上海市浦东新区2023-2024学年高三上学期期末（一模）考试数学试题

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考生注意：
1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；
2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1.已知全集，集合，则__________.
2.若复数（其中i表示虚数单位），则__________.
3.已知事件A与事件B互斥，且，，则__________.
4.已知直线l的倾斜角为，请写出直线l的一个法向量__________.
5.已知是等差数列的前n项和，若，则满足的正整数m的值为__________.
6.已知向量，向量，则向量在向量上的投影为__________.
7.已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为__________.
8.在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为__________（结果精确到0.01）.
9.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是__________.
10.如图，已知函数（，，）的图像与y轴的交点为，并已知其在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.记，则__________.
11.已知曲线，曲线，若的顶点的A坐标为，顶点B，C分别在曲线和上运动，则周长的最小值为__________.
12.已知数列满足，且对任意正整数n，关于x的实系数方程都有两个相等的实根.若，则满足条件的不同实数a的个数为__________个.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.
13.如果，则下列不等式中一定成立的是（ ）.
A.B.C.D.
14.某组样本数据由10个互不相同的数组成，去掉其中的最小数和最大数后，得到一组新的样本数据，则下列选项一定成立的是（ ）.
A.两组样本数据的平均数相同B.两组样本数据的方差相同
C.两组样本数据的中位数相同D.两组样本数据的极差相同
15.已知棱长均为1的正n棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为.若集合，则当中的元素个数最少时，n的值为（ ）.
A.3B.4C.6D.8
16.对于函数和，及区间D，若存在实数k、b，使得对任意恒成立，则称在区间D上“优于”.有以下两个结论：
①在区间上优于；
②当时，在区间上优于.
那么（ ）.
A.①、②均正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①、②均错误
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
已知函数，其中.
（1）是否存在实数k，使函数是奇函数？若存在，请写出证明.
（2）当时，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点F为中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求点D到平面的距离.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
某街道规划建一座口袋公园.如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成.其中A、O、D三点共线，扇形半径为30米.规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道.
（1）若，，求休闲步道总长（精确到米）；
（2）若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣.请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状.
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知双曲线的左、右焦点分别为、，P为双曲线右支上一点.
（1）求双曲线C的离心率；
（2）设过点P和的直线l与双曲线C的右支有另一交点为Q，求的取值范围；
（3）过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为M、N两点，是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设是定义在R上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，称为的一个“含谷区间”.
（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
①，②；
（2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求m的取值范围；
（3）设p，，.设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为.若，且，求的最小值.