长沙市望城区第二中学2024-2025学年高一上学期12月期末考试（练习卷）数学试卷(含答案)

这是一份长沙市望城区第二中学2024-2025学年高一上学期12月期末考试（练习卷）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知函数，方程有两解，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．已知函数，则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
3．已知函数，其中，，如果对任意，都有，那么在下列不等式中一定成立的是( )
A.B.C.D.
4．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )
A.B.C.D.
5．下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是( )
A.B.C.D.
6．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
7．已知锐角满足.若要得到函数的图像，则可以将函数的图像( ).
A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度
8．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题
9．已知是定义在R上不恒为0的函数,的图象关于直线对称,且函数的图象的对称中心也是图象的一个对称中心,则( )
A.点是的图象的一个对称中心
B.为周期函数,且4是的一个周期
C.为偶函数
D.
10．已知定义在R上的函数满足:对,,,且,则以下结论正确的为( )
A.B.C.D.
11．已知函数，则( )
A.函数的最小正周期为
B.点是函数图象的一个对称中心
C.将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于y轴对称
D.函数在区间上单调递减
12．下列说法正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B..是的必要不充分条件
C.若，则“”的充要条件是“”
D.若，则“”是“”的充要条件
三、填空题
13．已知，则的值是____.
14．角的终边经过点，且，则____.
15．已知是定义在R，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数m的取值范围是____.
四、解答题
16．已知函数的定义域为D，.
（1）若，求函数的值域；
（2）若，且，求实数的取值范围.
17．如图为函数的部分图像，且，.
(1)求，的值；
(2)将的图像上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图像，讨论函数在区间的零点个数.
18．已知函数，.
(1)求曲线的对称中心；
(2)在锐角三角形中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且.若恒成立，求实数k的最小值.
19．请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.
(1)如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.
(2)如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.
20．某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示:
(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量,并描述该地人口数量的变化趋势；
(2)研究人员用函数拟合该地的人口数量,其中t的单位是年,2014年初对应时刻,的单位是千人，设的反函数为求的值(精确到0.1),并解释其实际意义.
21．在中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且A,B,C成等差数列.
(1)若，，求的值；
(2)求的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，所以且，
当时，在时单调递增，所以；
又在时单调递增，且，
因为方程有两解，所以，所以；
当时，在时单调递减，；
又在时单调递增，，
因为方程要有两解，所以，此时不成立.
综上可得，
故选：B.
2．答案：D
解析：由题意，，，
易知函数在R上单调递减（减+减），而，
所以.
故选：D.
3．答案：D
解析：当时，，
因为对任意，都有，
所以，所以，
所以，，，
当时，，其中，
因为对任意，都有，
所以，所以，
综上，只有成立，
故选：D
4．答案：D
解析：由题意知，设坐标原点为O，则，，
由三角函数的定义，得,，
所以，
，
当时，；当时，.
故选：D.
5．答案：A
解析：对于A：是正弦函数且为奇函数，且在区间上是增函数，
故A符合题意；
对于B：是指数函数不是奇函数，故B不符合题意；
对于C：是二次函数，且为偶函数不是奇函数，故C不符合题意；
对于D：是反比例函数且是奇函数，但在区间上是减函数，故D不符合题意.
故选：A.
6．答案：D
解析：，，
因此，.
故选：D.
7．答案：A
解析：由知：，即，
所以锐角，
故，
又，
，
故是将向左平移个单位长度得到，
故选：A
8．答案：A
解析：解不等式得或，
记，，
因为，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
9．答案：AC
解析：因为函数的图象关于直线对称,所以的图象关于y轴对称,即为偶函数.所以.因为的图象的对称中心为原点,所以的图象的对称中心为,所以.对于A,由为偶函数,知,所以点是图象的一个对称中心,A正确;对于B,由,得,所以,则,所以为周期函数,且8是该函数的一个周期,B错误;对于C,由,得,即,因为为偶函数,所以为偶函数,C正确;对于D,由,得,所以,D错误.故选AC.
10．答案：ACD
解析：因为定义域为R的函数,有,
令,则,又,
所以,故A正确;
令,则,
所以,故B错误;
令,则,
得到,,
所以是偶函数,C正确;
取,
则
所以,则,D正确.
故选:ACD.
11．答案：BCD
解析：
的最小正周期为,故A错误;
,故B正确;
将函数图象向左平移个单位长度,
所得到的函数,为偶函数,故C正确；
由,可得,则在区间上单调递减,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：BD
解析：A选项：当,时，满足，但是不能推出；
反之当,时，满足，但是不能推出，
所以两者既不充分也不必要，故A错误；
B选项：当,，,但是不能推出
当时，，故B正确；
C选项：当时，不能由推出,故C错误；
D选项：等价于,等价于，故D正确；
故选：BD.
13．答案：
解析：，其中.
，，，
故.
故答案为：.
14．答案：
解析：角的终边经过点，且，
，则，
故答案为.
15．答案：
解析：由得，
所以函数的周期为4，
先作出在区间上图像：
又，，
则实数m的取值范围为.
故答案为：.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，由解得，
令，当时t取最大值，
所以，从而的值域为.
（2）由于，且，
所以方程的两根分别为m，n，且，，
又，即，
将，代入整理得
，
从而，
所以
即实数的取值范围为.
17．答案：(1)，;
(2)答案见解析.
解析：(1)根据题意得，，故，，故.
将代入，得，
解得，
又，故.
(2)依题意，.
函数在区间的零点个数即为函数的图像与直线在上的交点个数.
当时，，结合余弦函数图像可知，
当时，单调递减，当时，单调递增，
且，，，
作出函数在上的大致图像如图所示.
观察可知，当或时，有个零点；
当时，有个零点；
当或时，有个零点.
18．答案：(1)，；
(2)2.
解析：(1)由题意得.
令，，得，
所以曲线的对称中心为，.
(2)，即
A是锐角三角形的内角，，.
由正弦定理得
.
在锐角三角形中，，解得，
，.
得，，即实数k的最小值为2.
19．答案：(1)，面积最大为1;
(2)，，面积最大值为2.
解析：(1)设，（）；
，,
，
,
当时，即时，矩形面积最大为1；
(2)依题意可得：椭圆方程为：；
设：点C坐标为,即,,
因为点C为椭圆上的点；
；
；
，当且仅当时取等号；
；即矩形面积最大为2；当，即时取等号；
20．答案：(1)见解析；
(2)，见解析.
解析：(1)2014年至2019年每年该地人口的增长数量
为千人，
，，，
，，
由上述数据可得从2014年到2019年每年人口增长数量呈先增加后减少的变化趋势，每一年人口总数呈逐渐递增的变化趋势，
(2)由，
的反函数为，
，
，
，
两边取对数可得，
，
其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效数据，即经过半年时间，该地人口数量人数即增长到2400千人.
21．答案：(1)；
(2).
解析：(1)因为A,B,C成等差数列，所以.
因为，所以，所以，即.
因为，，所以，即.
所以，所以.
(2)
＝.
因为，所以.
所以的取值范围是.
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
人数/千人
2082
2135
2203
2276
2339
2385