山东省滨州市邹平市礼参初级中学　2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份山东省滨州市邹平市礼参初级中学　2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A选项：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；
D选项：不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：C．
2. 用配方法解方程2x2+3x﹣1＝0，则方程可变形为（ ）
A. （x+3）2＝B. （x+）2＝C. （3x+1）2＝1D. （x+）2＝
【答案】D
【解析】
【分析】方程变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【详解】方程2x2+3x-1=0，变形得：x2+x=，
配方得：x2+x+=，即（x+）2=，
故选D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3. 如图，点、、都在上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解：点、、都在上，且，
，
故选：C．
4. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（）.
A. 函数图象分别位于第一、三象限B. 函数图象经过点（-3，-2）
C. 随的增大而减小D. 函数图象关于原点成中心对称
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的图像与性质即可判断.
【详解】A. 函数图像分别位于第一、三象限 正确；
B. 函数图像经过点（-3，-2），（-3）×（-2）=6，正确；
C. 在各象限内，随增大而减小，故错误；
D. 函数图像关于原点成中心对称，正确.
故选C.
【点睛】此题主要考查反比例函数的性质，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质.
5. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A. 相切B. 相交C. 相离D. 平行
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案．
【详解】解：，
，
解得，
的半径是，
，
直线与的位置关系是相交．
故选B．
6. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，连接交于点D，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算即可．
详解】解：连接交于点D，
由题意得，，则，
设圆的半径为，则，
在中，，
即，
解得：，
则该铁球的直径为，
故选：D．
7. 如图，在等边三角形中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 是等边三角形
C. D. 的周长是
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可得，，，，可得，是等边三角形，的周长为，即可求解．
【详解】解：是等边三角形，
，，
将绕点逆时针旋转，得到，
，，，，
是等边三角形，
故B正确；
∴，
∴，
∴，
故C错误；
，，
故A正确；
的周长，
故D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的判定和性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
8. 我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ）
A. 图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B. 当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大
C. 当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D. 当x＝1时，函数的最大值是4
【答案】D
【解析】
【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可．
【详解】观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝＝1，故A正确；
令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又∵对称轴是直线x＝1，
∴当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确；
由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故C正确；
由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，
故当x＝1时的函数值4并非最大值，故D错误，
综上，只有D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数在新定义函数中的应用等知识，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
二、填空题
9. 如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程的两根之和是，两根之积是．根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和，即可求解．
【详解】解：、是一元二次方程的两个根，
，
故答案为：．
10. 种子是万物生长的源头，也是人类粮食生产的基础．某种玉米种子在相同条件下发芽试验的结果如下：
估计这种玉米种子发芽的概率为________（精确到0.01）．
【答案】0.93
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，从表格中数据确定出这种油菜籽发芽的概率是解题的关键．大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据题意，用频率估计概率即可．
【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93．
故答案为：0.93．
11. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有16个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染____个人．
【答案】3
【解析】
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，列方程求解．
【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则，
即：，
则，
解得：，(不合题意，舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了3个人．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
12. 一个圆锥形冰淇淋纸筒，其底面直径为，母线长为，围成这样的无盖冰淇淋纸筒需纸片的面积是 _____ cm2.
【答案】
【解析】
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】底面圆的直径为6cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm2．
故答案为15π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标．根据点关于原点对称的点的坐标为，求出a、b，进而可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 若点都在反比例函数（k为常数）的图象上，则的大小关系为______（用“”连接）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例函数的图像和性质作答即可．
【详解】解：∵，
∴在一、三象限，在每个象限，y随x增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行______m才能停下来．
【答案】
【解析】
【分析】将二次函数关系式 ，变形成顶点式，从而可得出y的最大值，即可得到答案．
【详解】解：∵
，
∴当时y的值最大，最大值为 ，所以该型号飞机着陆后需要滑行米才能停下来，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16. 如图，小然利用绘图软件画出了函数 的图象，下列有关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②方程有三个根；
③最大值是，最小值是；
④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．
其中，说法正确的序号是___________．
【答案】③
【解析】
【分析】根据图象，获取信息，解答即可，本题考查了函数图象的信息解题，正确读取信息是解题的关键．
【详解】① 根据图象，得图象与x轴有3个交点；
故本说法错误；
②∵,
令，
得
∴当时，函数有最大值，且当时，取得最大值，最大值为，
根据图象，得到有两个交点，
故方程有两个根；
故本说法错误；
③ ∵,
令，
得
∴当时，函数有最大值，且当时，取得最大值，最大值为，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，函数有最大值，且点与对称轴的距离越大，函数值越小，
∵，
∴时，函数取得最小值，且为；
∴当时，函数有最小值，且当时，取得最小值，最小值为，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵，
∴时，函数取得最大值，且为；
综上所述，时，最大值是，最小值是
故本说法正确；
④如果和是该函数图象上的两个点，
根据题意，得时，y随x的增大而减小，
，
故当时，一定有说法错误，
故答案为：③．
三、解答题
17. 解下列一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1），
（2），
（3），
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．
（1）移项，提取公因式分解因式，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解；
（2）移项，提取公因式分解因式，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解；
（3）分解因式，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：，
，
，
∴或，
∴，；
【小问3详解】
解：，
，
∴或，
∴，．
18. 在一个不透明的盒子里，装有三个分别标有数字1，2，4的小球，它们的形状，大小，质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，将球放回盒中，摇匀后，再由小亮随机取出一个小球，记下小球上的数字y．
（1）用列表法或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）求小明，小亮各取一次小球所确定的点落在二次函数图象上的概率．
【答案】（1），，，，，，，，
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率及二次函数的定义．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果．
（2）根据（1）得出所有情况数，再根据概率公式求出答案即可．
【小问1详解】
解：列表如下：
所有可能出现的结果为：，，，，，，，，；
【小问2详解】
解：共有9种情形，其中落在二次函数的图象上有2中，即点，，
．
19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于原点对称的；
（2）请画出绕顺时针旋转后的；
（3）请求出的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】此题考查了中心对称和旋转的作图、坐标与图形、利用网格求三角形的面积等知识，
（1）找到关于原点对称的对应点，顺次连接即可；
（2）找到绕顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可；
（3）利用包含的梯形的面积减去周围小三角形的面积即可；
【小问1详解】
解：如下图所示：即为所求；
【小问2详解】
如上图所示：即为所求；
【小问3详解】
20. 已知二次函数．
（1）求证：不论k为任何实数，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为，求B点坐标．
【答案】（1）见解析；（2）B（，）
【解析】
【分析】（1）令y=0得到关于x的一元二次方程，再用k表示出该方程的判别式，可判断出其根的情况，可证得结论；
（2）把A点坐标代入可求得抛物线的解析式，再令，可求得方程的解，可得出B点坐标．
【详解】（1）证明：令可得：，
∵，，，
∵
，
∴不论为任何实数，方程，
二次函数的图象与轴总有公共点；
（2）解：∵A（3，0）在抛物线上，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为，
令，即，
解得或x=-1，
∴B点坐标为（，）．
【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与轴的交点横坐标为对应一元二次方程的两根是解题的关键．
21. 某水果超市销售某种水果，其成本是每千克12元，售价为每千克27元时，每天可销售120kg．超市在销售过程中发现售价每降低2元时，每天销量可增加80kg，于是决定调整销售策略，降价销售这种水果．
（1）若超市每天要获销售利润3080元，又要尽可能让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元；
（2）当销售单价定为多少时，超市所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）销售价为每千克19元时，超市每天可获得销售利润3080元；
（2）当销售单价定为21元时，超市所获利润最大，最大利润是3240元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，利用二次函数性质是解题的关键．
（1）设降低元，超市每天可获得销售利润3080元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案；
（2）设降低元，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：设降低元，超市每天可获得销售利润3080元，由题意得，
，
整理得，
或．
要尽可能让顾客得到实惠，
，
售价为（元，
答：水果的销售价为每千克19元时，超市每天可获得销售利润3080元；
【小问2详解】
解：设降低元，由题得，
∴，
∵，
∴有最大值，
当时，最大．
售价（元，
答：水果的销售价为每千克21元时，超市每天一天获利最大为3240元．
22. 如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（，m）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣，y＝﹣2x﹣3；（2）；（3）﹣2＜x＜0或x＞．
【解析】
【分析】（1）先把A点坐标入y＝得k＝﹣2，则反比例函数解析式为y＝﹣，再利用反比例函数解析式确定B（，﹣4），然后利用待定系数法求出一次函数解析式为y＝﹣2x﹣3；
（2）先利用一次函数的解析式求出D点坐标，然后根据三角形面积公式，利用S△AOB＝S△AOD+S△BOD进行计算即可；
（3）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：（1）把A（﹣2，1）代入y＝得
k＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
把B（，m）代入y＝﹣得m＝﹣4，
∴B（，﹣4），
把A（﹣2，1）、B（，﹣4）分别代入y＝ax+b得
，解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝﹣2x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3），
∴OD=3,
,
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝×3×2+×3×＝ ；
（3）由图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，此时﹣2＜x＜0或x＞，
∴x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法及数形结合是解题的关键．
23. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为⊙O外一点，且∠ADC＝90°，2∠B+∠DAB＝180°．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线．
（2）若∠B＝30°，AD＝1，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）的半径是2；（3）．
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角和圆心角的关系，得出，即可得出，从而的解；
（2）连接，可得，根据含的直角三角形的性质解答即可；
（3）用梯形的面积减去扇形的面积即为阴影部分的面积．
【详解】解：（1）证明：如图1，连接，则．
，
，
∵．
，
，
，
∴直线为的切线；
（2）如图2，连接，
，，且，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
的半径是2；
（3），
，
，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，等边三角形的判定与性质，含直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，熟练掌握基本的定理与性质是解本题的关键．
24. 已知如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为(1，0)，C(0，－3)
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值.
(3) 若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）S△ACD的最大值为;(3)见解析.
【解析】
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；过点D作DE∥y轴交AC于E，则E（m，﹣m﹣3），可得到当△ADC面积有最大值时，四边形ABCD的面积最大值，然后列出四边形的面积与m的函数关系式，利用配方法可求得此时m的取值范围；
（3）本题应分情况讨论：①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．
【详解】解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：a=，c=﹣3．
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣3
（2）令y=0，则x2+x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣4
∴A（﹣4，0）、B（1，0）
令x=0，则y=﹣3
∴C（0，﹣3）
∴S△ABC=×5×3=
设D（m，m2+m﹣3）
过点D作DE∥y轴交AC于E．直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，则E（m，﹣m﹣3）
DE=﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）=﹣（m+2）2+3
当m=﹣2时，DE有最大值为3
此时，S△ACD有最大值为×DE×4=2DE=6
∴四边形ABCD的面积的最大值为6+=．
（3）如图所示：
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P1（x，﹣3）
∴x2+x﹣3=﹣3
解得x1=0，x2=﹣3
∴P1（﹣3，﹣3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P（x，3），
∴x2+x﹣3=3，
解得x=或x=，
∴P2（，3）或P3（，3）
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3）或P2（，3）或P3（，3）．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
种子总数
500
1000
1500
2000
3000
发芽的频数
464
934
1398
1866
2801
发芽的频率
0.928
0934
0.932
0.933
0.934
1
2
4
1
2
4