山东省滨州市邹平市黛溪中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份山东省滨州市邹平市黛溪中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 方程化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 4，1B. 4，C. ，1D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】把所给方程化为的形式即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴一次项系数和常数项分别是，，
故选D．
【点睛】本题主要考查了把一元二次方程化为一般式，熟知一元二次方程的一般式是解题的关键．
2. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项、再配方即可解答；掌握配方法的步骤是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
．
故选B．
3. 点关于原点对称的点的坐标是为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【详解】点关于原点对称的点的坐标是为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．
4. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握相关知识是解题关键．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意，可得，
解得且．
故选：D．
5. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标．
【详解】∵
∴顶点坐标是
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，利用配方法求顶点坐标是解题的关键．
6. 如图，ΔABC是等边三角形，点在ΔABC内，，将绕点逆时针旋转得到，则的长等于( )

A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质推出AC=AB，∠CAB=60°，根据旋转的性质得出△CQA≌△BPA，推出AQ=AP，∠CAQ=∠BAP，求出∠PAQ=60°，得出△APQ是等边三角形，即可求出答案．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC,

∴△CQA≌△BPA，
∴AQ=AP，∠CAQ=∠BAP，
∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAQ=60°，
即∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴QP=PA=2，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△APQ是等边三角形，注意“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于60°．
7. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且经过点．则下列说法中正确个数有（ ）个．
① ② ③ ④ ⑤
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键．
根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到，则，于是可对①进行判断；由于时，，可对③进行判断；根据时函数取得最小值，可对④进行判断；根据时，，结合，可对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴．
∵抛物线对称轴为直线，
∴，故②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴．故①不正确；
∵时，，对称轴是直线x=-1，
∴时，，
∴．故③不正确；
∵当时，的值最小，
∴，
∴，故④正确；
∵时，，，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤正确．
综上所述，正确的结论是,②④⑤．
故选：C．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．
9. 一元二次方程的根是____________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．对于方程，等号左边提公因式可得，即可获得答案．
【详解】解：，
，
∴，．
故答案为：，．
10. 把抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律进行求解即可．
【详解】解：把抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，解题的关键在于熟知二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律．
11. 若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入得到得 然后利用整体代入的方法进行计算．
【详解】∵2是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴n＋m＝−2，
故答案为−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解的定义是解决本题的关键.
12. 顶点为，且过点的抛物线的解析式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设解析式为顶点式即，再把点代入解析式，求得a的值，即可确定函数解析式．
【详解】解：设解析式为，
把点代入解析式，得，
解得：，
即，化为一般式为：．
故答案为：．
13. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，，若，，则旋转角______度．
【答案】48
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的特征，在中，，，则，则旋转角，代入已知计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：48．
14. 二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，当函数值时，自变量x的取值范围是__________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】根据二次函数图象的对称性，由图象过点，对称轴为直线，可得图象与x轴的另一个交点坐标为，再由二次函数图象性质得出函数值时，
自变量x的取值范围是或．
【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为，
由二次函数图象性质可知，
当函数值时，
自变量x的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象对称性是解题的关键．
15. 已知抛物线（，为常数），，，是抛物线上三点，则由小到大依次排列为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，理解二次函数图像的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．求出该抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数图像的增减性和对称性解答即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当，随的增大而增大，
∵关于直线的对称点是，且，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．则y关于x的函数解析式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求二次函数的应用，理解题意，正确表示出，是求解本题的关键．
先表示，的长，进而得到的长度，利用来表示四边形的面积即可．
详解】解：由题意得：，，
∴，
∴，
∴．
其中：，
∴．
故答案为：．
三、解答题：本大题共10个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．
17. 用适当的方法解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．
（1）首先按照移项、二次项系数化为1步骤将原方程整理为，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行配方，然后求解即可获得答案；
（2）将方程等号右边部分移动到左侧，再提公因式可得，利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
∴，
∴，；
小问2详解】
解：，
，
，
∴，．
18. 已知二次函数，用配方法将它化成顶点式，并写出对称轴和顶点坐标．
【答案】，该二次函数图像的对称轴为，顶点坐标为．
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，将二次函数解析式一般形式化成顶点式是解题关键．利用配方法将该二次函数解析式化成顶点式，根据顶点式结合二次函数的性质即可求解．
【详解】解：，
该二次函数图像的对称轴为，顶点坐标为．
19. 已知关于x的一元二次方程有两根分别为、．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，结合m的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，，
，
；
【小问2详解】
解：∵，，
∴
解得：或
∴．
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，以及一元二次方程根与系数关系：．
20. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题
（1）△ABC的面积为__________；
（2）将△ABC向上平移5个单位长度，画出平移后的；
（3）以坐标原点O为对称中心，画出与成中心对称的图形．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）用长方形的面积减去3个小直角三角形的面积求解即可；
（2）利用点平移的坐标规律得出点的坐标，然后描点即可；
（3）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可．
【小问1详解】
的面积为．
【小问2详解】
如图，即为所求．
【小问3详解】
如图，即为所求．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21. 为助力实现“双碳”目标，安徽大力发展光伏零部件制造，合肥某公司年第一季度生产A型零件的成本是万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，若该公司每个季度的平均下降率都相同．
（1）求该公司每个季度的平均下降率是多少．
（2）按照这个平均下降率，预计年第一季度生产A型零件的成本是多少元?
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设该公司每个季度下降率是x，根据该公司第一季度及第三季度的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）由（1）知x的值，代入计算即可得知年第一季度生产A型零件的成本．
【小问1详解】
解：设该公司每个季度的下降率是x，由题意可得
，（不合题意，故舍去）
答：该公司每个季度的平均下降率是；
【小问2详解】
解：年第三季度的生产成本为万元，由（1）知x的值为，
那么（万元），
答：按照这个平均下降率，预计年第一季度生产A型零件的成本是元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】（1），每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元
（2）这天售出了64辆轮椅
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数性质求最值即可；
（2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，每天的利润最大，为元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元；
【小问2详解】
当时，，
解得：（不合题意，舍去）；
∴（辆）；
答：这天售出了64辆轮椅．
23. 某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置O竖直安装一根顶部A带有喷水头的水管，如图，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水平距离也为，那么水管的高度应为多少？
【答案】水管的设计高度应为米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意．求出抛物线解析式．根据题意求出抛物线顶点坐标为，把代入可得解析式，再令求出值即可得到答案．
【详解】解：由题意得：抛物线顶点，
设抛物线的解析式为，
把代入，得：
解得：
∴抛物线的解析式为
当时，
答：水管的设计高度应为米
24. 抛物线经过点和点，且这个抛物线顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设抛物线对称轴与x轴交于D，先求出点C的坐标，再根据进行求解即可．
【小问1详解】
解：把和点B代入中得，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：设抛物线对称轴与x轴交于D，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点C的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴

．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数解析式，正确利用割补法表示出所求的面积是解题的关键．
25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，已知点A的坐标为，是抛物线上的点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，是否存在以A，B，M，N为顶点的平行四边形？若存在求出的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或，或，使得以A，B，M，N为顶点的平行四边形
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，连接，根据对称性得到，则当B、P、C三点共线时，最小，即最小，求出点B的坐标，进而求出直线解析式为，在中，当时，，由此即可得到答案；
（3）分当为对角线时， 当为对角线时当为对角线时，则由平四边形对角线中点坐标相同，建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：把，，代入中得，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴，
∴，
∴当B、P、C三点共线时，最小，即最小，
∵抛物线对称轴为直线，
∴
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴存在，使得的值最小；
【小问3详解】
解：设，
当为对角线时，则由平四边形对角线中点坐标相同可得： ，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，；
当为对角线时，则由平四边形对角线中点坐标相同可得： ，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，；
当为对角线时，则由平四边形对角线中点坐标相同可得： ，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，；
综上所述，存在，或，或，使得以A，B，M，N为顶点的平行四边形．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．