北师大版数学七下培优提升训练专题1.11乘法公式的几何背景问题大题提升训练（2份，原卷版+解析版）

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专题1.11乘法公式的几何背景问题大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共31小题）1．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四个小长方形，然后按图②所示拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（3）利用（2）得到的等量关系，解决如下问题：若（a+b）2＝13，ab＝2，则（a﹣b）2＝　 　．2．（2021秋•南康区期末）四个全等的长方形（长a，宽b，且a＞b）既可以拼成一个大的长方形（如图1），也可以拼成一个正方形（如图2），通过观察可以发现图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2．（1）继续观察，请你直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的数量关系：　 　；（2）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．3．（2022秋•同心县校级期中）如图（1），边长为a的正方形内有一个边长为b的小正方形．（1）请用a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积；（用a、b的代数式表示）（2）小明把阴影部分拼成了一个长方形，如图2，这个长方形的面积又是多少？（3）根据图（1）和（2）给你的启发，你能验证什么乘法公式？4．（2022秋•泉州期中）如图所示，从边长为（a+b）的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题：（1）用如图所示图形验证的乘法公式是：　 　；（2）运用（1）中的等式，计算：1.232+2.46×2.77+2.772的值为 　 　；（3）运用（1）中的等式，若x2﹣3x+1＝0，求的值．5．（2022秋•二道区校级月考）图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着腿线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的正方形边长为 　 　；（2）观察图2，请你用等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系：　 　；（3）根据（2）中的结论，如果x+y＝5，xy＝，求代数式（x﹣y）2的值．6．（2022秋•原阳县月考）数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，图（1）可以解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）图（2）中各个小长方形大小均相同，请用两种不同的方法求阴影部分的面积（不化简）．（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？请说明这个等式成立．（3）已知（2m+n）2＝12，（2m﹣n）2＝4，请利用（2）中的等式，求mn的值．7．（2022春•盐湖区期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示）（2）已知a+b＝10，ab＝3，求图2中空白部分的正方形的面积．（3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系．（4）拓展提升：当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2．8．（2022春•陈仓区期中）根据几何图形的面积可以说明整式的乘法，例如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图①的面积关系来说明．（1）根据图②可以写出的一个等式是 　 　；（2）请你计算（x+p）（x+q），并画出一个相应的几何图形加以说明．9．（2022春•滕州市期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（结果不用化简）：①方法1：　 　；方法2：　 　．②请你写出代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；（2）根据（1）题中的等量关系，解决问题：若a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2；（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，写出它表示的代数恒等式．10．（2022春•正定县期中）如图，①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全一样的小长方形，再按照图②围成一个较大的正方形．（1）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积（只需要表示，不必化简）；（2）比较（1）中的两种结果，你能得到怎样的等量关系式？（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下列问题：如果m﹣n＝4，mn＝12，求（m+n）2的值．11．（2022春•仪征市校级月考）有一张边长为a的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加b，木师傅设计了如图所示的三种方案：（1）小明发现这三种方案都能验证一个所学过的乘法公式：　 　.（用a，b表示）（2）请你根据三种方案分别写出这个乘法公式的三种验证过程．12．（2022春•昭平县期末）如图，某中学校园内有一个长为（4a+b）米，宽为（3a+b）米的长方形小广场，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进行绿化．（1）求绿化的面积．（用含a，b的代数式表示）（2）当a＝4，b＝1时，求绿化的面积．13．（2022春•兴平市期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：方法1：　 　；方法2：　 　．（2）由（1）可得出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的一个等量关系为 　 　；（3）利用（2）中得到的等量关系，解决如下问题：若2a+b＝6，ab＝4，求（2a﹣b）2的值．14．（2022春•三元区校级月考）如图所示，请完成下列问题：（1）填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为 　 　或 　 　．（2）通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来．15．（2021秋•海沧区期末）（1）如图，是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度单位：cm），用式子表示该图形中阴影部分的面积．（2）请根据（1）中的尺寸，画出示意图，使其面积为x2+xy+πx2．16．（2021秋•定州市期末）如图，某校一块边长为2x米的正方形空地是八年级四个班的卫生区，据清扫难度不同，学校把它分成了四块，采用抽签的方式安排卫生区，如图是四个班所抽到的卫生区的情况，其中一班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．（1）用含x，y的式子分别表示三班和四班的卫生区的面积；（2）求二班的卫生区的面积比一班的卫生区的面积大多少平方米？17．（2021秋•科左中旗期末）探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是　 　（用式子表示），即乘法公式中的　 　公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．18．（2022春•临渭区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　 　．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．19．（2021秋•义马市期中）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸中减去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）拼成的长方形的周长是多少？（2）拼成的长方形的面积是多少？20．（2022秋•中山区期末）（1）如图1，将边长为（a+b）的正方形面积分成四部分，可以验证的乘法公式是 　 　（填序号）．①（a+b）2＝a2+2ab+b2②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2③（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2④a（a+b）＝a2+ab（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；②如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝23，求阴影部分的面积．21．（2022秋•思明区校级期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 　 　；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值；②计算：．22．（2021秋•唐河县期末）读下列材料，完成文后任务． 任务：（1）方法1用到的乘法公式是 　 　（填“平方差公式”或“完全平方公式”）．（2）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若（x﹣11）2+（9﹣x）2＝10，求（x﹣11）（9﹣x）的值．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40，求图中阴影部分的面积和．23．（2022春•章丘区期中）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．（1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 　 　；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 　 　；（写成两数平方差的形式）；（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 　 　；A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（3）请利用所得等式解决下面的问题：①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝　 　；②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）×…×（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．24．（2022春•潍坊期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．（1）上述操作能验证的等式是 　 　．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2﹣ab＝a（a﹣b）（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，求x+2y．②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．25．（2022•南京模拟）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝　 　，S2＝　 　，写出上述过程中所揭示的乘法公式 　 　；（2）直接应用，利用这个公式计算：①（﹣x﹣y）（y﹣x）；②102×98．（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．26．（2022春•东乡区期中）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：　 　．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．27．（2021秋•渝水区校级期末）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是 　 　；（请选择正确的选项）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　 　．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．28．（2022秋•东台市期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．（1）图1中图形的面积为a2﹣b2，图2中图形的面积为（a﹣b）×　 　．（用含有a、b的代数式表示）（2）由（1）可以得到等式：　 　．（3）根据你得到的等式解决下列问题：①计算：68.52﹣31.52．②若m+4n＝2，求（m+1）2﹣m2+（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的值．29．（2021秋•思明区校级期中）如图，正方形ABCD，CEFG的边长分别为a，b，点G在边CD上，这两个正方形的面积之差为51cm2，且BE＝17cm，求DG的长．30．（2021秋•寿光市校级月考）边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 　 　．（1）图甲中阴影部分的面积为：　 　，图乙中阴影部分的面积为：　 　；（2）根据（1）中计算得出的面积，你可以得到一个什么等式，请写出来：　 　；（3）请用你发现的结论进行简便运算：43.7452﹣56.2552．小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足（6﹣x）（x﹣2）＝3．求（6﹣x）2+（x﹣2）2的值，怎么解决呢？小英给出了如下两种方法：方法1：设6﹣x＝m，x﹣2＝n，则（6﹣x）（x﹣2）＝mn＝3，m+n＝6﹣x+x﹣2＝4，∴（6﹣x）2+（x﹣2）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝42﹣2×3＝16﹣6＝10方法2：∵（6﹣x）（x﹣2）＝3，∴6x﹣12+2x﹣x2＝3，∴x2﹣8x＝﹣15，（6﹣x）2+（x﹣2）2＝36﹣12x+x2+x2﹣4x+4＝2x2﹣16x+40＝2（x2﹣8x）+40＝2×（﹣15）+40＝﹣30+40＝10．