浙江省温州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，，则集合可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分析可知，结合选项即可判断.
【详解】因为，则，
且集合，，所以，
结合选项可知ABC错误，D正确.
故选：D.
2. 已知，和是方程的两根，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，进而可得，即可得结果.
【详解】由题意可知：，则，
又因为方程的两根为1，2，
则，解得，
所以
故选：C.
3. “，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，或D. ，且
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可判断.
【详解】“，”的否定是“，或”.
故选：C.
4. 以下可能是函数的图像的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，再分析与1的大小关系判断即可.
【详解】因为，故为奇函数，排除B,D；
又，排除C.
故选：A
5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据，展开根据基本不等式求解即可.
【详解】由题意，
，当且仅当，即时取等号.
故选：B
6. 一个质量为的物体在空气中以初始速率落下，假设空气阻力大小与物体的速率满足（为正常数）可求得在时刻物体的速率，其中自然常数，为重力加速度的大小，按照此模型，可推得（ ）
A. 当时，随着变大，物体速率减小，但始终大于
B. 当时，随䒴变大，物体速率增大，且始终大于
C. 当时，随着变大，物体速率减小，且始终小于
D. 当时，随着变大，物体速率增大，最终会等于
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目条件，结合指数型复合函数的单调性，判断关于的变化情况即可.
【详解】时，由，可得，故恒成立，
又，，由指数型复合函数的单调性，关于是单调递减函数，
于是随着变大，物体速率减小，A正确B错误；
时，由，可得，故恒成立，
又，由指数型复合函数的单调性，关于是单调递增函数，
于是随着变大，物体速率变大，CD均错误；
故选：A.
7. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分析每一段函数的单调性，并且在分段点处也要满足单调性要求，即可求出结果.
【详解】当，，令，
则，根据复合函数的单调性得到在1,+∞上单调递增，
所以对称轴，即，
此时最小值点，解得，
所以；
当，，因为在上单调递增，
令，则，
根据复合函数的单调性得到在1,+∞上单调递减，
所以对称轴，即，
此时最大值点，解得，
所以；
综上，的取值范围是，
故选：A.
8. 已知函数的定义域为R，，函数是奇函数，的图象关于直线对称，则（ ）
A. 是偶函数B. fx−1是奇函数
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用题目所给条件，确定函数图像的对称性，代入可求出的对称轴，对称中心和周期.
【详解】由为奇函数，，可得，即函数图象关于对称，；
由关于对称，得，即，的图象关于点中心对称；
结合条件关于直线对称，，
可以得出.
对于选项A，已知条件不足以确定的奇偶性，A选项错误；
对于选项B，的图象可以由的图象向右平移一个单位得到，故对称中心为，是奇函数，B选项正确；
对于选项C，由已知只能得到，不能确定的取值，C选项错误；
对于D选项，，D选项错误.
故选：B
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分）
9. 已知，，则（ ）
A. 的最小值是4B. 的最小值是1
C. 的最大值是8D. 的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】通过不等式性质来分别分析每个选项中的表达式的取值范围即可得到结果.
【详解】对于A，，则，又，
所以，所以的最小值是5，故该选项错误；
对于B，，则，又，
所以，所以的最小值是1，该选项正确；
对于C，因为，，所以，即，
所以的最大值是8，该选项正确；
对于D，，则，又，所以，
所以，所以的最大值是，该选项正确；
故选：BCD.
10. 下列为真命题的是（ ）
A. 函数的最小值为2B. 函数的最小值为3
C. 函数的最大值为1D. 函数的最小值为2
【答案】BC
【解析】
分析】对于A：举反例说明即可；对于B：利用基本不等式运算求解即可；对于C：根据函数单调性分析判断；对于D：换元令，结合对勾函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：令，则，可知函数的最小值不为2，故A错误；
对于选项B：因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为3，故B正确；
对于选项C：因为在内单调递增，
可知函数在内单调递增，且当时，，
所以函数的最大值为1，故C正确；
对于选项D：令，可得，
可知在内单调递增，且当时，，
所以函数的最小值为，故D错误；
故选：BC.
11. 设常数，函数，则（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 当时，y=fx的图像关于直线对称
C. 对任意，y=fx的图像是中心对称图形
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，根据指数函数的单调性判断即可；对B，判断是否成立即可；对C，求解为定值判断即可；对D，根据的单调性与对称性判断即可.
【详解】对A，因为为减函数，为增函数，为增函数，
故为减函数，故A正确；
对B，当时，，
，
故y=fx的图像关于1,0对称，故B错误；
对C，因为，
故对于任意，y=fx的图像关于对称，故C正确；
对D，由C可知，
故即，
又y=fx为减函数，故，即，故D正确.
故选：ACD
三、填空题（本大题共3小题，每空5分，共15分）
12. 已知幂函数的图像经过第二象限，且在区间上单调递减，则一个符合要求的______.
【答案】（答案不唯一，符合题意即可）
【解析】
【分析】举例，根据幂函数的性质分析判断即可.
【详解】例如，可知的定义域为，且，
所以幂函数的图像经过第二象限，且在区间上单调递减，符合题意.
故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）.
13. ______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据指对数的运算求解即可.
【详解】
.
故答案为：6
14. 设常数，若存在且，使得，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先去绝对值讨论的值，再讨论与两种情况满足的不等式，再求解不等式即可.
【详解】由题意，若成立，则：
当时有解，或当时有解.
即当时有解，或当时有解.
①当时，无解，此时，，不满足；
②当时，无解，此时，，不满足；
故，则当时有解，或当时有解.
故或，即或，
即或.
求解可得或；
求解可得或；
综上有的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛： （1）观察到等式两边有相似的式子，考虑分情况讨论去绝对值； （2）先根据分式的值域考虑参数的特殊取值，再分析一般情况并根据题意列出不等式求解范围.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 设集合，.
（1）求集合；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据题意求出集合的取值范围，再根据集合的运算可求出结果；
（2）根据条件得到是的真子集，即可求得取值范围.
【小问1详解】
对于集合，可得，解得，所以，
对于集合，可得，即，，
解得，所以，
所以或，
则；
【小问2详解】
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，
当时，此时解集为空集，满足题意；
当时，，即，
因为是的真子集，
所以，解得，所以，
综上实数的取值范围为.
16. 定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，.
（1）求证：是奇函数；
（2）判断的正负，并说明理由.
【答案】（1）证明见详解
（2），理由见详解
【解析】
【分析】（1）通过赋值，得，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明；
（2）根据题意结合奇函数性质运算求解即可.
【小问1详解】
因为函数的定义域为−1,1，
令，得，即，
令，可得，即，
所以在−1,1上为奇函数.
【小问2详解】
，理由如下：
因在−1,1上为奇函数，
则，
当时，，即，
所以.
17. 常数，函数
（1）若，解关于的不等式；
（2）若，存在，对任意，恒成立，求的最小值.
【答案】（1）答案见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，分类讨论两根大小，结合二次不等式的解法可得所求解集；
（2）分析可知存在，对恒成立，可得，根据函数单调性以及恒成立问题运算求解.
【小问1详解】
若，则，
令，解得或，
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
【小问2详解】
因为时，恒成立，
等价于对恒成立，
即存在实数m，使得对恒成立，
可知，
当时，由在内单调递减，
当时，，当时，，
则，解得，
所以的最小值为.
18. 设常数，已知
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）当时，求解集；
（3）若存在，使成立，求实数的最小值.
【答案】（1）（或）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分析可知为偶函数，根据单调性的定义以及偶函数的对称性求单调区间；
（2）根据题意整理可得，结合指数函数单调性解不等式即可；
（3）换元令，原题意等价于在内有解，利用基本不等式结合存在性问题运算求解即可.
【小问1详解】
若，则的定义域为R，
且，可知为偶函数，
设，且，
则，
因为，则，，则，
可得，即，
所以函数在内单调递增，
结合偶函数对称性可知：函数在内单调递减，
所以函数的单调递增区间为（或0,+∞）.
【小问2详解】
若，则，
因为，即，
整理可得，则，解得，
所以的解集为.
【小问3详解】
因为，即，
令，由（1）可知：，
则，，
可得，即，
原题意等价于在内有解，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
则，可得，解得，
所以实数的最小值.
19. 设，对一般的函数，定义集合所含元素个数为的“等值点数”，记为.现已知函数，，常数.
（1）求的最大值；
（2）对函数，当时，，求的取值范围；
（3）设函数，若的最大值为3，求的取值范围.
【答案】（1）3 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过和两类情况讨论，借助一元二次方程根的分布即可求解；
（2）参变分离结合对勾函数图像即可求解；
（3）通过，，，，五种情况讨论即可.
【小问1详解】
当时，单调递增，此时；
当时，，设，则，
在时，单调递减，
在时，单调递增，
故当时，单调递增，，
当时，单调递减，，
因此关于的根的分布如下：
①当时，恰有一个根；
②当，恰有两根，，；
③当，恰有3个根，，，
④当时，恰有2个根；
⑤当时，恰有1个根.
故当时，取到最大值3.
【小问2详解】
即当时，有1个解，参变分离得：
，由函数的图像，
可得：
【小问3详解】
设，则，其中的根的分布同（1），
接下来解方程注意，
①当时，在上单调递增，且，故，不符合题意；
②当时，在上单调递减，且，故，不符合题意；
③当时，，在上单调递减，上单调递增，
，故，不符合题意；
④当时，在时单调递减，在上单调递增，且，，
此时取，则的三个根恰一一对应的三个根，且没有其他根，
故此时，而对的其它取值，，故的最大值为3；
⑤当时，在上单调递增，，，
故只需保证当时，的三个根落在的值域中，即，解得：，符合题意；
综上所述，当且仅当时，的最大值为3.
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题求解.