长沙市华益中学2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题（原卷版）

这是一份长沙市华益中学2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题（原卷版），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，10个小题，共30分）
1.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断
2.四个大小相同正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）
A. B. C. D.
3.下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C.D.
4.绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A.B.C.D.
5.在中，，，，那么的正切值是（ ）
A.B.7C.D.
6.近年来由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车月份的售价为万元，月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，可列方程正确在是（ ）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A.45°B.75°C.105°D.120°
8.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC的长是（ ）
A.2B.4C.6D.8
9.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A.B.C.D.
10.若二次函数的对称轴为直线，则关于x的方程的解为（ ）
A.2B.4C.2和4D.无解
二、填空题（每小题3分，6个小题，共18分）
11.若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为_____________．
12.投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者投查结果．
根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为______（结果精确到0.1）．
13.圆锥的侧面积为，母线长为5．则这个圆锥的底面半径为________．
14.如果两个相似多边形的面积比是，那么这两个相似多边形的相似比是________．
15.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于______．
16.在平面直角坐标系中，我们把对称轴相同的抛物线叫做“同轴抛物线”．已知抛物线与的顶点分别是、，且它们是同轴抛物线，如果点在点的下方，，那么点的坐标是______．
三、解答题（9个小题，共72分）
17.计算：．
18.已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为、．

（1）在y轴的左侧以O为位似中心将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出；
（2）在（1）的条件下，点的坐标为______；与的面积比为______．
19.国庆假期小明随父母去某景区度假，景区中一高塔吸引了他的注意.小明想知道它的高度于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是，向前走了15米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮他求出这座高塔的高度（参考数据：，，）
20.如图，在中，，为边上的中线，于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
21.为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，圆心角β＝ 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
22.如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线分别与，，相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，且，求．
23.如图，在平面直角坐标系中，经过原点，点与点，点在轴负半轴上，连接，且．
（1）求的半径；
（2）求证：直线为的切线；
（3）求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号）．
24.约定：三角形的一条中线将三角形分成两个小三角形，如果其中的一个小三角形与原三角形相似，那么称原三角形为“华益三角”，这条中线叫做原三角形的“华益中线”，这条中线所在的边叫做“华益边”，原三角形与小三角形的相似比叫做“华益比”．
（1）如图1，已知是边上的中线，若，那么就是“华益三角”，中线是的“华益中线”，边就是的“华益边”．爱思考的你们一定能发现：“华益三角”的“华益比”总是一个定值，以图1为例，求出“华益比”；
（2）如图2，已知在中，，求证：是“华益三角”；
（3）如图3，已知是“华益三角”，边是“华益边”，的外接圆的半径是2．
①若是一个锐角，求的值；
②记，若，求的值．
25.在平面直角坐标系中，如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，点是正半轴上一点，满足，点是直线上的两个动点．
（1）求的值并直接写出经过三点的抛物线的解折式；
（2）如图2，当点在线段上的运动时，若满足，且两点均在反比例函数的图象上，求的值；
（3）已知抛物线满足以下3个条件：①经过两点，②线段，③该抛物线与直线有且只有一个交点．求二次项系数的值．
投壶次数n
50
100
150
200
250
300
400
500
投中次数m
28
46
72
104
125
153
200
250
投中频率
0.56
0.46
0.48
0.52
0.50
0.51
0.50
0.50