浙江省温州市某校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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1．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第一部分（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用化简
【详解】因为，所以即
又因且
所以=
故选：D
2. 函数的零点是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解方程，即可得出答案.
【详解】解方程，即，
解得或，因此，函数的零点为.
故选：.
3. 已知函数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，换元得到，计算最小值得到答案.
【详解】，设
故 ，即当时，有最小值
故选：
【点睛】本题考查了换元法求解析式，函数的最小值，换元法忽略定义域是容易发生的错误.
4. 设正实数，，分别满足，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别作出函数，，图像，根据三个图像分别与函数图像交点情况比较大小.
【详解】由，
得，，，
分别作函数，，图像，如图所示，
它们与函数图像交点的横坐标分别为，，，
有图像可得，
故选：C.
5. 设集合，，则的元素个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集以及指数函数、二次函数图象等知识确定正确答案.
【详解】如图，集合为函数图象的点集，集合为函数图象的点集，
两函数的图象有三个交点，所以的元素个数为个.
故选：C

6. 若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意函数与轴只有一个交点，即即可解得.
【详解】解：依题意，函数只有一个零点，
即方程有两个相等的实数根，
即解，即
故选：
【点睛】本题考查函数的零点问题，二次函数的性质，属于基础题.
7. 一个39位整数的64次方根仍是整数，这个64次方根是（ ）（参考数据：，）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意设这个39位数为，这个数的64次方根为，也即，两边同时取对数，然后计算与参考数据比较即可求出结果.
【详解】设设这个39位数为，这个数的64次方根为，
所以，两边同时取以10为底的对数可得：，
所以，因为，
所以，
也即，
因为，，所以，
所以，
故选：C.
8. 设函数，若关于的方程 有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数的图象，及直线，由图象知，，求出，代入后利用函数单调性可得结论．
【详解】如图，作出函数有图象，再作直线，时，满足题意，
由图知，，∴，即，
由得，因此，
，易知函数在时是增函数，
所以，
故选：D．

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列选项中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由，可得：；；；，即可判断出正误．
【详解】解：，
，因此A正确；
，因此B不正确；
，，解得，因此C不正确；
，因此D正确．
故选：AD．
10. 下列为真命题的是（ ）
A. 函数的最小值为2B. 函数的最小值为3
C. 函数的最大值为1D. 函数的最小值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：利用基本不等式运算求解即可；对于C：根据函数单调性分析判断；对于D：换元令，结合对勾函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：令，则，可知函数的最小值不为2，故A错误；
对于选项B：因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为3，故B正确；
对于选项C：因为在内单调递增，
可知函数在内单调递增，且当时，，
所以函数的最大值为1，故C正确；
对于选项D：令，可得，
可知在内单调递增，且当时，，
所以函数最小值为，故D错误；
故选：BC.
11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与y＝2相交．函数．下列关于函数的判断正确的有（ ）
A. 函数是偶函数
B. 函数在单调递减
C. 函数的最大值为2
D. 方程恰有两根
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先根据函数性质确定函数的解析式，再画出函数的解析式，结合选项，即可判断.
【详解】由条件可知，，当趋向正无穷时，趋向b，所以，
则，即，
令，即，得，
如图，画出函数的图象，

函数是偶函数，在区间单调递减，当时，函数取得最大值2，
，无实数根，故ABC正确，D错误.
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据指对数的运算求解即可.
【详解】
.
故答案为：6
13. 若，则__________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据解析式直接计算即可.
【详解】因，所以.
故答案为：.
14. 已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】画出的图象，结合的零点个数以及函数的图象，令，分类讨论方程
的解的情况，根据根的分布可求实数的取值范围.
【详解】作出函数的图象，如图所示：

令，
则当时，方程无解；
当时，方程有个实数解；
当时，方程有个实数解；
当时，方程有个实数解.
因为有3个不同的零点，
则关于的方程有解，
设此关于的方程的解为、，不妨设，
由题设可得关于的方程和共有3个不同的解，
可分为以下几类情况：
（1）当方程有两个相等的实数根，即时，
且有个实数根.
此时，由，
解得，
当时，，
由函数图象可知，无解，
即函数无零点，故不合题意；
当时，，
由函数图象可知，函数的图象与直线有两个交点，
即函数有个零点，也不合题意；
（2）当方程有两个不等的实数根，即时，
此时，由，
解得，或，
设，
①关于的方程没有实数根，且方程有个实数根.
由没有实数根，得，有个实数根，得，
即二次方程一根在，另一根在，
由二次函数的图象开口向上，结合图象可得，

解得，
满足，则满足题意；
②关于的方程有个实数根，且方程有个实数根.
由方程有个实数根，得，
方程有个实数根，得，
即二次方程一根为，另一根在，
则，解得，
此时，方程为，解得，不合题意.
综上所述，函数的零点个数为，则的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】复合函数零点个数问题的求解方法：即求解关于的方程根的个数，在解此类问题时，一般通过整体换元法，将复合函数的零点问题转化为两个方程问题结合图象分析.令，一是分析关于的方程的根的情况；二是分析关于的方程的解的情况.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. 已知，用a，b表示．
【答案】
【解析】
【分析】由指数与对数运算的关系可得，再由对数运算的运算法则及换底公式运算即可得解.
【详解】，，
利用对数运算的运算法则及换底公式可得
16. 已知函数（，且）的图象过定点.
（1）求的坐标；
（2）若在上的图象始终在直线的下方，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对数函数恒过定点即可求解；
（2）分和两种情况进行讨论即可求解.
【小问1详解】
令，则，所以的坐标为.
小问2详解】
当时，，当时，.
当时，在上单调递增，则，得.
当时，在上单调递减，恒成立.
故的取值范围为.
17. 已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.
（1）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）求函数，的最小值.
【答案】（1）在单调递增，证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性得到关系式，结合题干中的条件，解出函数的解析式，得出函数的单调性，利用单调性的定义证明即可；
（2）求出函数的解析式，结合换元法及二次函数的性质，分类讨论求解最小值.
【小问1详解】
定义在R上的奇函数和偶函数，则，
∵①，
∴，即②，
联立①②解得: ，
在上单调递增，证明如下:
设，且，
，
，，
，即，
在单调递增.
【小问2详解】
，
令，可知时单调递增，则，
，
令，
当，即时，在时单调递增，则；
当，即时，在时单调递减，在时单调递增，
则；
当，即时，在时单调递减，则；
综上，当时，的最小值为0；
当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
18. 定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，.
（1）求证：是奇函数；
（2）判断的正负，并说明理由.
【答案】（1）证明见详解
（2），理由见详解
【解析】
【分析】（1）通过赋值，得，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明；
（2）根据题意结合奇函数性质运算求解即可.
【小问1详解】
因为函数的定义域为，
令，得，即，
令，可得，即，
所以在上为奇函数.
【小问2详解】
，理由如下：
因为在上为奇函数，
则，
当时，，即，
所以.
19. 记为为不超过m的最大整数，设函数（且），求的值域.
【答案】.
【解析】
【分析】根据奇函数性质以及指数函数性质得的取值范围是，进一步分类讨论即可得解.
【详解】设，
则.
因为.
所以.
因，所以，所以.故.
①当时，.
②当时，，，，
因此.
③当时，，，，
因此.
综上，的值域为.