浙教版数学七下期末培优训练专题02 解二元一次方程组压轴题四种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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【类型一 代入消元法】
例1．（2021·广东清远·二模）解方程组：．
【变式训练1】（2022·甘肃兰州·八年级期末）解方程组
【变式训练2】（2021·上海·华东政法大学附属中学期末）解方程组：．
【变式训练3】（2021·上海市民办尚德实验学校期末）解方程组：．
【类型二 加减消元法】
例2．（2021·上海中学东校期末）解方程组．
【变式训练1】（2021·山西运城·八年级期末）解方程组：
【变式训练2】（2021·福建·大同中学二模）解方程组：．
【变式训练3】（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）解方程组．
【类型三 错解复原问题】
例3．（2022·江苏·七年级专题练习）解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：由①﹣②，得3x＝﹣3
解法二：由②得3x+（x﹣2y）＝5③
①代入③得3x+2＝5
(1)反思：上述两种解题过程中你发现解法 的解题过程有错误（填“一”或“二”）；解二元一次方程组的基本思想 ．
(2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
【变式训练1】（2021·云南昭通·七年级期末）判断下面方程组的解法是否正确，如果全部正确，判断即可；如果有错误，请写出正确的解题过程．
解：①×2-②×3，得，解得，
把代入方程①，得，解得．
∴原方程组的解为
【变式训练2】（2021·浙江台州·七年级期末）小明同学解方程组的过程如下：
你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程．
【变式训练3】（2021·江苏宿迁·七年级期末）仔细阅读下列内容，并回答问题：
用代入法解方程组有以下步骤：
①由（1）得， （3）
②把（3）代入（1）得，，
③整理得，
④∴可取一切实数，原方程组有无数个解．
（1）选择：以上解法中，造成错误的一步是（ ）
A． ① B． ② C． ③ D． ④
（2）用加减法解这个方程组．
【类型四 整体代换思想问题】
例4．（2021·山东烟台·七年级期中）阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为，解的，把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得解得所以，原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）； （2）．
【变式训练1】（2021·湖南湘西·七年级期末）在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组：的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？
小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单：
①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．
③×35﹣①得3x＝﹣3．
解得x＝﹣1，从而y＝2．
所以原方程组的解是．
请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：．
【变式训练2】（2021·广西北海·七年级期中）解方程组时，由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
解：①-②得，所以③．
③×35-①得，解得，则．
所以原方程组的解是．
请你运用上述方法解方程组：．
【变式训练3】（2021·河南洛阳·七年级期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③
把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4，
∴方程组的解为．
请你根据以上方法解决下列问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组，求xy的值．
【课后训练】
一、解答题
1．（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）解方程组．
2．（2022·北京铁路二中七年级开学考试）解下列方程组：
(1)
(2)
3．（2021·新疆·博尔塔拉蒙古自治州蒙古中学七年级期中）解下列方程组
(1)
(2)
4．（2020·山东泰安·七年级期末）解方程组：
(1)
(2)
5．（2022·广东深圳·八年级期末）解方程组
(1)；
(2)．
6．（2022·重庆南开中学八年级开学考试）解方程组：
(1)
(2)
7．（2021·河南·开封市第二十七中学七年级阶段练习）解方程组
(1)
(2)
8．（2022·山东济南·八年级期末）解二元一次方程组：
(1)
(2)
9．（2022·山东青岛·八年级期末）解方程组：
(1)；
(2)．
10．（2020·重庆市荣昌中学校七年级阶段练习）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
11．（2022·云南文山·八年级期末）解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：由，得．
解法二：由②得③，
把①代入③得．
(1)反思：上述两种解题过程中你发现解法______的解题过程有错误（填“一”或“二”）；
(2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
12．（2022·山西晋中·八年级期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务：
解方程组：
解：②× 2 ，得2x－4y=4 ③…………………………………第一步
①+③，得5x=9 …………………………………第二步
…………………………………第三步
把代入②，得 y= …………………………………第四步
∴原方程组的解为…………………………………第五步
任务一：
①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是 （填序号即可）；
A.公式法 B.换元法 C.代入法 D.加减法
②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变“一元”，在此过程中体现的数学思想是 （填序号即可）；
A.转化 B.公理化 C.演绎 D.数形结合
③第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请你直接写出原方程组的解．
13．（2022·江苏·七年级专题练习）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：．
解：①，得③，第一步，
②③，得，第二步，
．第三步，
将代入①，得．第四步，
所以，原方程组的解为．第五步．
填空：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______．
、代入消元法
、加减消元法
(2)第______步开始出现错误，具体错误是______；
(3)直接写出该方程组的正确解：______．
14．（2021·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）阅读材料：
在解方程组时，萌萌采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形：，即③
把方程①代入③得，
∴，
把代入①，得，
∴原方程组的解为．
请模仿萌萌的“整体代换”法解方程组
15．（2021·辽宁大连·七年级期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②①得：，即．③
③17得：．④
①④得：，代入③得．
所以这个方程组的解是．
（1）请你运用小明的方法解方程组．
（2）猜想关于、的方程组（）的解是______；
（3）请你按照上面的规律写一个方程组，使它的解与（2）中方程组的解相同（所写方程组未知数的系数大于100）．
16．（2021·全国·九年级专题练习）仔细阅读下面解方程组得方法，然后解决有关问题：
解方程组 时，如果直接消元，那将时很繁琐的，若采用下面的解法，则会简单很多．
解：①−②，得：2x＋2y＝2，即x＋y＝1 ③，
③×16，得：16x＋16y＝16 ④，
②−④，得：x＝−1，
将x＝−1代入③得：y＝2，
∴方程组的解为：.
（1）请你采用上述方法解方程组：
（2）请你采用上述方法解关于x，y的方程组．
17．（2021·全国·七年级专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③
把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1，
所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为，
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组，
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值与xy的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
解：①×2，得2x﹣6y＝2③
③﹣②，得﹣6y﹣y＝2﹣7
﹣7y＝﹣5，y＝；
把y＝代入①，得x﹣3×＝1，x＝
所以这个方程组的解是