长沙市雷锋学校2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份长沙市雷锋学校2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知函数若的图象与x轴恰好有2个交点,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．设偶函数在上单调递增,且,则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
3．若对任意,总存在,使得成立,则m的最小值是( )
A.B.C.D.
4．函数的定义域为( )
A.B.C.D.
5．若集合,,,则图中阴影部分表示的集合的子集个数为( )
A.3B.4C.7D.8
6．设函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．函数的定义域是( )
A.B.C.D.
8．已知函数的图象如图所示,则不等式的解集为( )
A.B.C.或D.或
二、多项选择题
9．已知,,且,则( )
A.的最大值为B.的最小值为9
C.的最小值为D.的最大值为2
10．已知,,,则( )
A.B.C.D.
11．已知a,b为正实数,且,则的取值可以为( )
A.1B.4C.9D.32
12．已知a,b,,则下列命题正确的是( )
A.若且,则B.若,则
C.若,则D.若且,则
三、填空题
13．函数的定义域是________.
14．若命题“使”是假命题,则实数a的取值范围为________.,
15．现有40米长的篱笆材料,如果利用已有的一面墙（设长度够用）作为一边,围成一块面积为S平方米的矩形菜地,则S的最大值为________.
四、解答题
16．经过市场调研发现,某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第t天的关系如下表所示:
未来30天内,受市场因素影响,前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第t天的函数关系式为(,且t为整数),而后15天此商品每天每件的利润元与时间第t天的函数关系式为(,且t为整数).
（1）现给出以下两类函数模型:①(k,b为常数);②(a,b为常数,且.分析表格中的数据,请说明哪类函数模型更合适,并求出该函数解析式;
（2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元,则考虑转型.请判断该公司是否需要转型?并说明理由.
17．已知实数x满足且.
（1）求实数x的取值范围;
（2）求的最大值和最小值,并求此时x的值.
18．已知函数（且）在区间上的最大值是16,
（1）求实数a的值;
（2）假设函数的定义域是R,求不等式的实数t的取值范围.
19．已知函数,其中b,.
（1）若的图象关于直线对称时,求b的值;
（2）当时,解关于x的不等式;
（3）当时,令,若,且,函数在上有最大值9,求k的值.
20．已知函数对任意实数x均有，其中常数k为负数，且在区间上有表达式.
（1）求，的值；
（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；
（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
21．设二次函数,方程的两个根,满足.
（1）当时,证明:;
（2）设函数的图象关于直线对称,证明:.
参考答案
1．答案：D
解析：令,得或.
由,得,
结合的图象可得时,的图象与x轴恰好有2个交点.
故选:D.
2．答案：D
解析：因为是偶函数,所以等价于.
又在上单调递增,所以在上单调递减.
由,得或
又,解得或.
故选:D
3．答案：B
解析：因为,所以,则为对勾函数,
在处取得最小值,,
又因为,,
所以.
由,得.
又函数在上单调递增,则的值域为,
即的值域为,
则,解得.
所以m的最小值为.
故选:B
4．答案：C
解析：根据对数函数的性质得,解得,所以函数的定义域为.
故选:C.
5．答案：D
解析：由题意,集合,,可得,
可得,即阴影部分表示的集合为,
所以阴影部分表示的集合的子集个数为.
故选:D.
6．答案：B
解析：易知，故，，在上恒成立，等价于不等式即在上恒成立，故，故，即，又，故.故实数a的取值范围是.
7．答案：B
解析：要使函数有意义,需要,解得,即得函数定义域为:.
故选:B.
8．答案：B
解析：根据图像可得不等式的解集为.
故选:B.
9．答案：BC
解析：,,,当时,即时,可取等号,A错;
,当时,即时,可取等号,B对;
,当时,可取等号,C对;
,D错.
故选:BC
10．答案：BCD
解析：对于A,,即,当且仅当时等号成立,
所以,故A错误;
对于B,由,得,
即,则,当且仅当时等号成立,故B正确;
对于C,,
当且仅当时等号成立,故C正确;
对于D,,
又,所以,当且仅当时等号成立,故D正确.
故选:BCD.
11．答案：BD
解析：因为a,b为正实数,,所以,当且仅当时等号成立,即,所以,所以或,因为a,b为正实数,,所以,所以或.所以或.
故选:BD.
12．答案：BCD
解析：对于A,当,时,满足且,此时,故A错误;
对于B,若,则,故B正确;
对于C,若,则,
所以,所以,故C正确;
对于D,若且,则,所以,,故D正确.
故选:BCD.
13．答案：或.
解析：由题得,或.
所以函数的定义域为或.
故答案为:或.
14．答案：
解析:由题意得若命题“,”是假命题,
则命题“,,”是真命题,
则需,故本题正确答案为.
15．答案：200
解析：依题意可得,,,
,当且仅当,时,等号成立,
,当且仅当,时,等号成立.
故答案为:200.
16．答案：（1）选择函数模型①,其解析式为（且t为整数）
（2）这30天内日利润均未能超过4万元,该公司需要考虑转型,理由见解析
解析：（1）若选择模型（1）,将以及代入可得
解得,即,经验证,符合题意;
若选择模型（2）,将以及代入可得,
解得,即,
当时,,故此函数模型不符题意,
因此选择函数模型（1）,其解析式为（且t为整数）
（2）记日销售利润为y,
当且t为整数时,,
对称轴,故当时,利润y取得最大值,且最大值为392（百元）
当且t为整数时,,
当时,利润y单调递减,
故当时取得最大值,且最大值为375.25（百元）
所以,这30天内日利润均未能超过4万元,该公司需要考虑转型.
17．答案：（1）
（2）当时,有最小值,当或4时,有最大值0.
解析：（1）,
,
,
,
故实数x的取值范围为;
（2）
,
,,
,
当时,有最小值,当或4时,有最大值0.
18．答案：（1）或;
（2）.
解析：（1）当时,函数在区间上是减函数,
因此当时,函数取得最大值16,即,
因此.
当时,函数在区间上是增函数,
当时,函数取得最大值16,即,
因此.
（2）因为的定义域是R,
即恒成立.
则方程的判别式,即,
解得,
又因为或,因此.
代入不等式得,即,
解得,
因此实数t的取值范围是.
19．答案：（1）;
（2）;
（3）或.
解析：（1）的对称轴为,又的图象关于直线对称,
,解得.
（2）当时,,即为,解得或,
不等式的解集为.
（3）当时,,则,
设,则,
①当时,,
在上为增函数,
,可得或,
又,即.
②当时,,
在上为增函数,
,解得或,
又,即.
综上,或.
20．答案：（1），
（2）
在与上为增函数，在上为减函数
（3）①而在处取得最小值，在处取得最大值；
②时，在与处取得最小值，在与处取得最大值；
③时，在处取得最小值，在处取得最大值
解析：（1），
.
（2）对任意实数，
，.
当时，，；
当时，.
故
，在与上为增函数，在上为减函数；
（3）由函数在上的单调性可知，
在或处取得最小值或，而在或处取得最大值或.
故有①而在处取得最小值，在处取得最大值；
②时，在与处取得最小值，在与处取得最大值；
③时，在处取得最小值，在处取得最大值.
21．答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析.
解析：（1）令,,
的两个根,,
可设,
当时,由于,得,
又,得,即,
又,
,
,,
得,
,
综上,;
（2）由题意知函数的对称轴为,
因为有两个根,,即,为方程的根,
,,
因为,
所以.
第t天
1
3
10
…
30
日销售量（百件）
2
3
6.5
…
16.5