浙教版数学七下期末培优训练专题07 乘法公式压轴题五种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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【类型一 展开式是完全平方式问题】
例1．（2022·重庆九龙坡·八年级期末）已知关于x，y的多项式x2﹣2kxy+16y2是完全平方式，则k＝_____．
【变式训练1】（2022·河南驻马店·七年级阶段练习）已知x2﹣2ax+9是完全平方式，则a＝______．
【变式训练2】（2021·山东·肥城市边院镇过村初级中学期末）若4x2-（k-2）x+25是一个完全平方式，则k的值为______．
【变式训练3】（2021·陕西西安·八年级阶段练习）若4x2+（k﹣1）x+9是一个完全平方式，则k＝_____．
【变式训练4】（2022·湖北十堰·八年级期末）若是完全平方式，则______．
【类型二 利用乘法公式化简求值问题】
例2.（2022·福建漳州·八年级期末）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x，其中x＝﹣2，y＝．
【变式训练1】（2021·山东青岛·期末）先化简，再求值： ，其中，．
【变式训练2】（2021·山东枣庄·七年级阶段练习）化简和化简求值
(1)（2x+y）2+（x+2y）2﹣x（x+y）﹣2（x+2y）（2x+y），
(2)（x﹣2）2﹣4x（x﹣1）+（2x+1）（2x﹣1），其中
【变式训练3】（2021·辽宁锦州·七年级期中）先化简，再求值：，其中x＝－1，y＝1．
【变式训练4】（2022·海南海口·八年级期末）计算
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值： ，其中，．
【类型三 利用完全平方配方求最值问题】
例3．（2022·四川省荣县中学校八年级阶段练习）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用， 求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝(x+2)2+1．
∵(x+2)2 ≥0，
∴当x＝﹣2时，(x+2)2的值最小，最小值是0，
∴(x+2)2+1≥1
∴当(x+2)2＝0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是 ；又如探求多项式的最大(小)值时，我们可以这样处理：
解：原式=，因为无论x取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是−22．
解决问题：请根据上面的解题思路，探求：
（2）多项式的最小值是多少，并写出对应的x的取值．
（3）多项式的最大值是多少，并写出对应的x的取值．
【变式训练1】（2022·云南曲靖·八年级期末）阅读下列材料，并回答后面的问题：
数学课上，李老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：
解：
∵
∴
∴当时，代数式的最小值是－7
通过阅读，求代数式的最小值．
【变式训练2】（2021·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小丽：能．求解过程如下：因为，
因为，所以的最小值是．
问题：
（1）小丽的求解过程正确吗？
（2）你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
（3）求的最大值．
【变式训练3】（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
【变式训练4】（2021·湖南永州·七年级期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题．
小明在学习完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2时，代数式（a±b）2的值具有非负性（即该式的值总是正数或者0）的特点，在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式x2+6x﹣4的最小值时，我们可以这样处理：
解：x2+6x﹣1＝x2+6x+9﹣10
＝（x2+6x+9）﹣10
＝（x+3）2﹣10．
因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数，所以（x+3）2的最小值为0，当x＝﹣3时，（x+3）2﹣10的最小值是﹣10，所以当x＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣10．
解决问题：
（1）请根据上面的解题思路探求：多项式x2﹣4x+7的最小值是多少，并写出此时x的值；
（2）请根据上面的解题思路探求：多项式﹣x2﹣2x+5的最大值是多少，并写出此时x的值．
【类型四 平方差公式在几何图形中的应用】
例4.（2022·广东·深圳市龙岗区实验学校七年级阶段练习）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是________________（请选择正确的一个）
A.a2－2ab＋b2＝（a－b）2 B.a2－b2＝（a＋b）（a－b）
C.a2＋ab＝a（a＋b） D.a2－ab＝a（a－b）
(2)若x2－9y2＝12，x＋3y＝4，求x－3y的值；
(3)计算：（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）．
【变式训练1】（2022·广西·上思县教育科学研究所八年级期末）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝ ，S2＝ （只需表示，不必化简）；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 ；
(3)运用（2）中得到的公式，计算：20152﹣2016×2014．
【变式训练2】（2022·河南信阳·八年级期末）实践与探索：如图1，边长为a的大正方形里有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.
(1)上述操作能验证的等式是：___________（请选择正确的一个）
A．B．C．
(2)请应用这个等式完成下列各题：
①已知，，则____________.
②计算：.
【变式训练3】（2022·江西·新余四中八年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的选项）
A.；B．；C．
(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①己知，，则______．
②计算：
【变式训练4】（2022·广东东莞·八年级期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：．
【类型五 完全平方公式在几何图形中的应用】
例5．（2022·内蒙古赤峰·七年级期中）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个相同的小长方形，然后按图②的方式拼图．
(1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于________________．
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．
方法①________________________________________________________．
方法②________________________________________________________．
(3)观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若．，求的值
【变式训练1】（2022·重庆九龙坡·八年级期末）有一个边长为a+b的正方形，按图1切割成4个小方块，b2，ab，ab，a2分别为4个小方块的面积．
(1)请用图1中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系： ．
(2)利用（1）中的结论解决：若a+b＝7，ab＝12，则a2+b2＝ ，a﹣b＝ ．
(3)若实数m、n满足（m﹣n﹣2）2+（8﹣m+n）2＝10，则（2m﹣2n﹣4）（24+3n﹣3m）＝ ．
(4)如图2，Rt△ABC的斜边AC＝26，分别以边AB、BC为直径向△ABC的外侧作半圆，两半圆面积分别记作S1和S2．若△ABC的周长为60，S1+S2＝，求△ABC的面积．
【变式训练2】（2022·湖南衡阳·八年级期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a＋b＝3，ab＝1，求的值．
解：因为a＋b＝3，ab＝1，所以，2ab＝2，
即可得得根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x＋y＝8，，则xy＝______；
(2)①若2a＋b＝5，ab＝2，求2a－b的值；
②若（4－x）（5－x）＝8，求的值；
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形的，设AB＝6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【变式训练3】（2022·河南驻马店·七年级阶段练习）阅读下列材料并解答后面的问题：完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，从而使某些问题得到解决．
已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．
(1)已知a+＝6．求a2+的值；
(2)已知a﹣b＝2，ab＝3，求a4+b4的值．
【变式训练4】（2022·福建龙岩·八年级期末）（1）【观察】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出（a+b）2，（a-b）2，ab之间的等量关系：______；
（2）【应用】若m+n=6，mn=5，则m-n=______；
（3）【拓展】如图3，正方形ABCD的边长为x，AE=5，CG=15，长方形EFGD的面积是300，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．
【课后训练】
一、填空题
1．（2021·广东·深圳市龙岗区南京师范大学附属龙岗学校七年级阶段练习）若x2＋mx＋121是一个完全平方公式，则m＝________．
2．（2021·重庆一中七年级阶段练习）若4x2+（m﹣2）x+9是完全平方式，则m＝______．
3．（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）已知，则的值为______．
4．（2022·海南海口·八年级期末）已知，，则______．
5．（2021·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）若是完全平方式，则m＝___________．
6．（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级期末）已知，，则的值为________．
7．（2021·上海同济大学实验学校期末）若代数式的值为0，则______．
8．（2020·山东烟台·期中）如图，从边长为（a+4）的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一边为a，另一边长是 ______．
二、解答题
9．（2022·吉林·长春市第八十七中学九年级开学考试）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣6．
10．（2021·重庆一中七年级阶段练习）化简求值：|（x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y2|÷x，其中x，y满足：x2+y2﹣4x+6y+13＝0．
11．（2021·福建省福州第十六中学八年级期中）先化简，再求值：，其中，．
12．（2021·河南·鹤壁市外国语中学八年级阶段练习）化简求值：，其中，．
13．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）简答下列各题：
(1)已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；
(2)若a＋＝3，那么a2＋＝_____；若a－＝3，那么a4＋＝_____．
14．（2021·河南·濮阳市华龙区高级中学八年级阶段练习）（1）试说明：代数式的值与的取值无关．
（2）先化简，再求值：，其中，．
15．（2022·贵州黔西·八年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： ．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
16．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．
方法1 ；
方法2 ．
(2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，àb之间的等量关系为 ；
(3)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a2+3ab+2b2的长方形，这个长方形相邻两边长为 ；
(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；
②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．
17．（2022·福建泉州·八年级期末）乘法公式给出了、与的数量关系，灵活的应用这个关系，可以解决一些数学问题．
(1)若，，求的值；
(2)若满足，求的值；
(3)如图，点、分别在正方形的边、上，且，以为一边作正方形，以的长为边长过点作正方形，若长方形的面积是，求阴影部分的面积．
18．（2021·上海浦东新·七年级期中）数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．
19．（2021·广东·深圳市龙岗区南京师范大学附属龙岗学校七年级阶段练习）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线(对称轴)剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形(中间是空的)．
(1)图②中画有阴影的小正方形的边长为__________(用含m，n的式子表示)；
(2)观察图②，写出代数式(m＋n)2，(m-n)2与mn之间的等量关系；
(3)根据(2)中的等量关系解决下面的问题：
①若m＋n=7，mn=5，求(m-n)2的值；
②若a＋=3，求a2＋的值．
20．（2022·江西赣州·八年级期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
21．（2022·四川省渠县中学七年级开学考试）我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下法求得：
解：
∵ ∴
∴的最小值是4．
请用上面的方法解决下面的问题：
(1)代数式的最小值为______．
(2)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
22．（2022·云南·昆明市第三中学八年级期末）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是 ；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，请判断y有最大还是最小值；这个值是多少？此时x等于哪个数？
（3）若﹣x2+3x+y+5＝0，则y+x= （用含x，y的代数式表示） 请求出y+x的最小值．
23．（2021·河北邢台·八年级阶段练习）观察：（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和长方形EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积可表示为 （写成平方差的形式）；
（2）将图1中的长方形ABGE和长方形EFHD剪下来，拼成如图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是 （写成多项式相乘的形式）；
探究：（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得等量关系 ；
（4）若7x﹣y＝5，y+7x＝7，则49x2﹣y2＝ ；
应用：（5）利用公式计算：（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+．
24．（2021·安徽蚌埠·七年级阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大长方形
(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积
方法1_________；方法2_______．
(2)观察图2，请写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系：_______；
(3)根据题（2）中的等量关系，解决下列问题：
①已知a+b＝3，a2+b2＝5，求ab的值；
②已知（2021﹣n）2+（n﹣2018）2＝7，求（2021﹣n）（n﹣2018）的值．
25．（2022·四川·成都市第十八中学校七年级阶段练习）阅读材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下列问题：
(1)若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
(2)（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，求（n﹣2019）（2020﹣n）．
(3)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．
26．（2021·山东淄博·期中）我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
(1)如图1所示，甲同学从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），求长方形的面积；
(2)乙同学用如图2所示的两个不同的正方形与两个相同的长方形纸片拼成了，一个如图3所示的正方形．
①用两个不同的代数式分别表示图2和图3中阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；
②根据①中的结论计算：已知，求的值．
27．（2022·福建·莆田二中八年级期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量一两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算如图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到（a+b）2=a2+2ab+b2．
(1)如图2，正方形ABCD是由四个边长分别为a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对 图2的面积进行计算，你发现的等式是 （用a，b表示）
(2)应用探索结果解决问题：
已知：两数x，y满足x+y=7，xy=6，求x-y的值．
(3)如图3，四个三角形都是全等的直角三角形，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为 ；（用a，b，c表示）
(4)解决问题：若a=n2-1，b=2n，c=n2+1，请通过计算说明a、b、c满足上面结论．