安徽省合肥市合肥八一学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省合肥市合肥八一学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（将正确答案写在后面的答题栏内，每题4分，共40分）
1. 点在( )
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：点（﹣1，2）的横坐标小于0，纵坐标大于0，点（﹣1，2）所在的象限是第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2. 点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】解：点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，
点的横坐标是，纵坐标是，
点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
3. 下列函数中，是一次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的定义逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，自变量x的指数为-1，
不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；
B、可整理为，
符合一次函数的定义，故此选项符合题意；
C、，自变量x的指数是2，
不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；
D、是常数函数，不符合一次函数的定义，
故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数的定义条件是：为常数，，自变量次数为1．
4. 如果一个正比例函数图象经过不同象限的两点，，那么一定有（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据正比例函数图象所在象限，可判断出m及n的符号．
【详解】解：∵点的横坐标为-2＜0，
∴此点在第二或第三象限；
∵点的纵坐标为3＞0，
∴此点在第一或第二象限，
又∵A与B是不同象限的点
∴此函数的图象一定经过第一、三象限，
∴点位于第三象限，点位于第一象限，
∴m＜0，n＞0．
故选：C．
【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象性质利用数形结合思想解题是关键．
5. 如图，为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选一个点P，测得PA＝14m，PB＝10m，则AB间的距离不可能是（ ）
A. 5mB. 15mC. 20mD. 24m
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系解答．
【详解】解：由题意得，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查三角形三边关系的实际应用，正确理解题意得到三角形三边关系式是解题的关键．
6. 将一副三角板按图中方式叠放，则∠的度数为（ ）
A. 85°
B. 95°
C. 105°
D. 115°
【答案】C
【解析】
【分析】如图，先利用三角形的内角和求出，再利用对顶角的性质即可求出
【详解】如图，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，以及对顶角的性质，熟记性质并准确识图，熟知三角板各角的度数是解题的关键．
7. 如图，在中，已知点、分别为、的中点，，且的面积12，则的面积为（ ）
A. 5B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点D是BC的中点，可得△ABD的面积=△ACD的面积=S△ABC，由E是AD的中点，得出△ABE的面积=△DBE的面积=△ABC的面积，进而得出△BCE的面积=△ABC的面积，再利用EF=2FC，求出△BEF的面积．
【详解】解：∵点D是BC的中点，△ABC的面积12，
∴△ABD的面积=△ACD的面积=S△ABC=6，
∵E是AD的中点，
∴△ABE的面积=△DBE的面积=△ABC的面积=3，
△ACE的面积=△DCE的面积=△ABC的面积=3，
∴△BCE的面积=△ABC的面积=6，
∵EF=2FC，
∴△BEF面积=×6=4，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形面积，解题的关键是根据中点找出三角形的面积与原三角形面积的关系．
8. 如图，用尺规作图作已知角平分线，根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了作图作已知角平分线．利用作图痕迹得到，，加上为公共边，则根据“”可判断，从而得到．
【详解】解：由作图痕迹得到，，
，，，
，
，
即平分．
故选：A．
9. 如图，点B，C分别在线段NM，NA上，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠BCA＝3∶5∶10，且△ABC≌△MNC，则∠BCM∶∠NBA等于( )
A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶5
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出∠BCM、∠NBA的度数可求出结果．
【详解】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10 ;
设∠A=3x°，则∠ABC=5x°，∠ACB=10x°;
3x+5x+10x=180, 解得x=10
则∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°;
∴∠BCN=180°-100°=80°;
又△MNC≌△ABC;
∴∠ACB=∠MCN=100°; ∠ABC=∠MNC;
∴∠NBA=∠NBC+∠ABC=∠NBC+∠MNC=180°-80°=100°;
∠BCM=∠NCM-∠BCN=100°-80°=20°;
∴∠BCM：∠NBA=20°：100°=1：5;
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质；利用三角形的三角的比，求得三个角的大小是很重要的方法.
10. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，以下结论：①∠AED＝90°;②点 E 是 BC 的中点;③DE＝BE;④AD＝AB＋CD;其中正确的是（ ）

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【详解】过E作EF⊥AD于F，如图，

∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠AFE＝∠DFE＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∠BAE＝∠FAE，∠DAE＝∠BAD，
∠CDE＝∠FDE，∠ADE＝∠ADC，
∴∠AED＝180°-(∠DAE+∠ADE)＝90°，所以①正确．
∵
∴Rt△ABE≌Rt△AFE(AAS)
∴BE＝EF，AB＝AF，
∵
∴Rt△DCE≌Rt△DFE(AAS)
∴CE＝EF，CD＝DF，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∴E是BC的中点，所以②正确；
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
故选B．
点睛：本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．
二、填空题（每题4分，共20分）
11. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____．
【答案】两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为“两直线平行，同位角相等”．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键．
12. 已知：如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=76°，∠C=64°，则∠DAE的度数是__________．
【答案】12°
【解析】
【分析】根据∠DAE=∠EAC-∠CAD，求出∠EAC，∠CAD即可．
【详解】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠CAB=×76°=38°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=90°-64°=26°，
∴∠DAE=∠EAC-∠CAD=38°-26°=12°，
故答案为：12°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13. 如图，正方形ABCD的边长为2，点B、C分别在直线上，点A、D在轴上，则的值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形性质，求出C的坐标，再把C的坐标代入y=kx，可得k.
【详解】∵正方形边长为2，
∴AB=2，
在直线y=2x中，当y=2时，x=1，
∴OA=1，OD=1+2=3，
∴C（3，2），
将C（3，2）代入y=kx，得2=3k，
∴k=；
故答案为；
【点睛】考核知识点：一次函数和几何.数形结合解决问题是关键.
14. 如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC=10cm，则△DEC的周长是___________cm．
【答案】10
【解析】
【详解】∵BD平分∠ABE，DE⊥BC，∠A=90°，
∴DE=AD，∠ABD=∠CBD，
∴CD+DE=AC，
△BAD与△BED中，△BAD≌△BED（HL），
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=CD+DE+CE=AC+CE=AB+CE=BE+CE=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长=10cm．
故答案为10
考点：1．角平分线性质定理；2．三角形全等的判定与性质．
15. 在中，若，.则中线的长的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．
【详解】延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，如图所示：
∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE=AB，
∵AB=5，AC=3，CE=5，
设AD=，则AE=2，
∴2＜2＜8，
∴1＜＜4，
∴1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
三、解答题（共60分）
16. 如图，点都落在网格的顶点上．
（1）画出先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度的，并写出的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）作图见解析，
（2）3
【解析】
【分析】本题主要考查了利用平移变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）依据先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，即可得到；
（2）依据三角形面积计算公式，即可得到的面积．
小问1详解】
解：如图所示：
；
【小问2详解】
解：的面积是．
17. 已知与成正比例，且当时，．
（1）求与之间的函数解析式．
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
（1）利用正比例函数的定义得到，然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x之间的函数解析式；
（2）把代入（1）中的解析式中计算出对应的函数值．
【小问1详解】
解：设，
把，代入得，
解得，
则，即，
y与x之间的函数解析式为；
【小问2详解】
解：当时，．
18. 在平面直角坐标系中，点，，．
（1）求直线的解析式；
（2）一次函数（为常数）．
①求证：一次函数的图象一定经过点；
②若一次函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）①见解析；②且
【解析】
【分析】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特点，熟知以上知识是解题的关键．
（1）设过的直线的解析式为，再把A，B两点的坐标代入求出k，b的值即可；
（2）①把代入一次函数，求出y的值即可得出结论；②分别把B，C两点的坐标代入一次函数，求出a的值，再把时代入函数，据此可直接得出结论．
【小问1详解】
解：设过的直线的解析式为，
∵，，
∴，解得，
直线的解析式；
【小问2详解】
①证明：把代入得，，
∴图象必经过点；
②解：一次函数的图象与线段有交点，
把代入直线得：，
∴，
把代入直线得：，
∴，
当时，不是一次函数，
综上：a的取值范围为：且．
19. 如图，已知．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．根据，推出都是直角三角形，利用“”证明即可得出结论．
【详解】证明：，
都是直角三角形，
在与中，，
，
．
20. 已知：如图所示和都是等腰直角三角形，，连接．那么和有什么关系？并说明理由．
【答案】，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．根据，推出，证明即可得出结论．
【详解】证明：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
，
∴，
在与中，，
∴，
∴．
21. 由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车的每辆的进价相同）．第一次用270万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第二次用128万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车10辆．
（1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价；
（2）经销商分别以每辆甲型号汽车8.8万元，每辆乙型号汽车4.2万元的价格销售后，根据销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆，且乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的3倍，设再次购进甲型汽车a辆，这100辆汽车的总销售利润为W万元．
①求W关于a的函数关系式；
②若每辆汽车的售价和进价均不变，该如何购进这两种汽车，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲、乙两种型号汽车每辆的进价分别为7万元、3万元
（2）①W关于a的函数关系式为W＝0.6a+120（0≤a≤25）；②甲型汽车25辆，乙型汽车75辆，最大利润是135万元
【解析】
【分析】（1）设甲种型号汽车的进价为a元、乙种型号汽车的进价为b元，根据题意，可以得到相应的二元一次方程组，然后即可得到甲、乙两种型号汽车每辆的进价；
（2）①根据总利润=甲型汽车的利润+乙型汽车的利润可以得到利润与购买甲种型号汽车数量的函数关系；
②根据乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的3倍，可以得到购买甲种型号汽车数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最大利润和此时的购买方案．
【小问1详解】
（1）设甲种型号汽车的进价为a元、乙种型号汽车的进价为b元，
，
解得：，
即甲、乙两种型号汽车每辆的进价分别为7万元、3万元；
【小问2详解】
（2）①由题意得：购进乙型号的汽车（100﹣a）辆，
W＝(8.8﹣7)a+(4.2﹣3)×(100﹣a)＝0.6a+120，
乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的3倍，
∴100﹣a≥3a，且a≥0，
解得，0≤a≤25，
∴W关于a的函数关系式为W＝0.6a+120（0≤a≤25）；
②W＝0.6a+120，
∵0.6＞0，
∴W随着a的增大而增大，
∵0≤a≤25，
∴当a＝25时，W取得最大值，此时W＝0.6×25+120＝135（万元），100﹣25＝75（辆），
答：获利最大的购买方案是购进甲型汽车25辆，乙型汽车75辆，最大利润是135万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
22. 如图（1），，垂足分别为A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有与全等，求出相应的x，t的值．
【答案】（1），
（2），，或，
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：
（1）根据可证，推出，通过导角可得，即可得出；
（2）分和两种情况，利用对应边相等列方程，即可求解．
【小问1详解】
解：，，
理由如下：
∵，
∴
当时，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：分两种情况：
若，则，
可得：，，
解得：，；
若，则，
可得：，，
解得：，．
综上可知，，，或，．