（3）数列——高考数学数列专练

这是一份（3）数列——高考数学数列专练，共11页。试卷主要包含了已知在等差数列中，，，则，已知等比数列为递增数列，等内容，欢迎下载使用。
1.已知在等差数列中，，，则( )
A.10B.8C.6D.4
2.设公差的等差数列中，，，成等比数列，则( )
A.B.C.D.
3.已知数列，均为等差数列，其前n项和分别为，，满足，则( )
A.2B.3C.5D.6
4.已知等比数列的前n项和为，且，其中.若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则( )
A.2B.3C.D.
5.设等比数列的前n项和为，已知，，则( )
A.15B.18C.31D.63
6.已知等比数列为递增数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，，则( )
A.B.C.D.
7.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有个，下底有个，共层的堆积物（如图所示），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为( )
A.2B.6C.12D.20
8.德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则( )
A.96B.97C.98D.99
9.（多选）已知等差数列的前n项和为，且，，则( )
A.
B.
C.当时，取得最小值
D.记，则数列前n项和为
10.（多选）已知等差数列的前n项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是( )
A.数列是递增数列
B.是数列中的最小项
C.和是中的最小项
D.满足的n的最大值为25
11.（多选）在等比数列中，，，则( )
A.的公比为B.的公比为2
C.D.数列为递增数列
12.（多选）数列中，记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则( )
A.B.
C.数列是单调递增数列D.当取最大值时，或
13.对于数列，定义数列为数列的“和数列”，若，数列的“和数列”的通项公式为，则数列的前21项和______.（结果保留指数形式）
14.已知数列满足，，，设的前n项和为，则_____________.
15.为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从10月1日到10月的最后一天，小明运动的总时长为___________分钟.
16.等比数列的前n项和记为，若，则__________.
17.已知是等差数列的前项和.
（1）证明：是等差数列；
（2）设为数列的前项和，若，，求.
18.设是等差数列，是等比数列，且.
（1）求与的通项公式；
（2）设的前n项和为，求证：；
19.已知数列满足：，数列为等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求和：.
20.设是首项为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列.
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和.证明：.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由等差数列中，因为，可得，所以，
又由，且，可得.故选：B.
2.答案：C
解析：因为等差数列中，，，成等比数列，所以，即，即，因为，解得，
所以故选：C.
3.答案：A
解析：因为数列均为等差数列，可得，
且，又由，可得.因此.故选：A.
4.答案：B
解析：因为，所以当时，，两式相减得，
即，所以公比为2，，又当时，，得，所以等比数列的通项公式为，，所以，，公差.故选：B.
5.答案：C
解析：设等比数列的公比为q，因为，所以，
因为，所以，又，所以，因为，解得，
所以.故选：C
6.答案：C
解析：，，则，.由于为递增数列，则，，
所以的通项公式为，所以，故选：C.
7.答案：B
解析：由题意，得，，则由得，整理得，所以.因为a，b为正整数，所以或6.因此有或而无整数解，因此.故选B.
8.答案：C
解析：令，
，
两式相加得：
，，故选：C．
9.答案：BCD
解析：设公差为d，因为，则，
解得.由得，选项A错误；
，则，选项B正确，
二次函数性质知道时，最小，选项C正确；
，所以为等差数列，，前n项和为，选项D正确.故选：BCD.
10.答案：AC
解析：对于A：因为等差数列的前n项和为，公差为d，且，
所以，所以，因为，所以，数列是递增数列，A正确；
对于B：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，B错误；
对于C：因为，所以当或时，取最小值，C正确；
对于D：由不等式可得，又因为，所以满足的n的最大值为D错误.
故选：AC.
11.答案：BC
解析：设等比数列的公比为q，依题意得解得所以
故，故BC正确，A错误；
对于D，，则数列为递减数列，故D错误.故选：BC.
12.答案：ABD
解析：由，得，即首项为16，公比为的等比数列，
所以，A正确；
，B正确；
，故数列是单调递减数列，C错误；
因为首项为16，公比为的等比数列，单调递减，，所以当取最大值时，或，D正确；故选：ABD
13.答案：.
解析：因为，数列的“和数列”的通项公式为，所以数列，
，故答案为：.
14.答案：
解析：由，所以，所以数列为等差数列，
并设其公差为d，首项为，又因为，即，解得，因为，所以，，所以.
故答案为：.
15.答案：1085
解析：由题意小明每天的运动时长构成等差数列，其中，，
所以（分钟），即小明运动的总时长为1085分钟.故答案为：1085.
16.答案：-21
解析：因为，显然，
则，化简得，解得，
则，当时，，，
当时，，.故答案为：-21.
17.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：，.
.是等差数列.
（2），
数列的首项为2，第四项为.公差.
.
18.答案：（1），；
（2）证明见解析
解析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
，
，，
解得，
，.
（2）证明：，
要证明，
即证明，
即证明，即证明，
由数列的通项公式和前n项和的关系得：，
.
19.答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，，数列为等比数列，
所以，，则
即是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，则.
(2)
.
20.答案：（1），；
（2）证明见解析.
解析：（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，即，解得，
所以，所以
（2）由（1）可得，
，①
，②
①-②得，
所以，
所以，所以.