专题06 三角形、全等三角形-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（广东专用）

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与三角形有关的线段
1．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）下列说法正确的有（ ）
①三角形的三条高在三角形内部；
②以三角形的顶点为端点，且平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；
③三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形；
④三角形的三条角平分线和三条中线在三角形内部或外部．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的高线、角平分线、中线，根据三角形高线、角平分线和中线的定义和特点进行判断即可．
【详解】解：锐角三角形的三条高在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故①错误；
三角形的角平分线是线段，而不是射线，故②错误；
由三角形的中线分得的两个三角形等底同高，故分得的两个三角形的面积相等，故③正确；
三角形的三条角平分线和三条中线都在三角形的内部，故④错误；
综上分析可知，正确的有1个．
故选：A．
2．（23-24八年级上·广东东莞·期末）下列各组数为线段的长，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．1，1，3C．3，2，7D．4，4，6
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、，故1，2，3不能组成三角形，不符合题意；
B、，故1，1，3不能组成三角形，不符合题意；
C、，故3，2，7不能组成三角形，不符合题意；
D、，故4，4，6能组成三角形，符合题意；
故选：D．
3．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵的周长比的周长大，
∴，
则，
∵，
∴，
故选：D．
4．（22-23八年级上·广东珠海·期末）如图，若的面积为，是的中线，是的中线，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线有关知识，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．熟知三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解决本题的关键．
【详解】解：∵是的中线，的面积为，
∴的面积为，
∵是的中线，
∴的面积为．
故选：B．
5．（22-23八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，是角平分线，是高，已知，，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和定理可求解的大小，再利用角平分线的定义可求解的度数，由三角形的高线可得，利用三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理的应用，三角形的高线的含义，求解，的度数是解题的关键．
角平分线的性质问题
6．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④．
其中正确的结论有（ ）

A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、垂直平分线的性质、角平分线的判定、含角的直角三角形的特征，利用垂直平分线的性质及可得，进而可得，则可判断①，根据垂直平分线的性质及含角的直角三角形的特征可判断②，根据全等三角形的性质得，再根据含角的直角三角形的特征得，由可判断③，根据垂直平分线的性质得，再根据全等三角形的性质得，进而可判断④，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】解：在中，，
，
，
垂直平分，
，，
，
在和中，
，
，
，
平分，故①正确；
，，
，故②正确；
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，即：，
，
，故③错误；
垂直平分，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有3个，
故选B．
7．（20-21八年级下·广东茂名·期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∠ABC的角平分线与线段AC相交于点D，若CD＝8，则AD的长（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=30°，根据等腰三角形的性质求出BD，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，
则∠ABC=90°-30°=60°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠C=∠CBD，
∴BD=CD=8，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=8，
∴AD=BD=4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，等腰三角形的判定，掌握30°的角对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
8．（21-22八年级上·广东揭阳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于G，交AB、AC于点F、H，GM⊥BC于M．下列结论：①∠DGM＝∠E；②2∠ADE＝∠ACE+∠B；③∠DAC＝∠EGM﹣∠B；④∠E＝∠ACB﹣∠B．其中正确的结论个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据垂直的定义得到∠DGM+∠EGM＝90°，∠E+∠EGM＝90°，即可判断①；利用三角形的外角性质判断②；推出∠EGM＝∠ADC，结合三角形的外角性质证得③正确；由∠ACB＞∠EHC，得到∠ACB＞∠B+∠E，即可判断④．
【详解】解：∵AD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DAC，
∵AD⊥EF，
∴∠AGF＝∠AGH＝90°，
∴∠AFG+∠BAD＝90°，∠AHG+∠DAC＝90°，
∴∠AFG＝∠AHG，
∵GM⊥BE．AD⊥EF，
∴∠GME＝∠DGE＝90°，
∴∠DGM+∠EGM＝90°，∠E+∠EGM＝90°，
∴∠DGM＝∠E，故①正确，
∵∠ACE+∠B＝∠B+∠BAC+∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠ACE+∠B＝2（∠B+∠BAD）＝2∠ADC，故②正确，
∵∠EGM+∠DGM＝90°，∠DGM+∠GDM＝90°，
∴∠EGM＝∠ADC，
∵∠DAC＝∠DAB＝∠ADC﹣∠B，
∴∠DAC＝∠EGM﹣∠B，故③正确，
∵∠B+∠E＝∠AFH＝∠AHF，∠ACB＞∠EHC，∠EHC＝∠AHF＝∠AFH，
∴∠ACB＞∠B+∠E，
∴∠ACB﹣∠B＞∠E，故④错误，
故选：B．
．
【点睛】此题考查了三角形的角平分线的定义，三角形外角的性质，正确掌握知识点并能结合图形进行推理论证是解题的关键．
9．（21-22八年级上·广东广州·期末）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【答案】见详解．
【分析】根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．
【详解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键．
10．（21-22八年级上·广东广州·期末）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
(1)如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
(2)如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
(3)如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
【答案】(1)115°
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和先求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分的定义求出∠OBC与∠OCB的和即可解答；
（2）根据角平分线的性质定理，想到过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，证出OE=OF即可解答；
（3）根据角平分的定义，角的和差转化即可解答．
【详解】（1）解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OE=OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，OP平分∠ACD，
∴∠ACO=∠ACB，∠ACP=∠ACD，
∴∠OCP=∠ACO+∠ACP
=∠ACB+∠ACD
=∠BCD
=×180°
=90°，
∴OC⊥CP．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义和角平分线的性质定理是解题的关键．
与三角形有关角的问题
11．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D，，分别在，，边上，且，．则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，根据条件证明，得到，再利用三角形的外角性质即可求出答案，正确掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴，
∵
∴，
∴
故选：C．
12．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，点 是 的中点，，则 的度数为 ．
【答案】/35度
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 三角形内角和定理，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出， 根据等边对等角可得出， 根据三角形内角和可得出，最后再利用三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，是 的中点，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：
13．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，，将绕点B逆时针旋转至且点A的对应点D落在延长线上，则 ．
【答案】
【分析】根据三角形外角性质，得，结合旋转性质，得，根据解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
结合旋转性质，得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，三角形外角性质是解题的关键．
14．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F．
(1)求证：；
(2)若恰好平分，，求的长
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的内角和定理．
（1）证明即可得证结论；
（2）由得到，又，从而，因此，再由，即可证明，进而得到，．
【详解】（1）证明：∵是边上的高，
∴．
在和中
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，是上的一点，是上的一点，相交于点，，，．求：
(1)的度数；
(2)的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，准确识别图形是解此题的关键．
（1）根据三角形外角的定义及性质计算即可得出答案；
（2）根据三角形内角和定理计算即可得出答案．
【详解】（1）解：是的一个外角，
，
，，
；
（2）解：，，，
．
全等三角形的性质

16．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图，，点在边上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形性质，等腰三角形性质及判定．根据题意由全等可知，，再利用等腰三角形性质即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
17．（22-23八年级上·广东东莞·期末）如图，，，，垂足分别为点E，F，，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质并准确识图判断出对应角是解题的关键．
依据直角三角形两锐角互余，即可得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等，即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴中，，
又∵，
∴，
故选：A．
18．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在中由三角形内角和可求出，由全等三角形对应角相等可得结果．
【详解】解∶在中，，
∵
∴
又∵，
∴
故选A．
【点睛】本题考查三角形内角和与全等三角形的性质，熟记相应的概念是解题的关键．
19．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，已知，，，，则 ．
【答案】/100度
【分析】根据全等三角形的性质可得，再求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】，
，
，，
，
．
故答案为：
20．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，，点D在边上，，和相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：
（1）根据全等三角形的判定即可判断；
（2）由（1）可知：，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵和相交于点O，
∴．
又∵在和中，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴．
添加条件使三角形全等
21．（23-24八年级上·广东云浮·期末）如图，是和的平分线，，添加下列一个条件后，依然不能证明的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解；由题意得，，，
A、添加条件，结合条件，，可以利用，证明，故A不符合题意；
B、添加条件，结合条件，，可以利用，证明，故B不符合题意；
C、添加条件，结合条件，，不可以利用，证明，故C符合题意；
D、添加条件，结合条件，，可以利用，证明，故D不符合题意；
故选C．
22．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，已知，，添加以下条件中，不能使的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法一一判断即可；
【详解】解：A．根据，可以推出，故本选项不符合题意；
B．根据，可以推出，故本选项不符合题意；
C．根据，不能判定三角形全等，故本选项符合题意；
D．根据，可以推出，故本选项不符合题意；
故选：C．
23．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，已知，，添加下列一个条件后，仍然不能证明，这个条件是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本体考查添加条件证明三角形全等，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴要证明，可以利用的方法，需添加的条件为：；
可以利用的方法，需要添加的条件是：；
可以利用的方法，需要添加的条件是：；
当添加条件为时，无法证明；
故选D．
24．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，，，下列选项补充的条件中，能证明的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形全等的判定，根据得到，根据得到，结合三角形全等判定即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
当符合角角边定理，
当，，均不满足三角形全等的判定，
故选：A．
25．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，已知，，请你只添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（填序号）①；②．
【答案】①
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法，注意方法不能判定三角形全等。
【详解】①，
又∵，，
∴，符合题意；
②，
又，，无法判定，不符合题意；
故答案为：①
全等三角形的判定
26．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
（1）由“”可证；
（2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴在与中，
，
；
（2）证明：由（1）知，
，
∵，，
，
在与中，
，
，
，
，
．
27．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，点P是外的一点，平分，于D，且，交的延长线于点B，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)4
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，根据角平分线的性质构造辅助线是解题的关键．
（1）利用线段垂直平分线的性质即可证明；
（2）过点P作，垂足为G，利用角平分线的性质得到，再证明，得到，证明，得到，所以，可得方程，解方程即得答案．
【详解】（1），，
垂直平分，
；
（2）过点P作，垂足为G，
平分，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
28．（21-22八年级上·广东汕尾·期末）如图，，，，，垂足分别为，．
(1)求证：；
(2)试探究线段，，之间有什么样的数量关系，请说明理由．
【答案】(1)见解
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟悉基本几何图形是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等，可证，再利用证明；
（2）由，得，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）解：，理由如下：
，
，．
，
．
29．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，在等边中，线段为边上的中线，，且在下方，点、分别是线段、射线上的动点，且点不与点重合，点不与点重合，．
(1)求的度数；
(2)连接，求证：是等边三角形．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得，再根据即可求解；
（2）先证明，得，，再证，即可证明结论成立
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴；
（2）如图，连接，
∵，，线段为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形
30．（23-24八年级上·广东韶关·期末）如图，和都是等边三角形．
(1)求证；
(2)连接，试判断的形状，并说明理由；
(3)连接，求证．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，再证，即可证明；
（2）根据得出，再证明，推出，结合，可证是等边三角形；
（3）将绕点A顺时针旋转构造等边三角形，作于点M，于点N，根据推出，进而证明，推出，可得H，B，K三点共线，再证，推出，等量代换可得，结合，可证．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
如图，连接，
由（1）得，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
又，
是等边三角形；
（3）解：连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，
则，，
是等边三角形，
，；
，
，即，
又在和中，，
，
，
作于点M，于点N，
，
，即，
，
，
在和中，，
，
，
，
又，
H，B，K三点共线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即，
，
，
，
．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等，第三问有一定难度，通过旋转构造等边三形是解题的关键．
尺规作图（角平分线）
31．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，是等腰直角三角形，．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）所作的图形中，延长至点E，使，连接．请你探究与之间的数量和位置关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)，，证明见解析
【分析】本题考查基本作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质．
（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）证明即可得出结论．
掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
（2）解：，，理由如下：
如图，延长，交于，
∵是等腰直角三角形，
∴
又∵
∴
∴，，
∴，
∴，即．
32．（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，，点E是边中点．
(1)求作射线，使平分，交于D（尺规作图保留痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，证明：．
【答案】(1)作图见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，关键是正确掌握垂直平分线的作法；
（1）首先以C为圆心，小于长为半径画弧，交、于N、M，再分别以N、M为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于Q点，再画射线交于D；
（2）根据三角形内角和定理求出，为的平分线，得，得为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一得结论
【详解】（1）如图所示：为所作的平分线,
（2）如图．连接DE，
，，
为的平分线，
，
，
为等腰三角形，
点E是边中点，
为等腰三角形底边的垂直平分线，
33．（22-23八年级下·广东佛山·期末）尺规作图（保留作图痕迹）
(1)在上找一点P，使点P到和的距离相等；
(2)在射线上找一点Q，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边距离相等作的角平分线交于一点即为所求点；
（2）根据垂直平分线上点到线段两个端点距离相等作的垂直平分线交于一点即为所求点即可得到答案；
【详解】（1）解：根据角平分线上的点到角两边距离相等作的角平分线交于一点即为P点，如图所示，
（2）解：根据垂直平分线上点到线段两个端点距离相等作的垂直平分线交于一点即为Q点，如图所示，
【点睛】本题考查角平分线上的点到角两边距离相等积垂直平分线上点到线段两个端点距离相等，解题的关键是熟练掌握两种线的画法．
34．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，是等腰直角三角形，．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，延长至点E，使，连接．求证：，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用基本尺规作图作角平分线即可；
（2）证明解题即可．
【详解】（1）如图，即为所作，
（2）解：如图，延长，交于，
∵是等腰直角三角形，
∴
又∵
∴
∴，，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查基本作图—作角平分线，三角形全等的判定，解题的关键是掌握用尺规基本作图的步骤．
35．（22-23八年级上·广东江门·期末）如图，中，．
(1)请用尺规作图法，作的角平分线交边于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)如果，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质求出，即可证明，则．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）∴在中，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
全等三角形性质与判定综合
36．（22-23八年级上·广东珠海·期末）如图，等边的边长为，点P从点C出发，以的速度由C向B匀速运动，点Q从点C出发，以的速度由C向A匀速运动，、交于点M，当点Q到达A点时，P、Q两点停止运动，设P、Q两点运动的时间为，若时，则t的值是（ ）．

A．B．4C．D．2
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用方程思想将题中的等量关系转化为方程求解是解答本题的关键，由等边三角形的性质知，，利用可进一步证明，从而得出，根据此等量关系列方程求解即可．
【详解】是等边三角形，
，，
由题意，得：，，
，，
， ，
，
在和中，
，
，
，
，
解得：，
故选：D．
37．（22-23八年级上·广东汕头·期末）如图，和均为等腰直角三角形，且，点、、在同一条线上，平分，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由“”可证，可得，可判断①；由等腰之间三角形的性质可得，，结合全等三角形的性质可求得，可判断②；结合线段的和差关系可判断③；根据三角形的面积公式可判断④；即可求解．
【详解】解：∵和均为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①错误；
∵为等腰直角三角形，平分，
∴，，
∵和均为等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵为等腰直角三角形，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∵和不一定相等，
∴不一定等于，故④错误；
故选：B
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明是解本题的关键．
38．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，点C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下四个结论，①；②；③；④，正确结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①③④
【答案】A
【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是，可以证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，所以①正确，对应角相等可得，然后证明与全等，根据全等三角形对应角相等可得，所以②正确；从而得到是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明，所以④正确，由知，运用三角形内角定理可得，可得，故③正确．
【详解】解：∵等边和等边，
∴，，，
∴，
即，
∴（SAS），
∴，故①正确；
∵（已证），
∴，
∵（已证），
∴，
∴，
∴（ASA），
∴，，故②正确；
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故④正确；
又∵，
∴，
又∵，
，
且，
∴，
∴，故③正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，要多次证明三角形全等，综合性质较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键．
39．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，和是等腰直角三角形，且，交于点F，连接，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．平分D．
【答案】C
【分析】过点A作，证明，利用全等三角形的性质依次判断即可．
【详解】解：∵和是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，，故D正确；
在和中
，
∴，
∴，，故A正确；
∵，
∴，
∴，即，故B正确；
过点A作，
∵，，
∴，
∴，
∴平分，即，
若平分，则，
∴，
∴，
由题意知，不一定等于，
∴不一定平分，故C错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
40．（20-21八年级上·广东深圳·期末）已知如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下四个结论：①AD＝BE；②△CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．③④C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】先由SAS判定△ACD≌△BCE，证得①正确；再由ASA证△ACP≌△BCQ，得到CP＝CQ，②正确，同理证得CM＝CN，得到④正确；易得③不正确．
【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠BCD+∠ECD，∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①正确；
∠CAD＝∠CBE，
∵∠BCA＝∠BCD＝60°，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△CPQ是等边三角形，故②正确；
过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴CM＝CN，
∵CM⊥BE，CN⊥AD，
∴OC平分∠AOE，故④正确；
当AC＝CE时，AP平分∠BAC，
则∠PAC＝30°，此时∠APC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
则AD⊥BC，故③不正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
角平分线的综合性质应用
41．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D，下列四个结论：①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则．正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】此题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
①先由角平分线的定义得，再由得，由此得，进而得，，据此可对结论①进行判断；②先根据角平分线的定义得， ，进而得，然后根据即可对结论②进行判断；③过点O作于M，作于N，连接，根据角平分线的性质得， ，由此可得，据此可对结论③进行判断；④由③得，则，进而得，据此可对结论④进行判断．
【详解】解：在中， 和的平分线相交于点O，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故①正确；
在中，和的平分线相交于点O，
∴， ， ，
∴，
∴；故②正确；
过点O作于M，作于N，连接，
，
在中，是的平分线，是的平分线，
， ，
，
∴点O到各边的距离相等，故③正确．
，
∴，
∴，故④正确；
综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，
故选：D．
42．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（ ）．
A．8B．6C．5D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点到交的两边距离相等是解题的关键．
如图：过点E作交于点F，即为的高，然后根据角平分线的性质可得到，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图：过点E作交于点F，
∵平分，，
∴，
∵，
∴．
故选C．
43．（21-22八年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且，于M．下列说法正确的是（ ）
①；②平分；③；④
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】①根据点B和点C的坐标可得，从而可知是的垂直平分线，可得，再利用等腰三角形的三线合一性质证明，易得，最后利用三角形内角和证明；
②要证明平分，想到利用角平分线性质定理的逆定理，所以过D作于F，只要证明即可，易证，根据全等三角形的性质得到；
③要使，就要使，由②得，而，，由①得，所以只要判断与是否相等即可；
④根据全等三角形的性质得到，易证，得到，由于，，于是得到，求得，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故①正确，
过D作于F，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
故②正确，
③∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③不正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确，
故选D．
44．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．平分D．
【答案】C
【分析】由角平分线的性质可知A正确；由题意可知，故此可知，从而可证明B正确；若平分．则在上，根据已知条件不能确定，故C错误；连接，然后证明，从而得到，从而可证明D．
【详解】解：如图所示：连接．
∵平分，
∴．故A正确．
∵，平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
同理：．
∴．故B正确．
由题意可知：，即平分，
若平分．则在上，
当时，平分，
根据已知条件不能判定平分．故C错误．
∵是的垂直平分线，
∴．
在和中
，
∴．
∴．
∴
又∵，
∴．故D正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
45．（23-24八年级上·广东珠海·期末）如图，中，，，垂足分别为，与相交于点，连接，且平分．
(1)求证：；
(2)若，平分外角，交的延长线于点，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用角平分线上的点到角两端点距离相等可得，由此可得和全等，即可求证；
（2）由可得是等边三角形，由平分外角可得，结合即可求解．
【详解】（1）证明：平分，，，
，，
在和中，
，
（），
；
（2），
，
，
，
，
∴，
，
是等边三角形，
，，
平分外角，
，
，
．
全等三角形压轴问题
46．（23-24八年级上·广东汕头·期末）在等边的顶点，处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由向和由向爬行，经过分钟后，它们分别爬行到，处，请问：

(1)如图1，爬行过程中，和的数量关系是________；
(2)如图2，当蜗牛们分别爬行到线段，的延长线上的，处时，若的延长线与交于点，其他条件不变，蜗牛爬行过程中的大小将会保持不变，请你证明：；
(3)如图3，如果将原题中“由向爬行”改为“沿着线段的延长线爬行，连接交于”，其他条件不变，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
（1）证明，根据全等三角形的性质证明；
（2）根据，得到，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（3）过点作交于，证明，根据全等三角形的性质证明．
【详解】（1）解：，理由如下：
为等边三角形，
，，
由题意得：，
在和中，
，
，
；
（2）证明如下：由（1）可知，
，
，，
；
（3）证明：过点作交于，
，
为等边三角形，
为等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
．
47．（23-24八年级上·广东广州·期末）已知线段和点，，，，，相交于点．
(1)如图1，若点在线段上，
①求证：；
②若，求的度数；
(2)如图2，点是线段上方的一点，且保持，连接，求证：．
【答案】(1)①见详解；②
(2)见详解
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线；
（1）①证，即可证明；
②根据和三角形内角和即可求解；
（2）如图2，连接，在上截取，连接，过点P作证，证出平分，从而得出为等边三角形，再证，得出即可求解；
【详解】（1）①证明: 如图1，
∵，
∴，
即
∴，
∴；
②解：如图1，设与交点为M，
∴；
在和中，
即
即；
（2）如图2，连接，在上截取，连接，过点P作
∵，
∴，
即
∴，

平分，
由（1）知，
为等边三角形，
，
∴
，
∴
∴
48．（23-24八年级上·广东汕头·期末）已知和为等腰三角形，，，，点在上，点在射线上，交于点．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若，点与点重合，求证：；
(3)如图③，若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由等腰三角形性质可得，再由和三角形内角和定理列方程等量代换即可得证；
（2）由，结合等边三角形判定与性质得到，由全等三角形性质，等量代换即可得证；
（3）在 上截取，连接，由可证，可得，，可证，再证，可得，可得结论．
【详解】（1）证明：和为等腰三角形，，，，
，
，，
；
（2）证明：和为等腰三角形，，，
和为等边三角形，则，，，
，则，
在和中，
，
，
，
，
，即；
（3）解：在上截取，连接，如图所示：
，，
，
在和中，
，
，
，，
，即，
，
在和中，
，
，
，即．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
49．（23-24八年级上·广东汕头·期末）已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、．
(1)如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；若，则的周长为______；
(2)如图②，点在上，，求证：；
(3)如图③，点在边上，点在的延长线上，在（2）的条件下，若，证明：．
【答案】(1)，2
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）延长至点，使，结合等边三角形以及垂直平分线性质，证明，然后证明，进行边的等量代换，即可作答．结合的周长，且，即可作答．
（2）过点作，因为为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，得到为中位线，从而证明，；
（3）设，如图：过点作，同理证明，则，故，即可作答．
【详解】（1）解：如图：延长至点，使
∵点为的垂直平分线上一点，
∴,
∵为等边三角形，
∴
∴
故
∴
∵
∴
∵
∴
则；
∵的周长，且
∴
（2）解：如图：过点作，
∵为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴；
（3）解：设，如图：过点作，
同理可证
∴
∵
∴
∴
则
【点睛】本题考查了全等三角形的综合，涉及判定三角形全等以及全等三角形的性质、四边形内角和，垂直平分线的性质，辅助线等内容，综合性强，难度大，解题的关键是正确作出辅助线证明三角形全等．
50．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图1，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．
(1)如图1，直接写出的大小；（用含、的式子表示）
(2)如图2，当时，E为外的一点，，，判断的形状，并加以证明．
(3)若将线段也绕点B顺时针旋转得到线段，当C，D，E三点在同一条直线上时，请探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)或
(2)等边三角形，见解析
(3)或，理由见解析
【分析】（1）分在的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可；
（2）连接，先证明，再证明，得到即可；
（3）分点在之间和点在之间，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵线段绕点B逆时针旋转得到线段，
∴，
当在的内部时：；
当在的外部时：；
综上：或；
（2）解：为等边三角形，证明如下：
连接，
∵旋转，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴由（1）知，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
（3）解：当点在之间时，如图：
∵旋转，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②当点在之间时，如图，
同理可得：，，
∴，
∴．
综上：或．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，构造全等三角形，是解题的关键．
51．（23-24八年级上·广东珠海·期末）【综合运用】如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点，连并延长交于点．

(1)求证：；
(2)求证：为的中点；
(3)已知，求的大小（用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，即可得到结论；
（2）证明是的垂直平分线，即可得到结论；
（3）依次求出，，，，即可得到结论．
此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：是等腰三角形，
，
和分别为等边三角形
，
，
，
（2）证明：由（1）得，
，
，
∵，
是的垂直平分线，
为的中点；
（3）解：是等腰三角形，是的垂直平分线
，
，
，
，
，
，，
，
52．（23-24八年级上·广东汕头·期末）在等腰中，，，为边上一点，连接．
(1)如图①所示，以为顶点，为腰向右侧作等腰，，且，若，，，则的周长为_______．
(2)如图②所示，以为顶点，为腰向右侧作等腰，，过点作的延长线于点，，求的长；
(3)如图③所示，以为顶点，为斜边作等腰，连接并延长交于点，若，，猜想；与的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，进而得出，根据等角对等边得出，进而可得，根据三角形的周长公式，即可求解；
（2）过点作于点，证明，则，，即可得出；
（3）设，根据题意得出，，过点作交的延长线于点，连接，证明，得出，证明得出，等量代换可得，即可得证．
【详解】（1）解：∵等腰中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴的周长为，
故答案为：．
（2）解：如图所示，过点作于点，
∵等腰，
∴，
∵，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
在中，
∴
∴，
∴
（3）解：猜想，证明如下，
设
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，则，又
∴
如图所示，过点作交的延长线于点，连接，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
又∵
∴
∴，
∴
∵，
∴
在中，，
∴
∴，
∴，
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∵，
∴
∴，
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在中，
∴
∴
∴，即
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．