（7）数列——高考数学数列专练

这是一份（7）数列——高考数学数列专练，共10页。试卷主要包含了已知数列满足，则等内容，欢迎下载使用。
1.已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则( )
A.31B.C.31或5D.或5
2.设公差不为0的无穷等差数列的前n项和为，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知数列满足，则( )
A.2B.C.D.
4.设是等差数列的前n项和，若，，则=( )
A.6B.7C.8D.9
5.已知是等差数列的前n项和，若，，则( )
A.44B.56C.68D.84
6.记为等比数列的前n项和，若，，则( )
A.48B.81C.93D.243
7.某公司为庆祝公司成立九周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“九年耕枟，硕果累累”8个字.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米高度至少要经过( )
A.3分钟B.4分钟C.5分钟D.6分钟
8.已知数列，中满足，，，若前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是( )
A.8B.9C.11D.10
9.（多选）已知数列是公比的正项等比数列，M是与的等比中项，N是与等差中项，则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
10.（多选）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是( )
A.B.为的最小值
C.D.
11.（多选）记数列的前n项和为，且，则( )
A.
B.数列是公差为1的等差数列
C.数列的前n项和为
D.数列的前2023项和为
12.（多选）已知等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.为递减数列D.的前5项和为
13.已知等差数列共有项，其中所有奇数项之和为290，所有偶数项之和为，则_____________.
14.已知数列满足，，且数列的前n项和为.若的最大值为，则实数k的最大值是_________.
15.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列是一个“2026积数列”，且，则当其前n项的乘积取得最大值时，n的值为__________.
16.已知是公比不为1的正项等比数列，若，则的最小值为______________.
17.已知数列满足，.
（1）记，证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18.已知数列，满足，且是与的等比中项.
（1）若，求的值；
（2）若，设数列，的前n项和分别为，.
（ⅰ）求数列，的通项公式；
（ⅱ）求.
19.已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为.
20.等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为是首项为1的等比数列，是的前项和，且，
当时，，计算得，所以，
当时，，，所以，综上：.故选：B.
2.答案：C
解析：因为是公差不为0的无穷等差数列，若“为递减数列”，可得的通项公式为一次函数且一次性系数小于0，一定存在正整数，当时，有，故存在，当远远大于时，时，此时，故充分性成立，若存在正整数，当时，，故二次函数开口向下，
因此，故为递减数列，故必要性成立.故选：C.
3.答案：B
解析：由题意可得①，所以时，②，①-②得，所以，所以.
故选：B.
4.答案：A
解析：在等差数列中，由及，得，则，所以.
故选：A
5.答案：D
解析：由题意可得，，成等差数列，所以，
因为，，则，解得.故选：D.
6.答案：C
解析：设等比数列的公比为q，因为，若，则，得，则，故，则，所以，
所以，所以.故选：C.
7.答案：B
解析：设表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意可得（，），.所以前n分钟热气球上升的总高度，因为，所以数列为单调递增数列，又，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米高度，故选B.
8.答案：D
解析：根据题意，数列中满足，即，变形可得，又由，则数列即是首项为9，公比为的等比数列，则，
则故，变形可得解可得：，故n的最小整数为10.故选：D
9.答案：BC
解析：由等比中项的定义可知，，
等差中项的定义可知，，故A错误，B正确；
若M是负数，则，若M是正数，则，，因为数列是公比的正项等比数列，所以，根据基本不等式可知，故C正确；D错误.
故选：BC
10.答案：AC
解析：数列的前n项和为，
当时，，当时，，
当时也成立，，故A正确；
由于，当或时，取得最大值，故B错误；
由，解得，，故C正确；
，故D错误.
故选：AC.
11.答案：ACD
解析：数列的前n项和，当时，，
而满足上式，因此，
对于A，，A正确；
对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误；
对于C，，数列的前n项和
，C正确；
对于D，，
则数列的前2023项和为，D正确.故选：ACD.
12.答案：BC
解析：等差数列中，，解得，而，
因此公差，通项，对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，为递减数列，C正确；
对于D，，所以的前5项和为
，D错误
故选：BC.
13.答案：29
解析：设等差数列的所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，
由题知，
，
两式相减，可得，故答案为：29.
14.答案：
解析：，，当时，，两式相减得，.又满足，.令，显然数列是等差数列.若的最大值为，则解得，实数k的最大值是.
15.答案：1012或1013
解析：由题可知在等比数列中，，故.设数列的公比为q，因为数列是各项均为正数的等比数列，且，，所以，所以且.故当数列的前n项的乘积取得最大值时，n的值为1012或1013.
16.答案：
解析：设数列的公比为，则，故，
则，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为.故答案为：.
17.答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）由，得，又，
，且，
所以是等比数列，
（2）由（1）得，得，
所以，
即
18.答案：（1）2
（2）（ⅰ），
（ⅱ）
解析：（1）由可得，，
由题意可知是与的等比中项，故，
可得，即，又因，故，
故.
（2）（ⅰ）由得，
由题意可得，得，
故，
故，
又满足上式，所以，，
故，.
（ⅱ），
.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）由得.
则.
由，，成等比数列可得
设的公差为d，则
故.
（2）由（1）知，，
则，
所以，①
所以②，
①-②得，，
所以，，
所以，。
20.答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)设数列的公比为q，则，由，得：，所以.
由，得到，所以数列的通项公式为.
(2)由条件知，，
又
将以上两式相减得
所以.