北师大版数学九上期末重难点培优训练专题16 反比例函数的图象和性质（2份，原卷版+解析版）

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考点一 判断反比例函数图象所在象限 考点二 判断反比例函数的增减性
考点三 已知双曲线发布的象限求参数范围 考点四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
考点五 已知反比例函数的增减性求参数 考点六 已知比例系数求特殊图形的面积 考点七 根据图形面积求比例系数（解析式）
考点一 判断反比例函数图象所在象限
例题：（2022·全国·九年级单元测试）反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限B．第二、四象限C．第一、三象限D．第三、四象限
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质作答．
【详解】解：∵，
∴反比例函数y＝的图像分布在第一、三象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟记反比例函数图像的性质．
【变式训练】
1．（2022·吉林长春·八年级期末）若反比例函数的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限
【答案】B
【分析】先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：∵的图象过点（3，-5），
∴把（3，-5）代入得：
k=xy=3×（-5）=-15＜0，
∴函数的图象应在第二，四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数（k≠0）的性质：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在二、四象限．
2．（2022·全国·九年级单元测试）已知函数，当时，函数的图象在第______象限．
【答案】四
【分析】反比例函数的图象时位于第四象限．
【详解】解：∵
∴图象在第二、四象限
∴当时，函数的图象在第四象限
故答案为：四．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，当时，函数位于一、三象限；当时，函数位于二、四象限．
3．（2022·江苏连云港·八年级期末）反比例函数的图像在第______象限．
【答案】一、三
【分析】根据＞0，判定函数图像的分布即可．
【详解】解：∵＞0，
反比例函数的图像在第一、三象限．
故答案为：一、三．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键．
考点二 判断反比例函数的增减性
例题：（2022·山东·宁阳县第十一中学九年级阶段练习）若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决．
【详解】解：∵反比例函数中k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵点，，都在反比例函数的图象上，
∵，且第一象限的函数值和自变量均为正值，第三象限的函数值和自变量均为负值，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
【变式训练】
1．（2022·河南开封·八年级期末）已知点，，在函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用反比例函数的性质直接求解即可．
【详解】解：∵反比例函数，
∴反比例函数的图象在第二四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
∵，
∴，
∵点在第四象限内，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2022·湖南·岳阳市湘一南湖学校九年级阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____．
【答案】
【分析】根据反比例函数的图象，可得点A在第二象限，点B在第四象限，即可求解．
【详解】解：∵-6＜0，
∴图象位于第二、四象限，
∵点在反比例函数的图象上，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，图象位于第一、三象限内，当时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而减小是解题的关键．
3．（2022·江苏淮安·八年级期末）若点在反比例函数的图像上，则_____（填“＞”、“＜”或“＝”），
【答案】＜
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由A、B两点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，k＝-3＜0，
∴此函数图象的两个分支分别在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而最大．
∵1＜3，
∴y1＜y2．
故答案为∶＜．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
考点三 已知双曲线发布的象限求参数范围
例题：（2022·四川·东坡区实验中学八年级期中）已知函数是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是______．
【答案】-3
【分析】直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图象分布得出，且，进而得出答案．
【详解】解：函数是反比例函数，且图象在第二、四象限内，
，且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级单元测试）已知反比例函数的图象在第二、第四象限，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据反比例函数的图象位于二、四象限，，解不等式即可得结果．
【详解】解：反比例函数的图象在第二、第四象限，
，
则．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查反比例函数的图象的性质：时，图象是位于一、三象限．时，图象是位于二、四象限．
2．（2022·宁夏·隆德县第二中学九年级期末）若反比例函数y＝的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 _____．
【答案】m＜2
【分析】由反比例函数图像经过第二、四象限，得出m﹣2＜0，求出m范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图像经过第二、四象限，
∴m﹣2＜0，
得：m＜2．
故答案为：m＜2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，根据反比例函数图像的性质，列出关于m的不等式，是解题的关键．
3．（2022·江苏南京·八年级期末）若反比例函数的图像经过第二、四象限，则k的取值范围是______．
【答案】k＞3##
【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴3-k＜0，解得k＞3．
故答案为：k＞3．
【点睛】考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限是解答此题的关键．
考点四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
例题：（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）若一次函数y=mx与反比例函数的图象相交于点（，2），那么该直线与双曲线的另一交点为_______．
【答案】（-，-2）##（-0.5，-2）
【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可．
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是（，2），
∴另一个交点的坐标是（-，-2），
故答案为：（-，-2）．
【点睛】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知直线与反比例函数的图象交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N的坐标是______．
【答案】（－1，－2）
【分析】直接利用正比例函数和反比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案．
【详解】解：∵直线与反比例函数的图象交于M，N两点，
∴M，N两点关于原点对称，
∵点M的坐标是（1，2），
∴点N的坐标是（-1，-2）．
故答案为：（－1，－2）.
【点睛】此题主要考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，正确得出M，N两点位置关系是解题关键．
2．（2022·云南昆明·一模）若反比例函数与正比例函数的图象的一个交点为，则另一个交点为_____________．
【答案】
【分析】根据正比例函数与反比例函数关于原点中心对称，则交点也关于原点中心对称即可求解．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数关于原点中心对称，一个交点为，
∴另一个交点为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象与正比例函数图象的性质是解题的关键．
3．（2020·山东·胶州市第七中学九年级阶段练习）已知正比例函数与反比例函数的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为______．
【答案】(1，-2)
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，即反比例函数图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：∵正比例函数y=k1x与反比例函数y=的两个交点关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点(-1，2)关于原点对称，
∴另一个交点的坐标为(1，-2)．
故答案是：(1，-2)．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，熟练掌握反比例函数的对称性是解题的关键．
考点五 已知反比例函数的增减性求参数
例题：（2022·广西·防城港外国语学校九年级阶段练习）若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】反比例函数的图象，当比例系数大于0时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当比例系数小于0时，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此列不等式计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，k+20或0>x1＞x2时，y1＜y2；当x1＞0>x2，y1>y2
【分析】（1）根据图像的对称性即可得；
（2）根据图像的性质，分情况讨论：①当x1＞x2>0或0>x1＞x2，②当x1＞0>x2，即可得．
（1）
解：由图像在第一象限，根据对称性可知另一支位于第三象限，
∵图像在第一、三象限，
∴m﹣5＞0，解得m＞5；
（2）
解：①当x1＞x2>0或0>x1＞x2时，y1＜y2，
②当x1＞0>x2，y1>y2，
综上，当x1＞x2>0或0>x1＞x2时，y1＜y2，当x1＞0>x2，y1>y2．
【点睛】本题考查了函数的图像，解题的关键是掌握函数的图像．
17．（2022·全国·九年级单元测试）如图，点M是反比例函数图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数图像于点N．
(1)若点M（，3），求点N的坐标；
(2)若点P是x轴上的任意一点，那么△PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，5
【分析】（1）将y=3代入，求得点N的坐标；
（2）连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，由反比例函数系数k的几何意义求得△MOH和△NOH的面积，得到△MON的面积，由MN∥x轴得到△MON和△MNP的面积相等，从而得到△PMN的面积不变．
（1）
∵MNy轴，
∴点M、N的y值相等，
将y=3代入，
得，
∴；
（2）
不变，
如图，连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，
∵MNx轴，点M和点N分别在函数和函数图象上，
∴，
∴，
∴S△PMN=5，
∴△PMN的面积不变，且△PMN的面积为5．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是连接MO和NO，得到△MON和△PMN的面积相等．