四川省泸州市江阳区梓橦路学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷-A4

这是一份四川省泸州市江阳区梓橦路学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）将长60cm的木条截成如下长度的两段后能与长为30cm的木条构成三角形的是（ ）
A．10和50B．12和48C．15和45D．18和42
2．（3分）已知△ABC，则下列条件能判定△ABC是锐角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°﹣∠BB．∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝20°
C．∠A＝2∠B＝3∠CD．∠A+∠B＝88°
3．（3分）若一个正多边形的每个内角都是140°，则这个正多边形的内角和为（ ）
A．1260°B．1080°C．990°D．900°
4．（3分）下列图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）已知P（x，y）在第三象限，且|x|＝1，|y|＝7，则点P关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1.7）B．（1，﹣7）C．（﹣1，﹣7）D．（1，7）
6．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若∠DBC＝40°，则∠AOB＝（ ）
A．80°B．60°C．50°D．40°
7．（3分）如图，∠1＝∠2，添加一个条件即可判定△ABD与△ACD全等，则下列所添条件及所用判定方法都正确的是（ ）
A．添加AB＝AC，用“SAS”判定全等
B．添加∠ADB＝∠ADC，用“AAS”判定全等
C．添加∠B＝∠C＝90°，用“HL”判定全等
D．添加BD＝CD，用“SAS”判定全等
8．（3分）如图，△ABC中AB＝8，AC＝6，BC＝5，沿直线BD折叠△ABC，使点C落在AB边上的点E处，则△AED周长为（ ）
A．7B．9C．11D．13
9．（3分）如图，四边形ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BCD＝130°，则∠BAD＝（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
10．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，若∠ACE＝36°，∠ADC＝80°，则∠B＝（ ）
A．40°B．44°C．53°D．54°
11．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，若∠ACD＝40°，则∠BCD＝（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
12．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，连接CD，若△BCD的面积为8，则△ABC的面积为（ ）
A．12B．16C．18D．20
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）如图是一副三角板拼成的图形，则∠DEB的度数为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是 ．
15．（3分）如图，△ABC中，DE垂直平分BC，若AB＝8，AC＝10，则△ABD的周长是 ．
16．（3分）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②AD＝AE＝EC；③∠BCE+∠BCD＝∠ABC+∠AEC；④BD+BE＝2BF．其中正确的是 ．（只填序号）
三、解答题（每小题6分，共18分）
17．（6分）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且a+2b﹣c＝13，2a＝c+3，求三角形的三边长．
18．（6分）如图，DE∥AB，∠D＝∠A，BF＝CF，求证：DF＝AC．
19．（6分）如图，△ABC在平面直角坐标系中．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A、点C的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
四、解答题（每小题7分，共14分）
20．（7分）如图，△ABC与△EFG中，AB＝EF，BC＝FG，AD∥BC于点D，EH⊥FG于点H，且AD＝EH．
求证：AC＝EG．
21．（7分）把一段长为18cm的细铁丝围成一个三角形，其中两边的长分别是x cm和4cm．
（1）求x的取值范围；
（2）若围成的三角形是等腰三角形，求x的值．
五、解答题（每小题8分，共16分）
22．（8分）如图，∠MON＝32°，点A在ON上，BC垂直平分OA分别交OM、ON于点B、C．点D在射线OM上，不与点O、B重合，当△ABD是等腰三角形时，求∠OAD的度数．
23．（8分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，延长CB至E，使DE＝CD，过点E作EF∥AB、EG∥AC分别交直线AD于点F、G．求证：AD＝DG，EF＝AC．
六、解答题（每小题12分，共24分）
24．（12分）如图，△ABC中，点D、E在BC边所在的直线上，AB＝BD，AC＝CE．
（1）如图1，点D、E都在△ABC外，若∠ABC＝60°，∠ACB＝44°，则∠DAE的度数为 ；
（2）如图2，点D、E都在BC边上．
①若∠BAC＝86°，则∠DAE的度数为 ；
②若AB＝5，AC＝7，BC＝8，则DE的长为 ；
（2）如图3，点E在BC边上，点D在CB的延长线上．
①猜想并直接写出线段AB、BC、AC与DE的数量关系： ；
②猜想∠DAE与∠BAC的数量关系，并说明理由．
25．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线1过点A，BD⊥1，CE⊥1，垂足分别是D、E．
（1）求证：CE＝AD．
（2）延长BD至G，以AG为一边作△AFG，使得∠GAF＝90°，AF＝AG，连接CF交直线1于点O．
①求证：OC＝OF；
②猜想并直接写出线段BD、DG、OE之间的数量关系．
2024-2025学年四川省泸州市江阳区梓橦路学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）将长60cm的木条截成如下长度的两段后能与长为30cm的木条构成三角形的是（ ）
A．10和50B．12和48C．15和45D．18和42
【分析】三角形两边之和大于第三边．依此即可求解．
【解答】解：A．∵10+30＜50，
∴不能构成三角形，故该选项不符合题意；
B．∵12+30＜48，
∴不能构成三角形，故该选项不符合题意；
C．∵15+30＝45，
∴不能构成三角形，故该选项不符合题意；
D..∵18+30＞42，
∴能构成三角形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解是本题的关键．
2．（3分）已知△ABC，则下列条件能判定△ABC是锐角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°﹣∠BB．∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝20°
C．∠A＝2∠B＝3∠CD．∠A+∠B＝88°
【分析】根据各角度数之间的关系，结合三角形内角和定理，求出△ABC的最大内角的度数，再将其与90°比较后，即可得出结论．
【解答】解：A．∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；
B．∵∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝20°，
∴∠B＝∠A﹣20°，∠C＝∠B﹣20°＝∠A﹣20°﹣20°＝∠A﹣40°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A﹣20°+∠A﹣40°＝180°，
∴∠A＝80°，
∵80°＜90°，
∴△ABC是锐角三角形，选项B符合题意；
C．∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠B＝∠A，∠C＝∠A，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝°，
∵°＞90°，
∴△ABC是钝角三角形，选项C不符合题意；
D．∵∠A+∠B＝88°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣88°＝92°，
∵92°＞90°，
∴△ABC是钝角三角形，选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
3．（3分）若一个正多边形的每个内角都是140°，则这个正多边形的内角和为（ ）
A．1260°B．1080°C．990°D．900°
【分析】先根据正多边形的一个内角和相邻外角是邻补角，求出其中的一个外角，然后根据多边形的外角和为360°，求出正多边形的边数，最后利用内角和公式求出答案即可．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都是140°，
∴与其中一个内角相邻的外角为：180°﹣140°＝40°，
∴这个正多边形的边数为360÷40＝9，
∴这个正多边形的内角和为（9﹣2）×180°＝7×180°＝1260°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义和多边形的内角和公式．
4．（3分）下列图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各个图形分析判断即可得解．
【解答】解：A，B，D选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．（3分）已知P（x，y）在第三象限，且|x|＝1，|y|＝7，则点P关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1.7）B．（1，﹣7）C．（﹣1，﹣7）D．（1，7）
【分析】直接利用第三象限点的性质得出x，y的值，进而利用关于x轴对称点的性质得出是解题关键．
【解答】解：∵P（x，y）在第三象限，且|x|＝1，|y|＝7，
∴P（﹣1，﹣7），
∴点P关于x轴对称的点的坐标是：（﹣1，7）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质以及第三象限点的坐标性质，正确记忆各象限内点的坐标性质是解题关键．
6．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若∠DBC＝40°，则∠AOB＝（ ）
A．80°B．60°C．50°D．40°
【分析】利用全等三角形的性质证明∠ACB＝∠DBC＝40°，根据三角形外角的性质可得结论．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，
∴∠ACB＝∠DBC＝40°，
∴∠AOB＝∠OCB+∠OBC＝40°+40°＝80°．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
7．（3分）如图，∠1＝∠2，添加一个条件即可判定△ABD与△ACD全等，则下列所添条件及所用判定方法都正确的是（ ）
A．添加AB＝AC，用“SAS”判定全等
B．添加∠ADB＝∠ADC，用“AAS”判定全等
C．添加∠B＝∠C＝90°，用“HL”判定全等
D．添加BD＝CD，用“SAS”判定全等
【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、所添条件及所用判定方法都正确，故A符合题意；
B、判定方法是ASA，不是AAS，故B不符合题意；
C、还需添加一直角边相等的条件，才能用HL判定△ABD与△ACD，故C不符合题意；
D、∠1和∠2分别是BD和CD的对角，不能用SAS判定△ABD与△ACD，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
8．（3分）如图，△ABC中AB＝8，AC＝6，BC＝5，沿直线BD折叠△ABC，使点C落在AB边上的点E处，则△AED周长为（ ）
A．7B．9C．11D．13
【分析】由折叠可得△DCB≌△DEB，那么DE＝DC，BE＝BC，进而可得AD+DE＝AC，根据所给条件可得AE的长，与AC的长相加即为△AED周长．
【解答】解：由折叠可得：△DCB≌△DEB，
∴DE＝DC，BE＝BC，
∴AD+DE＝AD+DC＝AC，
∵AB＝8，BC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣5＝3，
∵AC＝6，
∴△AED周长＝AE+AD+DE＝3+6＝9．
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换的相关知识．用到的知识点为：折叠前后的两个图形是全等形．
9．（3分）如图，四边形ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BCD＝130°，则∠BAD＝（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【分析】由等腰三角形的性质推出∠B＝∠ACB，∠D＝∠ACD，得到∠B+∠D＝∠BCD＝130°，求出∠BAD＝360°﹣130°﹣130°＝100°．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴∠B＝∠ACB，∠D＝∠ACD，
∴∠B+∠D＝∠ACB+∠ACD＝∠BCD＝130°，
∴∠BAD＝360°﹣∠BCD﹣（∠B+∠D）＝360°﹣130°﹣130°＝100°．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．
10．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，若∠ACE＝36°，∠ADC＝80°，则∠B＝（ ）
A．40°B．44°C．53°D．54°
【分析】由CE⊥AB于点E，可得出∠AEC＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠CAE的度数，由AD平分∠BAC，可求出∠BAD的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵CE⊥AB于点E，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝180°﹣90°﹣∠ACE＝180°﹣90°﹣36°＝54°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝×54°＝27°．
又∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝80°﹣27°＝53°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义以及垂线，以及三角形内角和定理及角平分线的定义，求出∠BAD的度数是解题的关键．
11．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，若∠ACD＝40°，则∠BCD＝（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
【分析】由直角三角形的性质求出∠A＝50°，由等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝×（180°﹣50°）＝65°，即可求出∠BCD的度数．
【解答】解：∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ACD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝×（180°﹣50°）＝65°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝65°﹣40°＝25°．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．
12．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，连接CD，若△BCD的面积为8，则△ABC的面积为（ ）
A．12B．16C．18D．20
【分析】延长AD交BC于E，判定△ABD≌△EBD（ASA），推出AD＝DE，得到△ABD的面积＝△EBD的面积，△ADC的面积＝△EDC的面积，因此S△ABC＝2S△DBC＝2×8＝16．
【解答】解：延长AD交BC于E，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
∵AD⊥BD于点D，
∴∠ADB＝∠EDB＝90°，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD＝DE，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积，△ADC的面积＝△EDC的面积，
∴S△ABC＝2S△DBC＝2×8＝16．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的定义，关键是判定△ABD≌△EBD（ASA），推出AD＝DE．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）如图是一副三角板拼成的图形，则∠DEB的度数为 75° ．
【分析】根据三角形的外角性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵一副三角板拼成的图形，
∴∠A＝60°，∠DCB＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AED＝∠A+∠ACD＝60°+45°＝105°，
∴∠DEB＝180°﹣105°＝75°，
故答案为：75°
【点评】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角得出角的度数．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是 6 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质，即可求得DE的长，继而求得三角形面积．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝DC＝2，
∵AB＝6，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝×6×2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线性质得出DE＝CD是关键．
15．（3分）如图，△ABC中，DE垂直平分BC，若AB＝8，AC＝10，则△ABD的周长是 18 ．
【分析】由线段垂直平分线的性质推出CD＝BD，得到△ABD的周长＝AB+AC＝8+10＝18．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴CD＝BD，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC＝8+10＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出CD＝BD．
16．（3分）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②AD＝AE＝EC；③∠BCE+∠BCD＝∠ABC+∠AEC；④BD+BE＝2BF．其中正确的是 ①②③④ ．（只填序号）
【分析】根据全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，逐一进行判断即可．
【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴①正确；
②∵BC＝BD，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC，∠BEA＝∠BAE，
∵∠CBE＝∠ABE，
∴∠BCD＝∠BEA，
∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC，
∴②正确；
③∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC，∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠ADE＝∠AED＝∠BDC，
∵BC＝BD，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ADE＝∠AED，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BAD＝∠BEC，
∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝∠BCD+∠BAD＝180°﹣∠ABC，
∴∠ABC+∠AEC＝∠ABC+180°﹣∠ABC＝180°，
∴∠BCE+∠BCD＝∠ABC+∠AEC，
∴③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，
∵E是∠ABC平分线BD上的点，EF⊥AB，
∴EF＝EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），
∴AF＝CG，
∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF，
∵BD＝BC，BE＝BA，
∴BD+BE＝2BF，
∴④正确，
综上所述，正确的结论是①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练证明三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
三、解答题（每小题6分，共18分）
17．（6分）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且a+2b﹣c＝13，2a＝c+3，求三角形的三边长．
【分析】根据已知条件列出关于a，b，c的方程组，然后利用加减和代入消元法解方程组即可．
【解答】解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，
∴a+b+c＝30，
∴，
①+②得：2a+3b＝43④，
把③代入④得：c+3b＝40⑤，
①﹣②得：﹣b+2c＝17⑥，
⑥×3得：﹣3b+6c＝51⑦，
⑤+⑦得：c＝13，
把c＝13代入③得：a＝8，
把a＝8，c＝13代入①得：b＝9，
∴方程组的解为：，
∴三角形的三边长分别为8，9，13．
【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减和代入消元法解三元一次方程组．
18．（6分）如图，DE∥AB，∠D＝∠A，BF＝CF，求证：DF＝AC．
【分析】由DE∥AB，得∠E＝∠ABC，由BE＝CF，推导出EF＝BC，而∠D＝∠A，即可根据“AAS”证明△DEF≌△ABC，则DF＝AC．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠E＝∠ABC，
∵BE＝CF，
∴BE+BF＝CF+BF，
∴EF＝BC，
在△DEF和△ABC中，
，
∴△DEF≌△ABC（AAS），
∴DF＝AC．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠E＝∠ABC，EF＝BC，进而证明△DEF≌△ABC是解题的关键．
19．（6分）如图，△ABC在平面直角坐标系中．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A、点C的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，A（﹣5，2），C（﹣2，﹣4）．
（3）△A1B1C1的面积为＝28﹣9﹣4＝15．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
四、解答题（每小题7分，共14分）
20．（7分）如图，△ABC与△EFG中，AB＝EF，BC＝FG，AD∥BC于点D，EH⊥FG于点H，且AD＝EH．
求证：AC＝EG．
【分析】由AD⊥BC于点D，EH⊥FG于点H，得∠ADB＝∠EHF＝90°，而AB＝EF，AD＝EH，即可根据“HL”证明Rt△ABD≌Rt△EFH，得∠B＝∠F，而BC＝FG，再根据“SAS”证明△ABC≌△EFG，则AC＝EG．
【解答】证明：∵AD⊥BC于点D，EH⊥FG于点H，
∴∠ADB＝∠EHF＝90°，
在Rt△ABD和Rt△EFH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EFH（HL），
∴∠B＝∠F，
在△ABC和△EFG中，
，
∴△ABC≌△EFG（SAS），
∴AC＝EG．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明Rt△ABD≌Rt△EFH及△ABC≌△EFG是解题的关键．
21．（7分）把一段长为18cm的细铁丝围成一个三角形，其中两边的长分别是x cm和4cm．
（1）求x的取值范围；
（2）若围成的三角形是等腰三角形，求x的值．
【分析】（1）利用三角形的三边关系知18﹣4﹣x﹣4＜x＜18﹣4﹣x+4，据此可以求得x的取值范围；
（2）分类讨论：x为底和x为腰两种情况下的x的值．
【解答】解：（1）∵该三角形的周长是18cm，其中两段长分别为x cm和4cm，
∴第三边的长度是18﹣4﹣x＝（14﹣x）（cm）．
∴14﹣x﹣4＜x＜14﹣x+4，即10﹣x＜x＜18﹣x，解得5＜x＜9，
∴x的取值范围是：5＜x＜9；
（2）①当边长为x cm的边为等腰三角形的底时，x+4+4＝18，
解得，x＝10，
∵10＞8，
∴x＝10，不合题意，舍去．
②当边长为4cm的边为等腰三角形的底时，2x+4＝18，
解得，x＝7．
综上所述，x的值是7．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形．解答（2）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解．
五、解答题（每小题8分，共16分）
22．（8分）如图，∠MON＝32°，点A在ON上，BC垂直平分OA分别交OM、ON于点B、C．点D在射线OM上，不与点O、B重合，当△ABD是等腰三角形时，求∠OAD的度数．
【分析】由线段垂直平分线的性质推出OB＝AB，由等腰三角形的性质得到∠BAO＝∠MON＝32°，由三角形的外角性质得到∠ABD＝64°．当BD＝DA时，得到∠BAD＝∠ABD＝64°，求出∠OAD＝96°；当BD＝AB时，得到∠BAD＝∠ADB＝58°，求出∠OAD＝90°；当AB＝AD时，得到∠ADB＝∠ABD＝64°，由三角形内角和定理求出∠OAD＝1＝84°，即可得到∠OAD的度数．
【解答】解：∵BC垂直平分OA，
∴OB＝AB，
∴∠BAO＝∠MON＝32°，
∴∠ABD＝∠MON+∠BAO＝64°，
由题意知D在OB的延长线上，
当BD＝DA时，
∴∠BAD＝∠ABD＝64°，
∴∠OAD＝∠BAO+∠BAD＝32°+64°＝96°；
当BD＝AB时，
∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣64°）＝58°，
∴∠OAD＝∠BAO+∠BAD＝32°+58°＝90°；
当AB＝AD时，
∴∠ADB＝∠ABD＝64°，
∴∠OAD＝180°﹣∠MON﹣∠ADB＝180°﹣32°﹣64°＝84°，
∴∠OAD的度数是96°或90°或84°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，关键是要分三种情况讨论．
23．（8分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，延长CB至E，使DE＝CD，过点E作EF∥AB、EG∥AC分别交直线AD于点F、G．求证：AD＝DG，EF＝AC．
【分析】由EG∥AC，得∠C＝∠DEG，∠G＝∠CAD，而CD＝ED，∠ADC＝∠GDE，即可根据“ASA”证明△ADC≌△GDE，则AD＝DG；由EF∥AB，得∠F＝∠BAD，因为∠BAD＝∠CAD，所以∠F＝∠G，则EF＝GE，而AC＝GE，所以EF＝AC．
【解答】证明：∵EG∥AC，
∴∠C＝∠DEG，∠G＝∠CAD，
在△ADC和△GDE中，
，
∴△ADC≌△GDE（ASA），
∴AD＝DG；
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠F＝∠G，
∴EF＝GE，
∵AC＝GE，
∴EF＝AC．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证明△ADC≌△GDE是解题的关键．
六、解答题（每小题12分，共24分）
24．（12分）如图，△ABC中，点D、E在BC边所在的直线上，AB＝BD，AC＝CE．
（1）如图1，点D、E都在△ABC外，若∠ABC＝60°，∠ACB＝44°，则∠DAE的度数为 128° ；
（2）如图2，点D、E都在BC边上．
①若∠BAC＝86°，则∠DAE的度数为 47° ；
②若AB＝5，AC＝7，BC＝8，则DE的长为 4 ；
（2）如图3，点E在BC边上，点D在CB的延长线上．
①猜想并直接写出线段AB、BC、AC与DE的数量关系： AB+BC＝DE+AC ；
②猜想∠DAE与∠BAC的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）求出∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝76°，由AB＝BD，AC＝CE，知∠D＝∠BAD＝∠ABC＝30°，∠E＝∠CAE＝∠ACB＝22°，故∠DAE＝∠BAD+∠BAC+∠CAE＝30°+76°+22°＝128°，
（2）①求出∠B+∠C＝180°﹣86°＝94°，由AB＝BD，AC＝CE，可得∠BAD+∠CAE＝+＝＝133°，即∠BAC+∠DAE＝133°，故∠DAE＝133°﹣∠BAC＝133°﹣86°＝47°；
②由AB＝5，AC＝7，AB＝BD，AC＝CE，可得BE+DE+CD+DE＝12，即BC+DE＝12，从而DE＝4；
（3）①由BD+BC＝CD＝DE+CE，AB＝BD，AC＝CE，可得AB+BC＝DE+AC，
②求出∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝∠D+∠BAE，∠BAC＝∠CAE+∠BAE，可得∠BAC﹣∠DAE＝∠CAE+∠BAE﹣（∠D+∠BAE）＝∠CAE﹣∠D＝∠CEA﹣∠D＝∠DAE，故∠BAC＝2∠DAE．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，∠ACB＝44°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝76°，
∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠D＝∠BAD＝∠ABC＝30°，∠E＝∠CAE＝∠ACB＝22°，
∴∠DAE＝∠BAD+∠BAC+∠CAE＝30°+76°+22°＝128°，
故答案为：128°；
（2）①∵∠BAC＝86°，
∴∠B+∠C＝180°﹣86°＝94°，
∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠ADB＝，∠AEC＝∠CAE＝，
∴∠BAD+∠CAE＝+＝＝133°，
即∠BAE+∠DAE+∠CAD+∠DAE＝133°，
∴∠BAC+∠DAE＝133°，
∴∠DAE＝133°﹣∠BAC＝133°﹣86°＝47°；
②∵AB＝5，AC＝7，AB＝BD，AC＝CE，
∴BD＝5，CE＝7，
∴BD+CE＝12，即BE+DE+CD+DE＝12，
∴BC+DE＝12，
∵BC＝8，
∴DE＝4；
故答案为：4；
（3）①∵BD+BC＝CD＝DE+CE，AB＝BD，AC＝CE，
∴AB+BC＝DE+AC，
故答案为：AB+BC＝DE+AC；
②∠BAC＝2∠DAE，理由如下：
∵AB＝BD，
∴∠D＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝∠D+∠BAE，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∵∠BAC＝∠CAE+∠BAE，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠CAE+∠BAE﹣（∠D+∠BAE）＝∠CAE﹣∠D＝∠CEA﹣∠D＝∠DAE，
∴∠BAC＝2∠DAE．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及等腰三角形的性质及应用，角的和差，线段的和差，三角形内角和定理及应用等知识，解题的关键是掌握，角的和差，线段的和差．
25．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线1过点A，BD⊥1，CE⊥1，垂足分别是D、E．
（1）求证：CE＝AD．
（2）延长BD至G，以AG为一边作△AFG，使得∠GAF＝90°，AF＝AG，连接CF交直线1于点O．
①求证：OC＝OF；
②猜想并直接写出线段BD、DG、OE之间的数量关系．
【分析】（1）证明△ACE≌△BAD（AAS），可得CE＝AD；
（2）①过F作FK⊥直线l于K，同（1）可证△AFK≌△GAD（AAS），得FK＝AD，可得FK＝CE，即可证△FOK≌△COE（AAS），从而OC＝OF；
②由①知OK＝OE，AK＝DG，EK＝2OE，故AE＝DG+2OE，而AE＝BD，可得BD＝DG+2OE．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠BAD，
∵BD⊥1，
∴∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵∠CEA＝90°＝∠ADB，AC＝AB，
∴△ACE≌△BAD（AAS），
∴CE＝AD；
（2）①证明：过F作FK⊥直线l于K，如图：
同（1）可得△AFK≌△GAD（AAS），
∴FK＝AD，
由（1）知CE＝AD，
∴FK＝CE，
∵∠FOK＝∠COE，∠FKO＝90°＝∠CEO，
∴△FOK≌△COE（AAS），
∴OC＝OF；
②解：BD＝DG+2OE，理由如下：
由①知△FOK≌△COE，△AFK≌△GAD，
∴OK＝OE，AK＝DG，
∴EK＝2OE，
∵AE＝AK+EK，
∴AE＝DG+2OE，
由（1）知△ACE≌△BAD，
∴AE＝BD，
∴BD＝DG+2OE．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，线段的和差等，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理。