广东省佛山市15校2024届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份广东省佛山市15校2024届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，则( )
A.B.C.D.
2．人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数从整数到分数从有理数到实数等等16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了，17世纪法国数学家笛卡尔把i称为“虚数”，用表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”若复数z满足方程，则( )
A.B.C.D.
3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是( )
A.B.C.D.
4．设平面向量，，且，则=( )
A.1B.14C.D.
5．，是两个平面,m,n是两条直线,则下列四个选项错误的是( )
A.如果，，那么.
B.如果，那么.
C.如果，那么.
D.如果，那么m与所成的角和n与所成的角相等
6．设，，且，则( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为( )
A.-1B.1C.D.2
8．设，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设为两个互斥的事件，且，则( )
A.
B.
C.
D.
10．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.为函数图像的一条对称轴
B.函数在上单调递减
C.将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，若在上的最小值为，则m的最大值为.
D.在上有2个零点，则实数a的取值范围是.
11．如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的有( )个
A.点在平面的射影为的中心；
B.直线平面；
C.异面直线与所成角不可能为；
D.三棱锥的外接球表面积的取值范围为.
12．已知定义在R上的函数可导，且不恒为为奇函数，为偶函数，则( )
A.的周期为4
B.的图像关于直线对称
C.
D.
三、填空题
13．的展开式中，常数项是___________.
14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2023这2023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为___________.
15．已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是___________.
16．在中，，，，D在边BC上，延长AD到P，使得，若（m为常数），则CD的长度是___________.
四、解答题
17．记的内角A，B，C的对边分期为a，b，c，已知点D在边AC上，且，.
(1)证明：是等腰三角形；
(2)若，求
18．已知数列，满足，，.
(1)证明：是等比数列
(2)求数列的前n项和.
19．如图，已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱，上·
(1)若P是的中点，证明：；
(2)若平面，且平面PQD与平面AQD的夹角的余弦值为，求四面体的体积
20．设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个篮球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球
(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望
21．已知抛物线，过点的直线交C于A，B两点，圆M是以线段为直径的圆
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点，求直线与圆M的方程
22．已知函数（……是自然对数底数）.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：因为集合，，
因此.
故选：B.
2．答案：C
解析：设，
因，
则，
即，
而，
则，
解得，
所以.
故选：C
3．答案：C
解析：不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，
中位数为11，任取两个数含有11的概率为，
故选C.
4．答案：B
解析：因为，
所以又，
则所以，
则
，
故选：B
5．答案：A.
解析:对于A.,，，
则，的位置关系无法确定,故错误;
对于B.,因为,所以过直线n作平面与平面相交于直线c,
则,因为，，故B正确;
对于C由两个平面平行的性质可知正确;
对于D,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确
故选A.
6．答案：A
解析：因为，
所以，
所以，
即.
又，，
所以，即
或，即（舍去）
故选：A
7．答案：B
解析：因为双曲线的标准方程为，
所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离，
化简得，解得，
所以双曲线的标准方程为，
设，
所以①，②，
①-②得，，
化简得③，
因为线段的中点为，
所以，
代入③，整理得，
显然，
所以直线l的斜率.
故选：B
8．答案：D
解析：由题意可得，
，，
设，，则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因为，，，
且，
可得，，
所以
故选：D.
9．答案：AD
解析：因为A，B为两个互斥的事件，且，
所以,即，故A正确，B错误；
因为A，B为两个互斥的事件，不一定为对立事件，
所以，也不一定为对立事件，
故不一定为1，故C错误；
因为A，B为两个互斥的事件，
所以，故D正确，
故选：AD.
10．答案：BC
解析：结合题意：
化简为：.
对于A选项：令，
解得
易验证不是对称轴，故A错误；
对于B选项：当时，，
结合三角函数的性质可知，在上单调递减，故B正确；
对于C选项：
因为，所以，
要使在上的最小值为，
则，即，故C正确；
对于D选项：由，得，
要使在上有2个零点，
则，解得，故D错误
故选：BC.
11．答案：ABC
解析：对于A，连接.，因为四边形为正方形，则，
平面，平面，，
，平面，
平面，，
同理可证，因为，
平面，
因为，，
故三棱锥为正三棱锥，
因此，点在平面的射影为的中心，A对；
对于B，连接，，
且，故四边形为平行四边形，
所以，，
平面，平面，平面，
同理可证平面，
，所以，平面平面，
平面，因此，平面，B对；
对于C，因为平面，平面平面，
平面，
平面，，C对；
对于D，设分别交平面平面于点E，F，
则平面，平面，
，
，
，
可得，同理可得，
，则.
.的外接圆半径均为，
易知E，F分别为.的中心，
当点M与点或点重合时，取最大值，
当点M为线段的中点时，取最小值，
即，
因为为等边三角形，且平面，垂足为的中心，
所以，三棱锥的外接球球心在线段上，
设，球O的半径为R，
则，
(i)当球心O在线段上时，，
因为，
所以，，
可得，
可得，
此时，；
(ii)当球心O在线段上时，，
因为，
所以，，
可得，
可得，
此时，；
(iii)若球心O在线段上时，，
因为，
所以，，
可得，不合乎题意
所以，，
故三棱锥的外接球的表面积，D错
故选：ABC.
12．答案：AC
解析：为奇函数，
则的图像关于对称
又为偶函数，
则的图像关于直线对称，
所以，
可得
则的周期为4，故A选项正确；
又，
则的图像关于对称，故选项B错误；
又，
所以，故选项C正确；
由以上可知，，
但是不知道等于多少，函数的周期为4，
则，
故D错误
故选：AC.
13．答案：-8
解析：的展开式通项为，
令，得，
故常数项是.
故答案为：-8.
14．答案：134
解析：由这2023个自然数中被3除余2且被5除余4的数
按照从小到大的顺序构成的数列是一个首项为14，
公差为15的等差数列，
由，，
解得，故该数列的项数为134
故答案为：134.
15．答案：
解析：因为，
即，可得四边形为矩形
在中，，.
由椭圆的定义可得，
所以，
所以离心率.
故答案为：.
16．答案：或0
解析：∵A，D，P三点共线，
∴可设，
∵，
∴，
即，
若且，
则B，D，C三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，∴，
设，，
则，.
∴根据余弦定理可得，
∵，
∴，
解得，
∴的长度为.
当时，，C，D重合，此时的长度为0，
当时，，B，D重合，
此时，不合题意，舍去
故答案为：0或.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由正弦定理可知，
又，所以，
又因为，所以，
所以是等腰三角形
(2)设，，
则，，，
所以在中，由余弦定理，
得：，
在中，∵，
∴
∴
18．答案：(1)证明见解析
(2)答案见解析
解析：(1)依题意，.
又.
故为首项，公比的等比数列
(2)由(1)可知.
所以.
①
②
①-②得
，
故.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)以A为坐标原点，，，
所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，其中，
若P是的中点，则，，，
于是，
∴，即.
(2)由题设知，，，
是平面内的两个不共线向量
设是平面的一个法向量，
则，
取，得
又平面的一个法向量是，
∴
而二面角的余弦值为，
因此，
解得或（舍去），此时.
设，
而，
由此得点，，
∵平面，且平面的一个法向量是，
∴，即，
解得，从而.
将四面体视为以为底面的三棱锥，
则其高，
故四面体的体积.
20．答案：(1)
(2)分布列见解析，
解析：(1)从甲箱中摸出2个球颜色相同的概率为，
记事件A为最后摸出的2个球颜色不同，
事件B为这2个球是从丙箱中摸出的，
则，
，
，
所以；
(2)X的所有可能取值为2，3，4，
则，
，
，
故X的分布列如表：
故
21．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)设，，，
联立：
得，
恒大于，，.
∴，即O在圆M上.
(2)若圆M过点P，则，
，
，
，
化简得解得或1
①当时，圆心为，
，，
半径，
则圆
②当时，圆心为，
，，
半径，
则圆
22．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)当时，，
∴，
令，显然在单增，且
所以当时，，；
当时，，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)，
令，，则，
所以在上单调递增，
∵，又，，
所以，又，
故，使，即，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值；
所以，
又，∴，
∴，
令，显然在单调递增，
∴，
要证，即证，
即，即，
令，，
则，
当时，
，
所以在上单调递减，
∴，
所以，
故
X
2
3
4
P