m
D. 3 5m
5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，若HA=HB=1，则菱形ABCD的面积是( )
A. 32
B. 1
C. 2 3
D. 4
6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示，它的对称轴为x=−12，下列结论中正确的有( )
①abc>0；
②b2−4ac<0；
③4a−2b+c<0；
④2b+c<0；
⑤若(x1,y1)和(x2,y2)是这条抛物线上的两点，则当|x1+12|>|x2+12|时，y1A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.反比例函数y=k−3x的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是______．
8.已知a7=b5=c3，则a+2b−3ca+c的值是______．
9.一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的9枚白球和若干黑球，进行有放回的随机摸取，每次摸取一球并记录结果.如图是某小组做“用频率估计概率”的摸球试验时，绘制的白球出现的频率分布折线图，由此可估计袋子中有______枚黑球．
10.若x=−1是关于x的一元二次方程(k−1)x2+x+k2=0的一个解，则常数k的值为______．
11.在△ABC中，∠A和∠B均为锐角，且((tanA−1)2+|2sinB− 3|=0，则∠C= ______度.
12.如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所.如图所示，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边.若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域(阴影部分)的面积为192平方米.设小道宽度为x米，根据题意，列出关于x的一元二次方程是______．
13.已知当x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m−n+2≠0，则当x=3(m+n+1)时，多项式x2+4x+6= ______．
14.如图，四边形ABCD是边长为4cm的正方形，点E在边CD上，DE=1cm，作EF/​/BC，分别交AC，AB于点G、F，M，N分别是AG，BE的中点，则下列5个结论中：
①点F、N、C共线；②MN=52cm；③AC⊥BE；④△MNC的面积为78；⑤∠MEB=45°.正确的是______(填写所有正确结论的序号)．
三、解答题：本题共9小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
求作一个菱形ABCD，使如图所示的∠A是菱形ABCD的一个内角，且对角线AC=a.(请用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)
16.(本小题9分)
解方程
(1)x2−5x+1=0；
(2)2(x+3)2=x(x+3)．
17.(本小题9分)
学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏.游戏规则如下：A盘被分成面积相等的4个扇形，B盘中小的扇形区域所占的圆心角是120°.分别任意旋转两个转盘，将A盘转出的数字，与B盘转出的数字相乘，如果乘积是4的倍数，则小红赢得游戏；如果乘积是6的倍数，则小明赢得游戏．
(1)请利用画树状图或列表的方法，表示出游戏所有可能出现的结果；
(2)这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由．
18.(本小题9分)
通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示.请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长(不写画法)；

【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______；
A.
B.
C.
D.
【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4m.已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度．
19.(本小题9分)
如图，一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A与点B(a,−1)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P是第一象限内双曲线上的点(不与点A重合)，连接OP，且过点P作y轴的平行线，与直线AB相交于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
20.(本小题9分)
某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB=200cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度BC=25cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD=296.8cm，遮阳棚与墙面的夹角∠BAD=72°．

(1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
(2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG=60°，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长(结果精确到1cm).(参考数据：sin72°≈0.951，cs72°≈0.309，tan72°≈3.078， 3≈1.732)
21.(本小题9分)
如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，F为DE延长线上的点，连接AF、CF．
(1)①AC平分∠DAF；②AF//DC；③E是AC的中点；④DF⊥AC；
请从以上四项中，选择三项作为已知条件，剩余的一项作为结论，形成一个真命题．
把相应序号填写到已知、求证的横线上，并完成证明：
已知：______；
求证：______；
证明：
(2)在(1)的情形中，当AB=AC，且AD平分∠BAC时，四边形ADCF是什么特殊四边形？请证明你的结论．
22.(本小题9分)
某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，给出如下信息：在学校的巨幅宣传墙上，勤于动脑的小丽发现两条熟悉的抛物线，她依据环境，建立如图所示的平面直角坐标系；利用手边的工具，她不仅与同学合作进行力所能及的测量；还看到抛物线y2上的两点B、C组成的线段恰好与学校的一处露台等高，于是通过采访总务处老师获得重要数据；他们发现：抛物线y1的顶点C纵坐标为40，y1与x轴相交于点D(5,0)、E(45,0).抛物线y2刚好过y1的顶点C，且与y轴相交于点A(0,2.5)，平行于x轴的线段BC长为20.根据以上信息请你解决如下问题：
(1)求两条抛物线y1与y2的函数关系式；
(2)当5≤x≤25时，求抛物线y1与y2的最大间距．
23.(本小题9分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点C出发，沿CB向点B匀速运动，速度为每秒1个单位，过点P作PM⊥BD，交对角线BD于点M.点Q从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为每秒1个单位.P、Q两点同时出发，以PM、PQ为邻边作平行四边形PMNQ.设P、Q的运动时间为t秒(0(1)当t= ______秒时，沿直线DP翻折，点C与点M重合；
(2)当点N在AB上时，求t的值；
(3)设平行四边形PMNQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式，并提供相应的t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.y−3=2x，是二元一次方程，故不符合题意；
B.ax2+bx+c=0，若a=0，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意；
C.(x−1)2=3，是一元二次方程，符合题意；
D.不是整数方程，故不符合题意．
故选：C．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，其基本形式为ax2+bx+c=0(a≠0).根据一元二次方程的定义逐项分析判定即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、任意掷一枚图钉钉尖朝上，不是等可能随机事件，不符合题意；
B、任意掷一枚均匀的硬币字面朝上，是等可能随机事件，符合题意；
C、用两条线段组成一个三角形，是不可能事件，不符合题意；
D、明天会下雪，不是等可能随机事件，不符合题意；
故选：B．
根据等可能随机事件的定义判断即可．
本题考查的是随机事件，正确理解等可能随机事件的定义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由几何体的形状可知，从上面看时，是一列两个相邻的矩形．
故选：A．
根据从上面看得到的图形即为俯视图进行求解即可．
此题考查了三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
4.【答案】D
【解析】解：∵坡AB的坡比为1：2，坝高BC=3m，
∴AC=2BC=2×3=6(m)，
∴AB= BC2+AC2= 32+62=3 5(m)，
故选：D．
根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比．
5.【答案】C
【解析】解：∵DH⊥AB，HA=HB，
∴DA=DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵tan∠DAH=tan60°=DHAH= 3，AH=1，
∴DH= 3，
∵AB=AH+BH=1+1=2，
∴菱形ABCD的面积=AB⋅DH=2 3．
故选：C．
由线段垂直平分线的性质推出DA=DB，由菱形的性质得到AB=AD，判定△ABD是等边三角形，得到∠DAB=60°，由锐角的正切求出DH= 3，而AB=AH+BH=2，即可求出菱形ABCD的面积=AB⋅DH=2 3．
本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是由线段垂直平分线的性质，菱形的性质推出△ABD是等边三角形．
6.【答案】B
【解析】解：由所给函数图象可知，
a>0，b>0，c<0，
所以abc<0．
故①错误．
因为抛物线与x轴有两个不同的交点，
所以b2−4ac>0．
故②错误．
因为抛物线的对称轴为直线x=−12，且与x轴的一个交点横坐标比1大，
所以2×(−12)−1=−2，
所以抛物线与x轴的另一个交点的横坐标比−2小，
则当x=−2时，函数值小于零，
所以4a−2b+c<0．
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线x=−12，
所以−b2a=−12，即a=b．
又因为当x=1时，函数值小于零，
所以a+b+c<0，
所以2b+c<0．
故④正确．
因为抛物线开口向上，
所以抛物线上的点离对称轴越近，其函数值越小，
又因为|x1+12|>|x2+12|，
所以y1>y2．
故⑤错误．
故选：B．
根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的增减性和对称性即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
7.【答案】k<3
【解析】解：∵反比例函数y=k−3x的图象位于第二、四象限，
∴k−3<0，解得k<3，
故答案是：k<3．
由反比例函数所在的象限可得到关于k的不等式，可求得答案．
本题主要考查反比例函数的性质，掌握在y=kx(k≠0)中，当k>0时，图象在第一、三象限，当
k<0时，图象在第二、四象限是解题的关键．
8.【答案】45
【解析】解：设a7=b5=c3=k，
∴a=7k，b=5k，c=3k，
∴a+2b−3ca+c=7k+10k−9k7k+3k=8k10k=45，
故答案为：45．
利用设k法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
9.【答案】21
【解析】解：由折线统计图可得出白球的频率在0.3左右波动，
∴小球的总数=9÷0.3=30(枚)，
∴黑球的个数=30−9=21(枚)，
故答案为：21．
利用折线统计图可得出白球的频率在0.3左右波动，由此可估算出总的小球数量，进而可求出黑球的个数．
此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．
10.【答案】−2
【解析】解：把x=−1代入一元二次方程(k−1)x2+x+k2=0得k−1−1+k2=0，
解得k1=−2，k2=1，
∵k−1≠0，
∴k的值为−2．
故答案为：−2．
先把x=−1代入一元二次方程(k−1)x2+x+k2=0得k−1−1+k2=0，然后解关于k的方程，最后根据一元二次方程的定义确定k的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
11.【答案】75
【解析】解：由题意得，tanA=1，sinB= 32，
则∠A=45°，∠B=60°，
则∠C=180°−45°−60°=75°．
故答案为：75．
根据非负数的性质求出tanA和sinB的值，然后求出∠A、∠B的度数，最后求出∠C．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
12.【答案】4×3x(20−4x)=192
【解析】解：由题意得：4×3x(20−3x−x)=192，
即4×3x(20−4x)=192，
故答案为：4×3x(20−4x)=192．
一个阴影矩形的长为(20−3x−x)米，根据花草种植区域(阴影部分)的面积为192平方米，列出一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：∵当x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，
(2m+n+2)2+4(2m+n+2)+6=(m+2n)2+4(m+2n)+6，
∴(2m+n+4)2=(m+2n+2)2，
∴2m+n+4=m+2n+2或2m+n+4=−(m+2n+2)，
∴m−n+2=0或m+n+2=0，
∵m−n+2≠0，
∴m+n+2=0，即m+n=−2，
当x=3(m+n+1)=3×(−2+1)=−3时，
x2+4x+6
=x2+4x+4+2
=(x+2)2+2
=(−3+2)2+2
=1+2
=3，
故答案为：3．
根据当x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等得到(2m+n+4)2=(m+2n+2)2，从而得出m−n+2=0(舍去)或m+n+2=0，再代入x=3(m+n+1)中计算出x的值，从而求出多项式x2+4x+6的值．
本题考查了多项式求值，根据已知条件得出m+n=−2是解题的关键．
14.【答案】①②④⑤
【解析】解：连接FM，FC，ME，MB，BD．
∵四边形ABCD是正方形，EF/​/BC．
∴∠BAC=45°，四边形BCEF为矩形，AC⊥BD．
(∴AC⊥BE是错误的，故③不符合题意)．
∴△AFG为等腰直角三角形，BE=CF．
∵M是AG中点，
∴AM=MG=FM，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAC=∠AMF=∠MFG=∠MGF=45°，
∴△AFM与△FMG为等腰直角三角形，
∴FM⊥AC，
∴△FMC是直角三角形，
∵四边形FBCE是矩形，
∴FE=BC，
∵BC=AB，
∴FE=AB，∠BAC=∠EFM=45°，AM=FM，
∴FE=AB∠BAC=∠EFMAM=FM．
∴△AMB≌△FME(SAS)．
∴BM=EM．
∵N是FC中点，
∴MN=12FC．
(∴点F、N、C共线，故①正确，符合题意)，
∵DE=1，BC=DC=4，
∴CE=3，BE=FC= BC2+CE2=5．
∴MN=12FC=52．
(MN=52，故②正确，符合题意)，
在△FMC中，N是FC中点，
∴S△MFN=S△MNC=12S△FMC=12×12×MC×FM．
在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2=4 2，MC=4 2− 22=72 2．
∴S△MNC=12×12×72 2× 22=78．
(故④正确，符合题意)，
∵BM=EM，MN=12FC，
∵FC=BE，
∴MN=12BE，点N是BE中点，
∴△BME是等腰直角三角形，∠BME=90°，
∴∠MEB=45°，
(故⑤正确，符合题意)，
综上所述：正确的是①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
连接FM，FC，ME，MB，BD.四边形ABCD是正方形，EF//BC.∠BAC=45°，四边形BCEF为矩形，AC⊥BD，△AFG为等腰直角三角形，BE=CF，证明△AMB≌△FME，N是FC中点，MN=12FC.点F、N、C共线，根据勾股定理求MN，用三角形面积公式计算三角形MNC，因为△BME是等腰直角三角形，∠BME=90°，∠MEB=45°．
本题考查了正方形的性质，解题关键在于读懂题意，掌握正方形的性质以及全等三角形的性质．
15.【答案】解：①作∠A的平分线AM；
②以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AM于点C；
③作线段AC的垂直平分线，分别交∠A的两边于点B，D；
④连接CD，BC．
如图，菱形ABCD即为所求．

【解析】先作∠A的平分线AM，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AM于点C，最后作线段AC的垂直平分线，分别交∠A的两边于点B，D，连接CD，BC即可．
本题考查作图—复杂作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
16.【答案】解：(1)x2−5x+1=0，
∵a=1，b=−5，c=1，
∴Δ=(−5)2−4×1×1=21>0，
∴x=5± 212×1，
∴x1=5+ 212，x2=5− 212；
(2)2(x+3)2=x(x+3)，
2(x+3)2−x(x+3)=0，
(x+3)(2x+6−x)=0，
x+3=0或2x+6−x=0，
所以x1=−3，x2=−6．
【解析】(1)先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
(2)先移项得到2(x+3)2−x(x+3)=0，再利用因式分解法把方程转化为x+3=0或2x+6−x=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
17.【答案】解：(1)列表如下：
由表可知共12种可能得结果；
(2)这个游戏对双方公平，理由如下：
小红赢得游戏的概率=412=13，小明赢得游戏概率=412=13，
∵13=13，
∴这个游戏对双方公平．
【解析】(1)根据题意列表得出所有等可能的情况数即可；
(2)由(1)分别计算他们两个获胜的概率，比较其大小，可知游戏是否公平．
本题考查的是游戏公平性的判断．解题的关键是熟知：判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】D
【解析】解：【画图操作】光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图①所示；
【数学思考】如图②所示，等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以小明的影长从A到B的变化是先越来越短再越来越长；
故答案为：D；
【解决问题】∵CD//EF//AB，
∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴CDAB=DFBF，EFAB=GFBG，
又∵CD=EF，
∴DFBF=GFBG，
∵DF=3m，FG=4m，BF=BD+DF=(BD+3)(m)，BG=BD+DF+FG=(BD+7)(m)，
∴3BD+3=4BD+7，
∴BD=9m，BF=9+3=12m，
∴1.6AB=312，
解得：AB=6.4m；
∴灯杆AB的高度为6.4m．
【画图操作】根据中心投影，直接画图即可；
【数学思考】等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；
【解决问题】根据相似三角形的性质即可解答．
本题考查了中心投影，相似三角形的性质的应用等，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．
19.【答案】解：(1)将B(a,−1)代入一次函数y=x+3中得：a=−4，
∴B(−4,−1)
将B(−4,−1)代入反比例函数y=kx(k≠0)中得：k=4，
∴反比例函数的表达式为y=4x；
(2)设点P的坐标为(m,4m)(m>0)，则C(m,m+3)，
∴PC=|4m−(m+3)|，点O到直线PC的距离为m，
∴△POC的面积=12m×|4m−(m+3)|=3，
解得：m=−1或−3或−5或2，
∵点P不与点A重合，且A(1,4)
∴m≠1，
又∵m>0
∴m=2
∴点P的坐标为(2,2)．
【解析】(1)先求出点B的坐标，然后利用待定系数法将B代入反比例函数解析式中即可求出其表达式；
(2)设点P的坐标为(m,4m)(m>0)，用m表示出△POC的面积，从而列出关于m的方程，解方程即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)如图，作BE⊥AD于E，

∵AB=200cm，∠BAD=72°．
∴在Rt△ABE中，sin∠BAE=BEAB，即sin72°=BE200，
∴BE=sin72°×200≈0.951×200=190.2(cm)，
答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm；
(2)解：如图3，作BE⊥AD于E，CH⊥AD于H，延长BC交DG于K，则BK⊥DG，

∴四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，
由(1)得BE=190.2cm，
∴DK=HC=BE=190.2(cm)，
在Rt△ABE中，cs∠BAE=AEAB，即cs72°=AE200，
∴AE=cs72°×200≈0.309×200=61.89(cm)，
由题意得：EH=BC=25cm，
∴DH=AD−AE−EH=296.8−61.8−25=210(cm)，
∴CK=DH=210cm，
在Rt△CFK中，tan∠CFK=CKFK，即tan60°=210FK，
∴FK=210tan60∘=210 3≈121.25(cm)，
∴DF=DK−FK=190.2−121.25≈69(cm)，
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm．
【解析】(1)作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，根据sin∠BAE=BEAB列式计算即可；
(2)作BE⊥AD于E，CH⊥AD于H，延长BC交DG于K，则BK⊥DG，可得四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，解直角三角形Rt△ABE求出AE，可得CK=DH=210cm，然后在Rt△CFK中，解直角三角形求出FK，进而可得DF的长．
本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】①②③(答案不唯一) ④
【解析】解：(1)已知：①AC平分∠DAF；②AF//DC；③E是AC的中点．
求证：④DF⊥AC．
证明：∵AC平分∠DAF，
∴∠FAC=∠DAC，
∵AF//DC，
∴∠FAC=∠ACD，
∴∠ACD=∠DAC，
∴DA=DC，
∵E是AC的中点，
∴DF⊥AC，
故答案为：①②③；④(答案不唯一)；
(2)四边形ADCF是正方形，
理由如下：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴CD=DB，AD⊥BC，
∵CE=EA，
∴DE=12AB，DE/​/AC，
∵AF//DC，
∴四边形ABDF为平行四边形，
∴AF=BD，
∵CD=DB，
∴AF=CD
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵AD⊥BC，DF⊥AC，
∴平行四边形ADCF为正方形．
(1)根据题意写出已知、求证，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠ACD=∠DAC，得到DA=DC，根据等腰三角形的性质证明；
(2)先证明四边形ADCF为平行四边形，再根据正方形的判定定理证明．
本题考查的是正方形的判定、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得，抛物线y1的对称轴是直线x=5+452=25，
又顶点C纵坐标为40，
∴C(25,40)．
∴可设抛物线y1的函数关系式为y=a(x−25)2+40．
又抛物线y1过(5,0)，
∴400a+40=0．
∴a=−110．
∴抛物线y1的函数关系式为y=−110(x−25)2+40．
∵C(25,40)，BC=20，BC/​/x轴，
∴B(5,40)．
∴抛物线y2的对称轴是直线x=5+252=15．
∴可设抛物线y2的函数关系式为y=b(x−15)2+k．
又抛物线y2过(0,2.5)，(25,40)，
∴225b+k=2.5100b+k=40．
∴b=−310，k=70．
∴抛物线y2的函数关系式为y=−310(x−15)2+70．
(2)当5≤x≤25时，取x=m，
∴y2−y1=−310(m−15)2+70−[−110(m−25)2+40]
=−15m2+4m+25
=−15(m−10)2+45．
又5≤m≤25，
∴当m=10时，(y2−y1)的值最大为45．
答：当5≤x≤25时，抛物线y1与y2的最大间距为45．
【解析】(1)依据题意，抛物线y1的对称轴是直线x=5+452=25，又顶点C纵坐标为40，从而可设抛物线y1的函数关系式为y=a(x−25)2+40求出a即可得解；又C(25,40)，BC=20，BC/​/x轴，从而抛物线y2的对称轴是直线x=5+252=15，结合抛物线y2过(0,2.5)，(25,40)，计算可以得解；
(2)当5≤x≤25时，取x=m，作差y2−y1=−310(m−15)2+70−[−110(m−25)2+40]，再依据二次函数的性质求出最大值可以得解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
23.【答案】3
【解析】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=∠BAD=90°，AD=BC=8，CD=AB=6，
∵AB=6，BC=8，
∴BD= AB2+AD2=10．
∵沿直线DP翻折，点C与点M重合，
∴CP=PM．
由题意得：CP=t，
∴PM=t，PB=8−t．
∵∠PMB=∠C=90°，∠PBM=∠DBC，
∴△BMP∽△BCD，
∴PMCD=PBBD，
∴t6=8−t10，
∴t=3．
故答案为：3；
(2)由(1)知：△BMP∽△BCD，
∴PMCD=BMBC=PBAB，
∵PC=BQ=t，
∴PB=8−t．
∴PM6=BM8=8−t10，
∴PM=35(8−t)，BM=45(8−t)．
∵四边形PMNQ为平行四边形，
∴PM=NQ=35(8−t)，PM//NQ，
∵PM⊥BD，
∴NQ⊥BD．
当点N在AB上时，
∵∠NQB=∠A=90°，∠NBQ=∠DBA，
∴△NQB∽△DAB，
∴NQAD=BQAB，
∴35(8−t)8=t6，
∴t=7229．
(3)由(2)知：PM=35(8−t)，BM=45(8−t)．
由题意得：PC=BQ=t，
∴MQ=BM−BQ=325−95t.
∵四边形PMNQ为平行四边形，
∴平行四边形PMNQ的面积=2×△PMQ的面积，
∴S=2×12PM⋅MQ=35(8−t)⋅(325−95t)=2725t2−31225t+76825．
∵S>0，
∴35(8−t)>0，325−95t>0，
∴t<329．
∵点P从点C出发，沿CB向点B匀速运动，速度为每秒1个单位，
∴0∴0(1)利用折叠的性质得到CP=PM=t，利用相似三角形的判定与性质得到关于t的方程，解方程即可得出结论；
(2)利用(1)中的方法求得PM=35(8−t)，BM=45(8−t).再利用平行四边形的性质得到NQ的长度，利用相似三角形的判定与性质得到关于t的方程，解方程即可得出结论；
(3)利用平行四边形PMNQ的面积=2×△PMQ的面积，利用三角形的面积公式求得×△PMQ的面积即可；利用PM>0，MQ>0，列出关于t的不等式组即可得出t的取值范围．
本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，本题是动点问题，利用含t的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．A转盘
B转盘
1
2
3
4
5
5
10
15
20
5
5
10
15
20
6
6
12
18
24