(通用版)中考数学一轮复习精讲精练第1章第2讲 整式与因式分解（2份，原卷版+解析版）

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知识梳理 夯实基础
知识点1：整式的相关概念
单项式：
用数字或字母的 表示的代数式叫做单项式。单独一个数字或字母也是单项式。
(1)单项式中的数字因数叫做这个单项式的 。
(2)一个单项式中，所有字母指数的 叫做这个单项式的次数。
2、多项式：
几个单项式的 叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做 。
一个多项式含有几项，这个多项式就是几项式，多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
单项式与多项式统称为整式。
知识点2：整式的运算
1.加减运算
(1)整式加减运算的实质是 、合并同类项。
(2)同类项：所含字母相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。
合并同类项的法则:同类项的系数相加，字母和字母的 不变。
去括号法则:
如果括号前面是“+”，去括号时括号内的各项都不改变符号；
如果括号前面是“-”，去括号时括号内的各项都改变符号。
添括号法则:
所添括号前面是“+”,括到括号内的各项都不改变符号；
所添括号前面是“-”，括到括号内的各项都改变符号。
常用变形：


重要公式：
完全平方公式：
平方差公式：
幂的运算
性质1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（，为正整数）
性质2、幂的乘方，底数不变，指数相乘。（，为正整数）
性质3、积的乘方等于各因式乘方的积。（，为正整数）
性质4、同底数幂相除,底数不变,指数相减。 （，）
乘法运算
知识点3：代数式及其求值
用加、减、乘、除及乘方等运算符号把 连接而成的式子，叫做代数式。
代数式求值：
①直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值。
②化简后求值：先对所求代数式进行去括号、合并同类项等化简，在把已知字母的值带入化简后的代数式计算求值。
③整体代入法：先观察已知条件和所求代数式的关系，再将所求代数式变形(一般会用到提公因式、平方差公式、完全平方公式)，最后把已知代数式看成一个整体代入变形后的代数式中求值。
知识点4：因式分解
1、定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫做因式分解。
2、方法
(1)提公因式法
(2)公式法
3.因式分解的步骤（注意：因式分解一定要分解到底）
(1)多项式为两项或三项时，步骤如下:
十字相乘法：
头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察实验。
多项式为四项及以上时，通常需先分组，分组后再利用提公因式法或公式法进行分解。
直击中考 胜券在握
1．单项式的系数和次数分别是（）
A．-1和5B．和6C．-和5D．-和6
【答案】D
【分析】
由题意直接根据单项式的系数（数字因数）和次数（所有字母的指数的和）进行分析即可．
【详解】
解：单项式的系数和次数分别是-和6.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查单项式的系数、次数，熟练掌握单项式的系数、次数是解决本题的关键．
2．（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校八年级阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A．a-3•a2＝a5B．（x3）3＝x6
C．x5+x5＝x10D．（﹣a2b）5＝﹣a10b5
【答案】D
【分析】
根据同底数幂相乘，幂的乘方，合并同类项，积的乘方运算法则逐项计算，即可求解．
【详解】
解：A、 ，故本选项错误，不符合题意；
B、 ，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 ，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，合并同类项，积的乘方运算，熟练掌握同底数幂相乘，幂的乘方，合并同类项，积的乘方运算法则是解题的关键．
3．（2022·浙江·九年级专题练习）计算的结果是（ ）
A．4m2n6B．﹣m2n4C．m2n4D．﹣m5n4
【答案】C
【分析】
直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【详解】
解：原式＝m2n6÷n2
＝m2n4．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查整式的乘除，解题的关键是熟知其运算法则．
4．（2021·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
分别根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断即可．
【详解】
解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项错误；
D、，此选项正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了同类项、积的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握运算法则是解答的关键．
5．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学八年级阶段练习）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
分别计算出各项的结果，再进行判断即可．
【详解】
A.、，故原选项错误；
B、，故原选项错误；
C、，故原选项错误；
D、 计算正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（甘肃省天水市秦安县古城农业中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题）如图，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是( )
A．a－b＝(a＋b)(a－b)B．a＋2ab＋b＝(a＋b)
C．a－2ab＋b＝(a－b)D．(a＋b)－(a－b)＝4ab
【答案】C
【分析】
分别表示出两图中阴影部分的面积，根据面积相等，即可解答．
【详解】
解：图1中阴影部分的面积为：a2-2ab+b2，图2中阴影部分的面积为：（a-b）2，
所以a2-2ab+b2=（a-b）2，
故选C．
【点睛】
本题考查了完全平方公式与几何图形面积的关系，解决本题的关键是分别计算出两图中阴影部分的面积．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先根据规律求出小球的总个数,再将选项逐项化简求值即可解题.
【详解】
解:由题可知求小球的总数的方法会按照不同的计数方法而规律不同,比如可以按照一共有12条棱,去掉首尾衔接处的小球,则每条棱上剩下12(m-2)个小球,加上衔接处的8个小球,则小球的个数为,
选项B中,故B,C,D均正确,
故本题选A.
【点睛】
本题考查了图形的规律,合并同类项,需要学生具有较强的逻辑抽象能力,能够不重不漏的表示出小球的总数是解题关键.
8．（2021·山西襄汾·八年级期中）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
运用同底数幂的除法以及幂的乘方逆运算计算即可．
【详解】
解：，，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方的逆运算，熟记两个运算法则是解答本题的关键．
9．（2021·山东惠民·八年级阶段练习）下列计算中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据平方差公式和完全平方公式判断即可；
【详解】
，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，准确分析判断是解题的关键．
10．（2021·上海松江·七年级期中）已知，，那么的值为（ ）
A．3B．6C．D．
【答案】D
【分析】
根据完全平方公式求出，再把原式因式分解后可代入求值．
【详解】
解：因为，，
所以，
所以
故选：D
【点睛】
考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键．
11．如果，那么代数式的值为（ ）
A．-6B．-1C．9D．14
【答案】D
【分析】
先利用整式的乘法与加减法、完全平方公式化简所求代数式，再将已知等式作为整体代入即可得．
【详解】
解：，
，
，
由得：，
则原式，
故选：D．
【点睛】
本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、代数式求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
12．（2021·辽宁铁西·八年级期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（ ）
A．2B．5C．20D．9
【答案】A
【分析】
对式子进行因式分解，求解即可．
【详解】
解：，
∵
∴
故选A
【点睛】
此题考查了公式法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
13．（2021·黑龙江佳木斯·八年级期末）已知是完全平方式，则m 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首末两项是2x和3y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3y积的2倍．
【详解】
解：∵4x2+mxy+3y2是一个完全平方式，
∴mxy=±2×2x×3y，
∴m=±12．
故选：D．
【点睛】
本题考查了完全平方式的应用，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2-2ab+b2．
14．（2021·湖北天门·八年级阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
各项分解得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、因式分解正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．（2021·广西福绵·七年级期中）若单项式和是同类项，则的值为（ ）
A．-1B．1C．D．
【答案】A
【分析】
根据同类项的字母相同，相同字母的指数相同求解即可；
【详解】
∵单项式和是同类项，
∴，
∴，
∴原式；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，准确计算是解题的关键．
16．如图,是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形,则该图形的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
分析：根据图形得出梯形的上底、下底和高，然后根据梯形的面积计算公式得出答案．
详解：根据图形可得：梯形的上底为m，下底为n，高为m，则S=，故选C．
点睛：本题主要考查的是代数式的计算法则，属于基础题型．得出梯形的上底、下底和高是解题的关键．
17．（江西省宜春市丰城市2019-2020学年八年级上学期期末数学试题）在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a＞b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD－AB＝2时，S2－S1的值为( )
A．2a－2B．－2bC．2aD．2b
【答案】D
【分析】
利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】
解：∵S1=（AB-a）•a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a），
S2=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a），
∴S2-S1
=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a）-（AB-a）•a-（AB-b）（AD-a）
=（AD-a）（AB-AB+b）+（AB-a）（a-b-a）
=b•AD-ab-b•AB+ab
=b（AD-AB）
=2b．
故答案为D
【点睛】
本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．
18．（2021·全国·七年级课时练习）在下列各式①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中，其中单项式是_______，多项式是_______，整式是_______．（填序号）
【答案】①②④⑧ ③⑦ ①②③④⑦⑧
【分析】
根据单项式、多项式、整式的定义，逐一判断各个代数式，即可．
【详解】
解：①，②0，④，⑧，是单项式；③，⑦，是多项式；①，②0，④，⑧，③，⑦，是整式，
故答案是：①②④⑧，③⑦，①②③④⑦⑧．
【点睛】
本题主要考查单项式、多项式、整式的定义，熟练掌握上述定义是解题的关键．
19．（2021·河南伊川·七年级期中）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是________．
【答案】-26
【分析】
首先把x=2代入计算出结果，判断是否小于0，若小于0，直到输出的结果是多少，否则将计算结果再次代入计算，直到小于0为止．
【详解】
解：当x=2时，，
故执行“否”，返回重新计算，
当x=6时，，
执行“是”，输出结果：-26．
故答案为：-26．
【点睛】
此题主要考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，要熟练掌握．解题关键是理解计算流程．
20．（2021·云南·普洱市思茅区第四中学八年级期中）计算_______．
【答案】
【分析】
根据同底数幂的乘法，积的乘方的逆运算以及零指数幂求解即可．
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
此题考查了同底数幂的乘法，积的乘方的逆运算以及零指数幂，掌握它们的运算规则是解题的关键．
21．（2022·全国·九年级专题练习）已知，则_________．
【答案】36
【分析】
先把多项式因式分解，再代入求值，即可．
【详解】
∵，
∴原式=，
故答案是：36．
【点睛】
本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
22．（2021·河南·郑州枫杨外国语学校七年级期中）若，则的值为______．
【答案】3
【分析】
根据，将式子进行变形，然后代入求出值即可．
【详解】
∵ ，
∴=3m(m+2n)+6n=3m+6n=3(m+2n)=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了代数式的求值，解题的关键是利用已知代数式求值．
23．（山东省青岛市崂山区第三中学2020-2021学年七年级下学期期初考试数学试题）如图，某广场地面的图案是用大小相同的黑、白正方形地砖镶嵌而成，图中第1个黑色L形由3个正方形组成，第2个黑色L形由7个正方形组成……那么第n个黑色L形的正方形个数是____________．
【答案】4n-1
【分析】
看后面每个图形中正方形的个数是在3的基础上增加几个4即可．
【详解】
解：第1个黑色“L”形由3个正方形组成，
第2个黑色“L”形由3+4=7个正方形组成，
第3个黑色“L”形由3+2×4=11个正方形组成，
…，
那么组成第n个黑色“L”形的正方形个数是3+（n-1）×4=4n-1．
故答案为：4n-1．
【点睛】
本题考查图形的变化规律；得到第n个图形与第1个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键．
24．（2020年贵州省铜仁市中考数学试题）观察下列等式：
2+22=23﹣2；
2+22+23=24﹣2；
2+22+23+24=25﹣2；
2+22+23+24+25=26﹣2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m的代数式表示)．
【答案】．
【分析】
由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=220(220×2﹣1)，再将220=m代入即可求解．
【详解】
∵220=m，
∴220+221+222+223+224+…+238+239+240
=220(1+2+22+…+219+220)
=220(1+221﹣2)
=m(2m﹣1)．
故答案为：m(2m﹣1)．
【点睛】
本题考查了规律型问题：数字变化，列代数式等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
25．（2021·浙江·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】
利用单项式乘多项式、平方差公式直接求解即可．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查整式的乘法，掌握单项式乘多项式法则和平方差公式是解题的关键．
26．（2021·湖南衡阳·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】
利用完全平方公式,平方差公式,单项式乘以多项式的法则，计算合并同类项即可
【详解】
解：
.
【点睛】
本题考查了完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握公式，准确合并计算是解题的关键．
27．（2021·湖北郧西·八年级期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，-22
【分析】
利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．
【详解】
解：原式=
=
=，
当x=-1时，原式==-22．
【点睛】
本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．
28．先化简，再求值：其中
【答案】5y+6x，．
【分析】
先按照整式的混合运算法则化简，然后代入计算即可．
【详解】
解：
=
=
=5y+6x；
将代入得：5y+6x =．
【点睛】
本题主要考查整式的化简求值，灵活运用整式混合运算法则成为解答本题的关键．
29．（2021·北京·中考真题）已知，求代数式的值．
【答案】1
【分析】
先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可．
【详解】
解：
=
=，
∵，
∴，
代入原式得：原式=．
【点睛】
本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键．
30.将下列多项式进行因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）提取公因式然后利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）提取公因式然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】
此题考查了因式分解，涉及了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握因式分解的方法．
31．（2019·广西河池·中考真题）分解因式：．
【答案】．
【分析】
直接利用完全平方公式化简，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
32．因式分解：
【答案】
【分析】
根据平方差公式求解即可．
【详解】
解：
【点睛】
此题考查了平方差公式的应用，涉及了整式加减运算，解题的关键是掌握平方差公式，利用整体思想进行求解．
33．因式分解：ab2﹣3ab﹣10a．
【答案】
【分析】
先提取公因式，再利用十字相乘法求解即可．
【详解】
解：
故答案为
【点睛】
此题考查了提公因式法和十字相乘法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
34．（2021·全国·八年级专题练习）将下列各式分解因式：
（1）；（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接利用十字相乘法分解因式即可；
（2）直接利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】
解：（1）因为即，
所以：原式＝；
（2）因为即，
所以：原式＝．
【点睛】
本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．
35.因式分解：（1）．（2）．
【答案】（1）（2）．
【详解】
解：（1）原式=
=
=
=
（2）
=
=．
36．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些相关的代数等式，这些等式可用于代数式的证明或求一些不规则图形的面积．
（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，若把这个大正方形的面积直接用边长表示，其面积是________；若把这个大正方形的面积用分割成的小正方形或小矩形的面积表示时，其面积是________；无论怎样表示，面积不变，所以，可得等式是________；并用多项式的乘法公式说明该等式成立；
（2）已知三个数，，满足，，利用（1）中发现的结论可直接写出________；
（3）如图2，是将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
【答案】（1），， ，理由见解析；（2）100；（3）20
【分析】
（1）①根据正方形的面积等于边长的平方，寻找出大正方形的边长即可；②将大正方形进行割补法算出每一部分分割的图形面积再相加即可；③根据面积不变性即可得到等量关系，根据整体思想利用完全平方公式即可证明．
（2）根据（1）中，代入计算即可；
（3）根据割补法表示出两个正方形的面积减去两个空白三角形的面积即是阴影部分的面积，再代入计算．
【详解】
解：（1）①根据图形知：大正方形的边长为 ，所以面积是；
②将大正方形拆分成小的正方形和长方形的面积和:

③根据面积不变性得出：
理由如下：
左边
右边．
∴成立．
（2）根据（1）结论：
∵，
∴
故答案为：100
（3）阴影部分的面积
．
故阴影部分的面积为：20
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，根据正方形的面积公式分整体和部分表示出面积，然后根据面积不变性解题是关键，注意完全平方整体思想的应用，同时注意几何图形中割补法的灵活应用．
37．已知（10x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（3x﹣23）可因式分解成（ax+b）（7x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值．
【答案】-12.
【解析】试题分析：首先将原式因式分解，进而得出a，b，c的值，即可得出答案．
试题解析：原式=（13x﹣17）（10x﹣31﹣3x+23）=（13x﹣17）（7x﹣8）=（ax+b）（7x+c），
所以a=13，b=﹣17，c=﹣8，
所以a+b+c=13﹣17﹣8=﹣12．
单项式与单项式的乘法法则
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个 。
单项式与多项式的乘法法则
单项式与多项式相乘，用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，如m(a+b+c)= 。
多项式与多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积 ，如(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.