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2024-2025学年山东省青岛市崂山区育才中学九年级（上）期初数学试卷（含解析）
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这是一份2024-2025学年山东省青岛市崂山区育才中学九年级（上）期初数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. (−4)2=−4B. 18=2 3C. 3−64=4D. 25=5
3.一元二次方程x2=x的根是( )
A. x1=0，x2=1B. x1=0，x2=−1
C. x1=x2=0D. x1=x2=1
4.若关于x的一元二次方程mx2−2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m≥1B. m≤1C. m≥1且m≠0D. m≤1且m≠0
5.阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树.”设乌鸦x只，树y棵.依题意可列方程组( )
A. 3y+5=x5(y−1)=xB. 3x+5=y5(x−1)=yC. 3y+5=x5y=x−5D. 3y=x+55y=x−5
6.某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为( )
A. 12.8(1−x)2=20B. 20(1−x)2=12.8
C. 20(1−x)2=20−12.8D. 20(1−2x)=12.8
7.一次函数y=kx+b与y=bx−k的图象在同一坐标系中，能满足条件的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.如图，AB//CD，∠ABE=12∠EBF，∠DCE=13∠ECF，设∠ABE=α，∠E=β，∠F=γ，则α，β，γ的数量关系是( )
A. 4β−α+γ=360°
B. 3β−α+γ=360°
C. 4β−α−γ=360°
D. 3β−2α−γ=360°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.某校体育期末考核“仰卧起坐”和“800米”两项，并按3：7的比例算出期末成绩，已知小林这两项的考试成绩分别为80分、90分，则小林的体育期末成绩为______分.
10.如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是______．
11.边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO的度数为______．
12.已知3x−2(x−1)(x+2)=Mx−1−Nx+2，其中M，N是常数，则M−2N= ______．
13.如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为______．
14.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=2 3，AC=4，BD=8，则AE的长为______．
三、解答题：本题共11小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题4分)
某国际帆船中心外形形状是一个三角形，要在它的内部修建一处公共服务设施(用点P表示)，使它到公路AB、BC的距离相等，且到点B、C的距离也相等.在图中确定公共服务设施P的位置.(不写作法，保留作图痕迹)
16.(本小题4分)
解方程组：0.3x−y=10.2x−0.5y=19．
17.(本小题4分)
解不等式组x−3(x−2)≤41+2x3>x−1，并写出其所有的整数解．
18.(本小题8分)
化简：
(1) 80− 45 5− 13× 12；
(2)(2m−3+1)÷2m−2m2−6m+9．
19.(本小题8分)
解方程：
(1)用配方法：2x2−4x−1=0；
(2)用公式法：2x2−2x−1=0．
20.(本小题8分)
由北航北京科技创新中心研究基地和国家科技资源共享服务工程技术研究中心联合完成的《2022年中国城市科技创新指数报告》(以下简称《报告》)正式发布，该研究中心随机对2022年我国40个地级市城市科技创新指数得分的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
a.综合指数得分的频数分布表(数据分成6组：65.0≤x<70.0；70.0≤x<75.0；75.0≤x<80.0；80.0≤x<85.0：85.0≤x<90.0；90.0≤x<95.0)：
b.在“70.0≤x<75.0”这一组的综合指数得分是：
70.0 70.4 70.6 70.7 71.0 71.0 71.1 71.2
71.8 71.9 72.5 73.8 74.0 74.4 74.5 74.6
c.40个城市的科技创新总量指数与效率指数得分扇形统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)综合指数得分的频数分布表中，m= ______，n= ______；
(2)40个城市综合指数得分的中位数为______；
(3)在40个城市的科技创新总量指数与效率指数得分情况扇形统计图中，科技创新总量得分所在的扇形的圆心角的度数是______；
(4)若城市科技创新指数得分在80分以上的为创新型城市，请估算我国参评“中国城市科技创新指数(2022)”的340个地级以上城市中的创新型城市有多少个？
21.(本小题8分)
已知，在▱ABCD中，点M、N分别在AD和BC上，点E、F在对角线BD上，且DM=BN，DF=BE．
求证：(1)△BEN≌△DFM
(2)四边形MENF是平行四边形．
22.(本小题8分)
2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%(不考虑其他因素)，那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
23.(本小题6分)
我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
(1)根据图2，写出一个代数恒等式：(a+b+c)2= ______；
(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10，ab+ac+bc=20，则a2+b2+c2= ______；
(3)小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个长方形，直接写出m的所有可能取值______；
(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．
24.(本小题10分)
如图1，直线l1与x轴交于点A(−6,0)、与y轴交于点B(0,−3)．
(1)直线l1的表达式为______；
(2)若直线l1上有一点M(−2,−2)，y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
(3)如图2，直线l2：y=12x与直线l1交于点C，点D(0,3)，直线l2上是否存在一点G，使得S△CDG=23S△ACD？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题10分)
如图，在等腰Rt△ADE中，∠DAE=90°，AE=AD=6 3cm.在Rt△ABD中∠BAD=90°，∠ABD=30°，旋转Rt△ABD得到Rt△BCD.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s.过点Q作QM//BE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QN//BC，交CD于点N.分别连接PQ，PM，设运动时间为t(s)(0(1)当点P在BD垂直平分线上时，求t的值；
(2)当PQ⊥BD时，求t的值；
(3)当BM平分∠DBA时，求t的值；
(4)设五边形PMDNQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、 (−4)2=4，故本选项不合题意；
B、 18=3 2，故本选项不合题意；
C、3−64=−4，故本选项不合题意；
D、 25=5，故本选项符合题意．
故选：D．
分别根据算术平方根、立方根的定义逐一判断即可．
本题主要考查了平方根，立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：x2=x，
x2−x=0，
x(x−1)=0，
x=0，x−1=0，
x1=0，x2=1，
故选：A．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
4.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2−2x+1=0有实数根，
∴m≠0且△=(−2)2−4m×1≥0，
解得m≤1且m≠0．
故选D．
根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得m≠0且△=(−2)2−4m×1≥0，解不等式组即可．
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的定义．
5.【答案】A
【解析】解：设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组：
3y+5=x5(y−1)=x．
故选：A．
直接利用已知表示出乌鸦的数量进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：依题意得：20(1−x)2=12.8，
故选：B．
利用经过两次降价后的价格=原价×(1−每次降价的百分比)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：A、由直线y=kx+b，得k>0，b<0，由直线y=bx−k，得b<0，k>0，故本选项符合题意；
B、由直线y=kx+b，得k<0，b>0，由直线y=bx−k，得b>0，k>0，故本选项不符合题意；
C、由直线y=kx+b，得k<0，b<0，由直线y=bx−k，得b>0，k<0，故本选项不符合题意；
D、由直线y=kx+b，得k<0，b<0，由直线y=bx−k，得b<0，k>0，故本选项不符合题意．
故选：A．
先根据一条直线得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，即可得出答案．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数y=kx+b，当k>0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，当k>0，b<0时，一次函数y=kx+b经过第一、三、四象限，当k<0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，当k<0，b<0时，一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：过E作EN//AB，过F作FQ//AB，
∵∠ABE=12∠EBF，∠DCE=13∠ECF，∠ABE=α，
∴∠ABF=3α，∠DCF=4∠ECD，
∵AB//CD，
∴AB//EN//CD，AB//FQ//CD，
∴∠ABE=∠BEN=α，∠ECD=∠CEN，∠ABF+∠BFQ=180°，∠DCF+∠CFQ=180°，
∴∠ABE+∠ECD=∠BEN+∠CEN=∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF=180°+180°=360°，
即α+∠ECD=β，3α+γ+4∠DCE=360°，
∴∠ECD=β−α，
∴3α+γ+4(β−α)=360°，
即4β−α+γ=360°，
故选：A．
过E作EN//AB，过F作FQ//AB，根据已知条件得出∠ABF=3α，∠DCF=4∠ECD，求出AB//EN//CD，AB//FQ//CD，根据平行线的性质得出∠ABE=∠BEN=α，∠ECD=∠CEN，∠ABF+∠BFQ=180°，∠DCF+∠CFQ=180°，求出α+∠ECD=β，3α+γ+4∠DCE=360°，再求出答案即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
9.【答案】87
【解析】解：根据题意得：
(80×3+90×7)÷(3+7)
=(240+630)÷10
=870÷10
=87(分)．
故答案为：87．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式列出算式是本题的关键．
10.【答案】(−1,−2)
【解析】解：如图，A′(−1,−2)．
故答案为：(−1,−2)．
根据题意画出图形，即可可得结论．
本题考查坐标与图形变化−旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
11.【答案】24°
【解析】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，
∴∠BOC=360°−120°−108°=132°，
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=180°−132°2=24°，
故答案为：24．
根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角108°和正六边形的内角120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论．
本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．
12.【答案】173
【解析】解：分式的最简公分母是(x−1)(x+2)，
方程两边同时乘以最简公分母，
得3x−2=M(x+2)−N(x−1)，
∴3x−2=(M−N)x+2M+N，
∴M−N=3，2M+N=−2，
∴M=13，N=−83，
∴M−2N=13+2×83=173．
故答案为：173．
将分式方程转化为整式方程3x−2=M(x+2)−N(x−1)，再由等式的性质得到M−N=3，2M+N=−2，分别求出M、N即可．
本题考查分式加减法；熟练掌握分式加减法运算，同时能结合二元一次方程组求解A与B是解题的关键．
13.【答案】52
【解析】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
∠ABN=∠EBNBN=BN∠ANB=∠ENB．
∴△BNA≌△BNE(ASA)，
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点(三线合一)，
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19−BC=19−7=12，
∴DE=BE+CD−BC=5，
∴MN=12DE=52．
故答案是：52．
证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】4 217
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=4，BD=8，
∴AO=12AC=2，BO=12BD=4，
∵AB=2 3，
∴AO2+AB2=4+12=16=BO2，
∴△AOB是直角三角形，且∠BAO=90°，
∴BC= AB2+AC2=2 7，
∵AE⊥BC，垂足为E，
∴12AB⋅AC=12BC⋅AE，
即2 3×4=2 7AE，
解得AE=4 217，
故答案为：4 217．
根据平行四边形性质以及勾股定理逆定理得到AO2+AB2=BO2，推出∠BAO=90°，再利用勾股定理得到BC，然后由三角形面积即可得出结论．
本题考查平行四边形性质、勾股定理以及勾股定理逆定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理的逆定理是解题的关键．
15.【答案】解：根据题意作图如下：
点P即为所求．
【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，分别作∠ABC的角平分线，和线段BC的垂直平分线，交点为点P的位置，由此得到答案．
本题考查了应用与设计作图，熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质及其作法是解答本题的关键．
16.【答案】解：0.3x−y=1①0.2x−0.5y=19②，由方程②×2得：0.4x−y=38③，
由③−①得：x=370，
把x=370代入③得：y=110，
∴原方程组的解为x=370y=110．
【解析】先把方程②×2得到0.4x−y=38，再与方程①相减消去y，得出x的值，再把x的值代入任意方程即可求解．
本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
17.【答案】解：x−3(x−2)≤4①1+2x3>x−1②
由①得，x≥1，
由②得，x<4．
所以不等式组的解集为1≤x<4，
该不等式组的整数解为1，2，3．
【解析】先求出不等式组的解集，即可求得该不等式组的整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
18.【答案】解：(1) 80− 45 5− 13× 12
=4 5−3 5 5− 13×12
= 5 5− 4
=1−2
=−1；
(2)(2m−3+1)÷2m−2m2−6m+9
=(2m−3+m−3m−3)÷2(m−1)(m−3)2
=m−1m−3⋅(m−3)22(m−1)
=m−32．
【解析】(1)先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
(2)根据分式混合运算法则进行计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)2x2−4x−1=0，
移项得：2x2−4x=1，
二次项系数化为1得：x2−2x=12，
配方得：x2−2x+1=12+1，
即(x−1)2=32，
开平方得：x−1=± 62，
∴x1=1+ 62，x2=1− 62．
(2)2x2−2x−1=0，
∵a=2，b=−2，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×2×(−1)=12>0，
∴x=2± 124=1± 32，
∴x1=1+ 32，x2=1− 32．
【解析】(1)用配方法解一元二次方程即可；
(2)用公式法解一元二次方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解题的关键．
20.【答案】5 0.4 73.9 198°
【解析】解：(1)由题意得，故m=40×0.125=5，n=16÷40=0.4．
故答案为：5；0.4；
(2)40个城市综合指数得分的中位数为：(73.8+74.0)÷2=73.9，
故答案为：73.9；
(3)360°×55%=198°，
故答案为：198°；
(4)340×(0.125+0.05+0.025)=68(个)，
答：估算我国参评“中国城市科技创新指数(2022)”的340个地级以上城市中的创新型城市约有68个．
(1)根据“频数÷频率=总数”，可得m、n的值；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)用360°乘55%即可；
(4)用340乘样本中城市科技创新指数得分在80分以上的比例即可．
本题主要考查频数分布直方图及样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21.【答案】证明：(1)在平行四边形ABCD中，AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD．
在△BNE和△DMF中，
BN=DM∠ADB=∠CBDBE=DF，
∴△BNE≌△DMF(SAS)．
(2)∵△BNE≌△DMF，
∴MF=NE，∠DFM=∠BEN．
∴EN//FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
【解析】(1)根据SAS可以证明△DMF≌△BNE．
(2)利用全等三角形的性质可得MF=NE，∠DFM=∠BEN.根据等角的补角相等，可以证明∠FEN=∠EFM，则EN//FM.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
此题综合运用了平行四边形的性质和判定．能够根据已知条件和平行四边形的性质发现全等三角形．
22.【答案】解：(1)设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进冰墩墩2x个，
根据题意得：22000x=480002x−10，
解得：x=200，
经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进冰墩墩200个．
(2)由(1)知，第二次购进冰墩墩的数量为400个．
设每个冰墩墩的标价为a元，
由题意得：(200+400)a≥(1+20%)(22000+48000)，
解得：a≥140，
答：每个冰墩墩的标价至少为140元．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
(1)设第一次购进冰墩墩x个，由题意：第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．列出分式方程，解方程即可；
(2)设每个冰墩墩的标价为a元，由题意：全部销售完后的利润率不低于20%，列出一元一次不等式，解不等式即可．
23.【答案】a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 60 5或7 x3−x=x(x+1)(x−1)
【解析】解：(1)∵边长为(a+b+c)的正方形的面积为：(a+b+c)2
分部分来看的面积为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
两部分面积相等．
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
(2)∵(a+b+c)2
=(a+b+c)(a+b+c)
=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)，
∵a+b+c=10，ab+ac+bc=20，
∴102=a2+b2+c2+2×20，
∴a2+b2+c2=100−40=60，
故答案为：60；
(3)由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：
2a2+3b2+mab
从因式分解的角度看，可分解为(2a+b)(a+3b)或(2a+3b)(a+b)
∴(2a+b)(a+3b)=2a2+3b2+7ab或(2a+3b)(a+b)=2a2+3b2+5ab
∴m=5或7．
故答案为：5或7；
(4)∵原几何体的体积=x3−1×1⋅x=x3−x，新几何体的体积=(x+1)(x−1)x，
∴x3−x=(x+1)(x−1)x．
故答案为：x3−x=x(x+1)(x−1)．
(1)利用等面积法确定恒等式；
(2)利用(1)中结论求解；
(3)利用所拼成的长方形或正方形的面积从因式分解的角度进行解答；
(4)利用体积关系求关于x的恒等式．
本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式和平方差公式的几何背景，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)y=−12x−3；
(2)在x轴上取点C关于y轴的对称点，则C(6,0)，连接MC交y轴于点N，
∴AN+MN=CN+MN=MC最小，
∴△AMN的周长最小，
∵M(−2,−2)，
设直线CM的解析式为y=k1x+b1，
将点M(−2,−2)，C(6,0)代入上式，
得−2k1+b1=−26k1+b1=0,
解得：k1=14b1=−32,
∴直线CM的解析式为y=14x−32，
直线CM与y轴交点，令x=0，得y=−32，
∴N(0,−32)，
(3)存在．
如图2，
得：y=12xy=−12x−3
∴x=−3y=−32，
∴C(−3,−32)，
设直线CD的表达式是：y=mx+n，
将点C(−3,−32)，D(0,3)，代入上式，
∴n=3−3m+n=−32，
解得m=32n=3，
∴y=32x+3，
令y=0，
∴32x+3=0，
∴x=−2，
∴E(−2,0)，
∴AE=6−2=4，
过点C作CF⊥y轴，垂足为F，则F(0,−32)
∴S△ACD=12AE⋅DF=12×4×92=9，
∵S△CDG=23S△ACD，
∴S△CDG=23×9=6，
设G(x,12x)，
∴12OD⋅|x+3|=6，
即12×3⋅|x+3|=6，
∴x1=1，x2=−7，
∴G(1,12)或(−7,−72).
【解析】【分析】
本题主要考查一次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，轴对称−路径最短，三角形的面积，两点间距离等知识点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
(1)由待定系数法求出答案即可；
(2)在x轴上取点C关于y轴的对称点，则C(6,0)，连接MC交y轴于点N，此时△AMN周长最小，求出直线CM的解析式为y=14x−32，则可得出答案；
(3)联立l1，l2的关系式成二元一次方程组，求得C点的坐标，进而求出CD的表达式，求出与x轴的交点，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，则F(0,−32)计算出△ACD的面积，求得△CDG的面积，进而求得G点横坐标，代入l2即可．
【解答】
解：(1)由题意知：
A(−6,0,B(0,−3)，
设直线l1 的表达式为：y=kx+b，
b=−3−6k+b=0，
∴k=−12b=−3，
∴y=−12x−3；
故答案为：y=−12x−3；
(2)见答案；
(3)见答案．
25.【答案】解：(1)如图1，连接DP，
∵点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，
∴BP=t cm，
∵点P在BD垂直平分线上，
∴BP=DP=t cm，
∵∠ABD=30°，AE=AD=6 3cm，
∴BD=2AD=12 3cm，
∵∠DAB=90°，
∴BA= BD2−AD2= (12 3)2−(6 3)2=18(cm)，
∴PA=(18−t)cm，
在Rt△DAP中，DP2=PA2+AD2，
∴t2=(18−t)2+(6 3)2，
解得：t=12；
(2)由题意，BP=DQ=t cm，
∴BQ=(12 3−t)cm，
∵PQ⊥BD，
∴∠PQB=90°，
∵∠ABD=30°，
∴在Rt△BQP中，cs∠PBQ=cs30°=BQPB，
即 32=12 3−tt，
解得：t=48 3−72；
(3)连接BM，如图2所示：
根据解析(1)可知：BD=12 3cm，AB=18cm，
∴BE=(18+6 3)cm，
根据题意可得：QD=tcm，则BQ=(12 3−t)cm，
∵MQ//BE，
∴∠BMQ=∠EBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠DBM=∠EBM，
∴∠DBM=∠QMB，
∴QM=BQ=(12 3−t)cm，
∵QM//BE，
∴△DMQ∽△DEB，
∴DQBD=QMBE，
即t12 3=12 3−t18+6 3，
解得：t=12 3−12；
(4)如图3，过点P作PO⊥QM于O，
在等腰直角△ADE中，AE=AD=6 3cm，∠EAD=90°，
∴BE=BA+AE=(18+6 3)cm，
∵QM//BE，
∴∠OHA=∠HAE=90°，
∴∠POH=∠PAH=∠OHA=90°，
∴四边形OPAH是矩形，
∴PO=AH，
∵QM//BE，
∴∠DQM=∠DBE=30°，
∵∠QDM=∠QDM，
∴△DQM∽△DBE，
∴QMBE=DQBD，
∴QM18+6 3=t12 3，
解得：QM=1+ 32t cm，
∵QN//BC，则∠DNQ=∠C=90°，
∵∠CDB=∠CDB，
∴△NDQ∽△CDB，
∴DQDB=DNDC=NQBC，
∵DC=AB=18cm，BC=AD=6 3cm，
∴t12 3=DN18=NQ6 3，
∴DN= 32t cm，NQ=12t cm，
∴S五边形PMDNQ=S四边形DQPM+S△DNQ
=12(PO+DH)×QM+12QN×ND
=12(HA+DH)×QM+12QN×ND
=12AD×QM+12QN×ND
=12×6 3×1+ 32t+12×12t× 32t
= 38t2+9+3 32t，
∴S与t之间的函数关系式为：S= 38t2+9+3 32t．
【解析】(1)连接BP，设BP=t cm，接着求出BA，点P在BD垂直平分线上，则BP=DP=t cm，最后在Rt△DAP中，利用勾股定理即可求出答案；
(2)根据BP=DQ=tcm，得出BQ=(12 3−t)cm，根据cs∠PBQ=cs30°=BQPB，得出 32=12 3−tt，求出t的值即可；
(3)根据题意可得：QD=tcm，则BQ=(12 3−t)cm，证明∠DBM=∠QMB，得出QM=BQ=(12 3−t)cm，证明△DMQ∽△DEB，得出DQBD=QMBE，即t12 3=12 3−t18+6 3，求出t的值即可；
(4)过点P作PO⊥QM于O，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，结合矩形的性质易得四边形OPAH是矩形，再确定△DQM∽△DBE，△NDQ∽△CDB进而得到相应的边长的值，然后利用所求的五边形面积等于矩形和三角形面积和，将数值代入计算可解．
本题是四边形的综合题，综合考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形面积公式、三角形面积公式、动点问题等知识，掌握以上知识点、具有较好的逻辑推理和计算能力是解题的关键．综合指数得分
频数
频率
65.0≤x<70.0
8
0.2
70.0≤x<75.0
16
n
75.0≤x<80.0
8
0.2
80.0≤x<85.0
m
0.125
85.0≤x<90.0
2
0.05
90.0≤x<95.0
1
0.025
合计
40
1
1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. (−4)2=−4B. 18=2 3C. 3−64=4D. 25=5
3.一元二次方程x2=x的根是( )
A. x1=0，x2=1B. x1=0，x2=−1
C. x1=x2=0D. x1=x2=1
4.若关于x的一元二次方程mx2−2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m≥1B. m≤1C. m≥1且m≠0D. m≤1且m≠0
5.阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树.”设乌鸦x只，树y棵.依题意可列方程组( )
A. 3y+5=x5(y−1)=xB. 3x+5=y5(x−1)=yC. 3y+5=x5y=x−5D. 3y=x+55y=x−5
6.某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为( )
A. 12.8(1−x)2=20B. 20(1−x)2=12.8
C. 20(1−x)2=20−12.8D. 20(1−2x)=12.8
7.一次函数y=kx+b与y=bx−k的图象在同一坐标系中，能满足条件的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.如图，AB//CD，∠ABE=12∠EBF，∠DCE=13∠ECF，设∠ABE=α，∠E=β，∠F=γ，则α，β，γ的数量关系是( )
A. 4β−α+γ=360°
B. 3β−α+γ=360°
C. 4β−α−γ=360°
D. 3β−2α−γ=360°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.某校体育期末考核“仰卧起坐”和“800米”两项，并按3：7的比例算出期末成绩，已知小林这两项的考试成绩分别为80分、90分，则小林的体育期末成绩为______分.
10.如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是______．
11.边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO的度数为______．
12.已知3x−2(x−1)(x+2)=Mx−1−Nx+2，其中M，N是常数，则M−2N= ______．
13.如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为______．
14.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=2 3，AC=4，BD=8，则AE的长为______．
三、解答题：本题共11小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题4分)
某国际帆船中心外形形状是一个三角形，要在它的内部修建一处公共服务设施(用点P表示)，使它到公路AB、BC的距离相等，且到点B、C的距离也相等.在图中确定公共服务设施P的位置.(不写作法，保留作图痕迹)
16.(本小题4分)
解方程组：0.3x−y=10.2x−0.5y=19．
17.(本小题4分)
解不等式组x−3(x−2)≤41+2x3>x−1，并写出其所有的整数解．
18.(本小题8分)
化简：
(1) 80− 45 5− 13× 12；
(2)(2m−3+1)÷2m−2m2−6m+9．
19.(本小题8分)
解方程：
(1)用配方法：2x2−4x−1=0；
(2)用公式法：2x2−2x−1=0．
20.(本小题8分)
由北航北京科技创新中心研究基地和国家科技资源共享服务工程技术研究中心联合完成的《2022年中国城市科技创新指数报告》(以下简称《报告》)正式发布，该研究中心随机对2022年我国40个地级市城市科技创新指数得分的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
a.综合指数得分的频数分布表(数据分成6组：65.0≤x<70.0；70.0≤x<75.0；75.0≤x<80.0；80.0≤x<85.0：85.0≤x<90.0；90.0≤x<95.0)：
b.在“70.0≤x<75.0”这一组的综合指数得分是：
70.0 70.4 70.6 70.7 71.0 71.0 71.1 71.2
71.8 71.9 72.5 73.8 74.0 74.4 74.5 74.6
c.40个城市的科技创新总量指数与效率指数得分扇形统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)综合指数得分的频数分布表中，m= ______，n= ______；
(2)40个城市综合指数得分的中位数为______；
(3)在40个城市的科技创新总量指数与效率指数得分情况扇形统计图中，科技创新总量得分所在的扇形的圆心角的度数是______；
(4)若城市科技创新指数得分在80分以上的为创新型城市，请估算我国参评“中国城市科技创新指数(2022)”的340个地级以上城市中的创新型城市有多少个？
21.(本小题8分)
已知，在▱ABCD中，点M、N分别在AD和BC上，点E、F在对角线BD上，且DM=BN，DF=BE．
求证：(1)△BEN≌△DFM
(2)四边形MENF是平行四边形．
22.(本小题8分)
2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%(不考虑其他因素)，那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
23.(本小题6分)
我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
(1)根据图2，写出一个代数恒等式：(a+b+c)2= ______；
(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10，ab+ac+bc=20，则a2+b2+c2= ______；
(3)小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个长方形，直接写出m的所有可能取值______；
(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．
24.(本小题10分)
如图1，直线l1与x轴交于点A(−6,0)、与y轴交于点B(0,−3)．
(1)直线l1的表达式为______；
(2)若直线l1上有一点M(−2,−2)，y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
(3)如图2，直线l2：y=12x与直线l1交于点C，点D(0,3)，直线l2上是否存在一点G，使得S△CDG=23S△ACD？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题10分)
如图，在等腰Rt△ADE中，∠DAE=90°，AE=AD=6 3cm.在Rt△ABD中∠BAD=90°，∠ABD=30°，旋转Rt△ABD得到Rt△BCD.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s.过点Q作QM//BE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QN//BC，交CD于点N.分别连接PQ，PM，设运动时间为t(s)(0
(2)当PQ⊥BD时，求t的值；
(3)当BM平分∠DBA时，求t的值；
(4)设五边形PMDNQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、 (−4)2=4，故本选项不合题意；
B、 18=3 2，故本选项不合题意；
C、3−64=−4，故本选项不合题意；
D、 25=5，故本选项符合题意．
故选：D．
分别根据算术平方根、立方根的定义逐一判断即可．
本题主要考查了平方根，立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：x2=x，
x2−x=0，
x(x−1)=0，
x=0，x−1=0，
x1=0，x2=1，
故选：A．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
4.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2−2x+1=0有实数根，
∴m≠0且△=(−2)2−4m×1≥0，
解得m≤1且m≠0．
故选D．
根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得m≠0且△=(−2)2−4m×1≥0，解不等式组即可．
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的定义．
5.【答案】A
【解析】解：设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组：
3y+5=x5(y−1)=x．
故选：A．
直接利用已知表示出乌鸦的数量进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：依题意得：20(1−x)2=12.8，
故选：B．
利用经过两次降价后的价格=原价×(1−每次降价的百分比)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：A、由直线y=kx+b，得k>0，b<0，由直线y=bx−k，得b<0，k>0，故本选项符合题意；
B、由直线y=kx+b，得k<0，b>0，由直线y=bx−k，得b>0，k>0，故本选项不符合题意；
C、由直线y=kx+b，得k<0，b<0，由直线y=bx−k，得b>0，k<0，故本选项不符合题意；
D、由直线y=kx+b，得k<0，b<0，由直线y=bx−k，得b<0，k>0，故本选项不符合题意．
故选：A．
先根据一条直线得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，即可得出答案．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数y=kx+b，当k>0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，当k>0，b<0时，一次函数y=kx+b经过第一、三、四象限，当k<0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，当k<0，b<0时，一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：过E作EN//AB，过F作FQ//AB，
∵∠ABE=12∠EBF，∠DCE=13∠ECF，∠ABE=α，
∴∠ABF=3α，∠DCF=4∠ECD，
∵AB//CD，
∴AB//EN//CD，AB//FQ//CD，
∴∠ABE=∠BEN=α，∠ECD=∠CEN，∠ABF+∠BFQ=180°，∠DCF+∠CFQ=180°，
∴∠ABE+∠ECD=∠BEN+∠CEN=∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF=180°+180°=360°，
即α+∠ECD=β，3α+γ+4∠DCE=360°，
∴∠ECD=β−α，
∴3α+γ+4(β−α)=360°，
即4β−α+γ=360°，
故选：A．
过E作EN//AB，过F作FQ//AB，根据已知条件得出∠ABF=3α，∠DCF=4∠ECD，求出AB//EN//CD，AB//FQ//CD，根据平行线的性质得出∠ABE=∠BEN=α，∠ECD=∠CEN，∠ABF+∠BFQ=180°，∠DCF+∠CFQ=180°，求出α+∠ECD=β，3α+γ+4∠DCE=360°，再求出答案即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
9.【答案】87
【解析】解：根据题意得：
(80×3+90×7)÷(3+7)
=(240+630)÷10
=870÷10
=87(分)．
故答案为：87．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式列出算式是本题的关键．
10.【答案】(−1,−2)
【解析】解：如图，A′(−1,−2)．
故答案为：(−1,−2)．
根据题意画出图形，即可可得结论．
本题考查坐标与图形变化−旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
11.【答案】24°
【解析】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，
∴∠BOC=360°−120°−108°=132°，
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=180°−132°2=24°，
故答案为：24．
根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角108°和正六边形的内角120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论．
本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．
12.【答案】173
【解析】解：分式的最简公分母是(x−1)(x+2)，
方程两边同时乘以最简公分母，
得3x−2=M(x+2)−N(x−1)，
∴3x−2=(M−N)x+2M+N，
∴M−N=3，2M+N=−2，
∴M=13，N=−83，
∴M−2N=13+2×83=173．
故答案为：173．
将分式方程转化为整式方程3x−2=M(x+2)−N(x−1)，再由等式的性质得到M−N=3，2M+N=−2，分别求出M、N即可．
本题考查分式加减法；熟练掌握分式加减法运算，同时能结合二元一次方程组求解A与B是解题的关键．
13.【答案】52
【解析】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
∠ABN=∠EBNBN=BN∠ANB=∠ENB．
∴△BNA≌△BNE(ASA)，
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点(三线合一)，
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19−BC=19−7=12，
∴DE=BE+CD−BC=5，
∴MN=12DE=52．
故答案是：52．
证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】4 217
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=4，BD=8，
∴AO=12AC=2，BO=12BD=4，
∵AB=2 3，
∴AO2+AB2=4+12=16=BO2，
∴△AOB是直角三角形，且∠BAO=90°，
∴BC= AB2+AC2=2 7，
∵AE⊥BC，垂足为E，
∴12AB⋅AC=12BC⋅AE，
即2 3×4=2 7AE，
解得AE=4 217，
故答案为：4 217．
根据平行四边形性质以及勾股定理逆定理得到AO2+AB2=BO2，推出∠BAO=90°，再利用勾股定理得到BC，然后由三角形面积即可得出结论．
本题考查平行四边形性质、勾股定理以及勾股定理逆定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理的逆定理是解题的关键．
15.【答案】解：根据题意作图如下：
点P即为所求．
【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，分别作∠ABC的角平分线，和线段BC的垂直平分线，交点为点P的位置，由此得到答案．
本题考查了应用与设计作图，熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质及其作法是解答本题的关键．
16.【答案】解：0.3x−y=1①0.2x−0.5y=19②，由方程②×2得：0.4x−y=38③，
由③−①得：x=370，
把x=370代入③得：y=110，
∴原方程组的解为x=370y=110．
【解析】先把方程②×2得到0.4x−y=38，再与方程①相减消去y，得出x的值，再把x的值代入任意方程即可求解．
本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
17.【答案】解：x−3(x−2)≤4①1+2x3>x−1②
由①得，x≥1，
由②得，x<4．
所以不等式组的解集为1≤x<4，
该不等式组的整数解为1，2，3．
【解析】先求出不等式组的解集，即可求得该不等式组的整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
18.【答案】解：(1) 80− 45 5− 13× 12
=4 5−3 5 5− 13×12
= 5 5− 4
=1−2
=−1；
(2)(2m−3+1)÷2m−2m2−6m+9
=(2m−3+m−3m−3)÷2(m−1)(m−3)2
=m−1m−3⋅(m−3)22(m−1)
=m−32．
【解析】(1)先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
(2)根据分式混合运算法则进行计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)2x2−4x−1=0，
移项得：2x2−4x=1，
二次项系数化为1得：x2−2x=12，
配方得：x2−2x+1=12+1，
即(x−1)2=32，
开平方得：x−1=± 62，
∴x1=1+ 62，x2=1− 62．
(2)2x2−2x−1=0，
∵a=2，b=−2，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×2×(−1)=12>0，
∴x=2± 124=1± 32，
∴x1=1+ 32，x2=1− 32．
【解析】(1)用配方法解一元二次方程即可；
(2)用公式法解一元二次方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解题的关键．
20.【答案】5 0.4 73.9 198°
【解析】解：(1)由题意得，故m=40×0.125=5，n=16÷40=0.4．
故答案为：5；0.4；
(2)40个城市综合指数得分的中位数为：(73.8+74.0)÷2=73.9，
故答案为：73.9；
(3)360°×55%=198°，
故答案为：198°；
(4)340×(0.125+0.05+0.025)=68(个)，
答：估算我国参评“中国城市科技创新指数(2022)”的340个地级以上城市中的创新型城市约有68个．
(1)根据“频数÷频率=总数”，可得m、n的值；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)用360°乘55%即可；
(4)用340乘样本中城市科技创新指数得分在80分以上的比例即可．
本题主要考查频数分布直方图及样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21.【答案】证明：(1)在平行四边形ABCD中，AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD．
在△BNE和△DMF中，
BN=DM∠ADB=∠CBDBE=DF，
∴△BNE≌△DMF(SAS)．
(2)∵△BNE≌△DMF，
∴MF=NE，∠DFM=∠BEN．
∴EN//FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
【解析】(1)根据SAS可以证明△DMF≌△BNE．
(2)利用全等三角形的性质可得MF=NE，∠DFM=∠BEN.根据等角的补角相等，可以证明∠FEN=∠EFM，则EN//FM.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
此题综合运用了平行四边形的性质和判定．能够根据已知条件和平行四边形的性质发现全等三角形．
22.【答案】解：(1)设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进冰墩墩2x个，
根据题意得：22000x=480002x−10，
解得：x=200，
经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进冰墩墩200个．
(2)由(1)知，第二次购进冰墩墩的数量为400个．
设每个冰墩墩的标价为a元，
由题意得：(200+400)a≥(1+20%)(22000+48000)，
解得：a≥140，
答：每个冰墩墩的标价至少为140元．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
(1)设第一次购进冰墩墩x个，由题意：第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．列出分式方程，解方程即可；
(2)设每个冰墩墩的标价为a元，由题意：全部销售完后的利润率不低于20%，列出一元一次不等式，解不等式即可．
23.【答案】a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 60 5或7 x3−x=x(x+1)(x−1)
【解析】解：(1)∵边长为(a+b+c)的正方形的面积为：(a+b+c)2
分部分来看的面积为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
两部分面积相等．
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
(2)∵(a+b+c)2
=(a+b+c)(a+b+c)
=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)，
∵a+b+c=10，ab+ac+bc=20，
∴102=a2+b2+c2+2×20，
∴a2+b2+c2=100−40=60，
故答案为：60；
(3)由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：
2a2+3b2+mab
从因式分解的角度看，可分解为(2a+b)(a+3b)或(2a+3b)(a+b)
∴(2a+b)(a+3b)=2a2+3b2+7ab或(2a+3b)(a+b)=2a2+3b2+5ab
∴m=5或7．
故答案为：5或7；
(4)∵原几何体的体积=x3−1×1⋅x=x3−x，新几何体的体积=(x+1)(x−1)x，
∴x3−x=(x+1)(x−1)x．
故答案为：x3−x=x(x+1)(x−1)．
(1)利用等面积法确定恒等式；
(2)利用(1)中结论求解；
(3)利用所拼成的长方形或正方形的面积从因式分解的角度进行解答；
(4)利用体积关系求关于x的恒等式．
本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式和平方差公式的几何背景，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)y=−12x−3；
(2)在x轴上取点C关于y轴的对称点，则C(6,0)，连接MC交y轴于点N，
∴AN+MN=CN+MN=MC最小，
∴△AMN的周长最小，
∵M(−2,−2)，
设直线CM的解析式为y=k1x+b1，
将点M(−2,−2)，C(6,0)代入上式，
得−2k1+b1=−26k1+b1=0,
解得：k1=14b1=−32,
∴直线CM的解析式为y=14x−32，
直线CM与y轴交点，令x=0，得y=−32，
∴N(0,−32)，
(3)存在．
如图2，
得：y=12xy=−12x−3
∴x=−3y=−32，
∴C(−3,−32)，
设直线CD的表达式是：y=mx+n，
将点C(−3,−32)，D(0,3)，代入上式，
∴n=3−3m+n=−32，
解得m=32n=3，
∴y=32x+3，
令y=0，
∴32x+3=0，
∴x=−2，
∴E(−2,0)，
∴AE=6−2=4，
过点C作CF⊥y轴，垂足为F，则F(0,−32)
∴S△ACD=12AE⋅DF=12×4×92=9，
∵S△CDG=23S△ACD，
∴S△CDG=23×9=6，
设G(x,12x)，
∴12OD⋅|x+3|=6，
即12×3⋅|x+3|=6，
∴x1=1，x2=−7，
∴G(1,12)或(−7,−72).
【解析】【分析】
本题主要考查一次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，轴对称−路径最短，三角形的面积，两点间距离等知识点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
(1)由待定系数法求出答案即可；
(2)在x轴上取点C关于y轴的对称点，则C(6,0)，连接MC交y轴于点N，此时△AMN周长最小，求出直线CM的解析式为y=14x−32，则可得出答案；
(3)联立l1，l2的关系式成二元一次方程组，求得C点的坐标，进而求出CD的表达式，求出与x轴的交点，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，则F(0,−32)计算出△ACD的面积，求得△CDG的面积，进而求得G点横坐标，代入l2即可．
【解答】
解：(1)由题意知：
A(−6,0,B(0,−3)，
设直线l1 的表达式为：y=kx+b，
b=−3−6k+b=0，
∴k=−12b=−3，
∴y=−12x−3；
故答案为：y=−12x−3；
(2)见答案；
(3)见答案．
25.【答案】解：(1)如图1，连接DP，
∵点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，
∴BP=t cm，
∵点P在BD垂直平分线上，
∴BP=DP=t cm，
∵∠ABD=30°，AE=AD=6 3cm，
∴BD=2AD=12 3cm，
∵∠DAB=90°，
∴BA= BD2−AD2= (12 3)2−(6 3)2=18(cm)，
∴PA=(18−t)cm，
在Rt△DAP中，DP2=PA2+AD2，
∴t2=(18−t)2+(6 3)2，
解得：t=12；
(2)由题意，BP=DQ=t cm，
∴BQ=(12 3−t)cm，
∵PQ⊥BD，
∴∠PQB=90°，
∵∠ABD=30°，
∴在Rt△BQP中，cs∠PBQ=cs30°=BQPB，
即 32=12 3−tt，
解得：t=48 3−72；
(3)连接BM，如图2所示：
根据解析(1)可知：BD=12 3cm，AB=18cm，
∴BE=(18+6 3)cm，
根据题意可得：QD=tcm，则BQ=(12 3−t)cm，
∵MQ//BE，
∴∠BMQ=∠EBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠DBM=∠EBM，
∴∠DBM=∠QMB，
∴QM=BQ=(12 3−t)cm，
∵QM//BE，
∴△DMQ∽△DEB，
∴DQBD=QMBE，
即t12 3=12 3−t18+6 3，
解得：t=12 3−12；
(4)如图3，过点P作PO⊥QM于O，
在等腰直角△ADE中，AE=AD=6 3cm，∠EAD=90°，
∴BE=BA+AE=(18+6 3)cm，
∵QM//BE，
∴∠OHA=∠HAE=90°，
∴∠POH=∠PAH=∠OHA=90°，
∴四边形OPAH是矩形，
∴PO=AH，
∵QM//BE，
∴∠DQM=∠DBE=30°，
∵∠QDM=∠QDM，
∴△DQM∽△DBE，
∴QMBE=DQBD，
∴QM18+6 3=t12 3，
解得：QM=1+ 32t cm，
∵QN//BC，则∠DNQ=∠C=90°，
∵∠CDB=∠CDB，
∴△NDQ∽△CDB，
∴DQDB=DNDC=NQBC，
∵DC=AB=18cm，BC=AD=6 3cm，
∴t12 3=DN18=NQ6 3，
∴DN= 32t cm，NQ=12t cm，
∴S五边形PMDNQ=S四边形DQPM+S△DNQ
=12(PO+DH)×QM+12QN×ND
=12(HA+DH)×QM+12QN×ND
=12AD×QM+12QN×ND
=12×6 3×1+ 32t+12×12t× 32t
= 38t2+9+3 32t，
∴S与t之间的函数关系式为：S= 38t2+9+3 32t．
【解析】(1)连接BP，设BP=t cm，接着求出BA，点P在BD垂直平分线上，则BP=DP=t cm，最后在Rt△DAP中，利用勾股定理即可求出答案；
(2)根据BP=DQ=tcm，得出BQ=(12 3−t)cm，根据cs∠PBQ=cs30°=BQPB，得出 32=12 3−tt，求出t的值即可；
(3)根据题意可得：QD=tcm，则BQ=(12 3−t)cm，证明∠DBM=∠QMB，得出QM=BQ=(12 3−t)cm，证明△DMQ∽△DEB，得出DQBD=QMBE，即t12 3=12 3−t18+6 3，求出t的值即可；
(4)过点P作PO⊥QM于O，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，结合矩形的性质易得四边形OPAH是矩形，再确定△DQM∽△DBE，△NDQ∽△CDB进而得到相应的边长的值，然后利用所求的五边形面积等于矩形和三角形面积和，将数值代入计算可解．
本题是四边形的综合题，综合考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形面积公式、三角形面积公式、动点问题等知识，掌握以上知识点、具有较好的逻辑推理和计算能力是解题的关键．综合指数得分
频数
频率
65.0≤x<70.0
8
0.2
70.0≤x<75.0
16
n
75.0≤x<80.0
8
0.2
80.0≤x<85.0
m
0.125
85.0≤x<90.0
2
0.05
90.0≤x<95.0
1
0.025
合计
40
1
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