北师大版数学九上期末重难点培优训练专题03 正方形的性质与判定（2份，原卷版+解析版）

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考点一 根据正方形的性质与判定求角度 考点二 根据正方形的性质与判定求线段长
考点三 根据正方形的性质与判定求面积 考点四 根据正方形的性质与判定求动点中的最值问题
考点五 根据正方形的性质与判定求折叠问题 考点六 根据正方形的性质与判定无刻度作图
考点一 根据正方形的性质与判定求角度
例题：（2022·重庆·中考真题）如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
【变式训练】
1．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°．
2．（2020·山东滨州·八年级期末）如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________．
考点二 根据正方形的性质与判定求线段长
例题：（2021·江西九江·九年级期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将绕点A顺时针旋转90°得到，若，则BE的长为__________．
【变式训练】
1．（2022·浙江温州·三模）如图，在正方形ABCD中，，点P在正方形内，，交边AD于点F，，交PF延长线于点E，且，连结AP，AE．若五边形AEDCP的面积为24，则的度数为______，PC的长为______．
2．（2022·辽宁沈阳·二模）（1）问题情境：如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE所在直线翻折，得到△AFE，延长EF，射线EF与射线CD交于点G，连接AG．
①当点E在线段BC上时，求证：DG＝FG；
②当CE＝3时，则CG的长为______．
（2）思维深化：在△ABC中∠BAC＝45°，AD为BC边上的高，且BD＝+1，CD＝﹣1，请直接写出AD的长．
考点三 根据正方形的性质与判定求面积
例题：（2021·黑龙江·讷河市第三中学九年级期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE＝4，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【变式训练】
1．（2021·湖北·武汉第三寄宿中学八年级阶段练习）如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为________．
2．（2021·辽宁丹东·九年级期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．
考点四 根据正方形的性质与判定求动点中的最值问题
例题：（2022·全国·八年级）如图，正方形中，，动点在边上，以为直角边向上作正方形，连接，则在运动过程中最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·江苏扬州·三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF＋CF的最小值是（ ）
A．4B．4C．5D．2
2．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为 _____；△ADE面积的最大值为 _____．
考点五 根据正方形的性质与判定求折叠问题
例题：（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________．
【变式训练】
1．（2022·上海市张江集团中学八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为________．
2．（2022·江苏镇江·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一个动点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折得到△FBE．
(1)如图1，若点F落在对角线BD上，则线段DE与AE的数量关系是______；
(2)若点F落在线段CD的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出△FBE（不写作法，保留作图痕迹）．连接DF，则∠EDF＝______°；
(3)如图3，连接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的长．
考点六 根据正方形的性质与判定无刻度作图
例题：（2021·江西九江·九年级期中）如图，点E是正方形ABCD内一点，且，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）．
(1)在图1中，作出边BC的中点；
(2)在图2中，作出边CD的中点．
【变式训练】
1．（2022·江西九江·三模）如图，四边形ABCD为正方形，点E在边BC上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；
(2)在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．
2．（2022·江西吉安·一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图①中，以点E、F为顶点作正方形EGHF；
(2)在图②中，连接AE、BF交于点P，以点P为顶点作正方形．
一、选择题
1．（2022·广东·雷州四中八年级期中）已知正方形ABCD的周长为4，则它的对角线AC的长为（ ）
A．1B．C．D．2
2．（2022·天津红桥·三模）如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，顶点C，D在第一象限，若点，点，则点C的坐标为（ ）．
A．（2，3）B．（2，5）C．（5，2）D．（5，3）
3．（2022·河南许昌·二模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB=4，则线段AE的长为（ ）
A．B．3C．D．
4．（2022·河南洛阳·二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·安徽宿州·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若，，则点D到CF的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2022·全国·八年级）如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE．若AB＝2，则AE的长为 _____．
7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，添加一个条件____________，使菱形是正方形．
8．（2022·山东临沂·八年级期中）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为___．
9．（2022·上海市张江集团中学八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为5厘米，EGAD，点H在边AD上，△CEH的面积为8平方厘米，则FG＝________厘米．
10．（2022·广东·执信中学二模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________．
三、解答题
11．（2022··八年级阶段练习）如图，正方形ABCD中，E为边BC上一点，连结AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F，若BG＝nBE．
(1)若n＝1时，
①求∠BAE的度数；
②设BE＝x，S四边形AGFD＝S1，S△ABE＝S2，求S1−S2．(用含x的代数式表示)
(2)若CF＝mBG，求证：mn−n＝1．
12．（2022·全国·八年级）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于点G，连接DG．
(1)填空，∠EDG=_________°．
(2)如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF．
①求线段AG的长；
②求△BEF的面积；
(3)填空：当DE=DG时，若令CE=a，则BF=_________（用含a的式子表示）．
13．（2022·广东·珠海市拱北中学八年级期中）如图1，正方形和正方形如图所示放置，连接，，，与交于点．
(1)请判断与的数量及位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接，求证：是的平分线；
(3)如图3，连接，若面积为12，求的面积．
14．（2022·辽宁辽阳·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交于点H．
(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；
(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．