陕西省宝鸡市第一中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省宝鸡市第一中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. 2x2﹣y+1＝0B. x﹣＝0C. x2﹣1＝0D. 2x2﹣2x(x+7)＝0
【答案】C
【解析】
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
【详解】A、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；
B、该方程属于分式方程，故本选项错误；
C、x2﹣1＝0符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程化简后为﹣14x＝0，它不是关于x的一元二次方程，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义：形如的式子，其中a≠0.
2. 下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例线段的定义，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，对选项一一分析，即可得出答案．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
3. 已知四边形为菱形，点E、F、G、H分别、、、边的中点，依次连接E、F、G、H得到四边形，则四边形为（ ）
A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，根据菱形的性质得到，即可判断四边形为矩形．
【详解】连接交于，

∵点E、F、G、H分别、、、边的中点，
∴，，，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定、菱形的性质是解题的关键．
4. 在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（ ）
A. 放大5倍B. 缩小5倍C. 不能确定D. 不变
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作”求解．
【详解】解：∵，
∴的对边与斜边的比，
∵的三边都扩大5倍，
∴的对边与斜边的比不变，
∴的值不变．
故选：D．
5. 如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最理想（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】设C点为AB的黄金分割点，利用黄金分割的定义，当AC＞BC时，AC＝5﹣5；当AC＜BC时，BC＝5﹣5，则AC＝15﹣5，从而确定她至少走的路程．
【详解】解：设C点为AB的黄金分割点，
当AC＞BC时，AC＝＝×10＝5﹣5；
当AC＜BC时，BC＝＝×10＝5﹣5，则AC＝10﹣（5﹣5）＝15﹣5，
因为5﹣5﹣（15﹣5）＝10﹣20＝10（﹣1）＞0，
所以她至少走（15﹣5）米才最理想．
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
6. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案．
【详解】解：函数的图像经过点，
选项B、选项D不符合题意；
由A、C选项可知：，
反比例函数的图像在第一、三象限，
故选项A符合题意，选项C不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像与性质是解答此题的关键．
7. 如图，在中，，点D为边中点，连接，已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由余弦函数求得，根据直角三角形斜边中线的性质求得，推出，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，点D为边中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8. 如图，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，得到，再利用勾股定理求出，长，即可求出最后结果．
【详解】解：如图，连接，

则
，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角形函数，勾股定理，利用勾股定理求出边长是解答本题的关键．
9. 若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标，即可得到答案．
【详解】解：∵-（k2+1）＜0，
∴x＞0时，y＜0，y随着x增大而增大，
x＜0时，y＞0，y随着x的增大而增大，
∵-3＜-2＜0，
∴b＞a＞0，
∵1＞0，
∴c＜0，
即c＜a＜b，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数增减性是解题的关键．
10. 如图，在中，分别以，为边作等边和等边．设，，的面积分别是现有如下结论：①；②连接，，则；③若，则，其中正确结论的序号是（ ）

A. ①②B. ①③C. ①②③D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可证；②根据，即可求得全等（）；③设，，根据面积公式分别计算出即可证
【详解】解：①正确，
∵与是等边三角形，
∴
∴，
∴；
②正确，
∵与是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在与中，
，
∴（）；
③若，则正确，
设等边三角形的边长为，等边三角形边长为，
则的高为，的高为，
，
，
，
，
；
故答案是：①②③
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的比等于相似比的平方，熟知各性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11. 已知是方程的根，则代数式的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次方程根的定义得到，再整体代入代数式即可得到答案．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了代数式的值、方程根的定义，整体代入是解题的关键．
12. 如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，，若，垂足为，则的长为 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂直定义可得，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而得到，最后利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
是的中线，，
是斜边上的中线，
，
，是的中点，
，
，
由勾股定理得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质．
13. 如图，的直角顶点A在反比例函数（）的图像上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数（）的图像上，斜边交y轴于点D，若轴，，面积为6，则的值为_________．
【答案】-4
【解析】
【分析】连接OA，OC，AC交y轴于E，根据∥轴，可证△CED∽△CAB，由相似三角形性质可求S△OAE=2S△OEC，可证AB=OE，可得S△ABC=S△AOC=6，求出S△OAE=4，S△OEC=2即可．
【详解】解：连接OA，OC，AC交y轴于E，
∵∥轴，
∴∠EDC=∠ABC，∠CED=∠A=90°，
∴△CED∽△CAB，
∴，
∴，
∴AE=AC-EC=2CE，
∴S△OAE=2S△OEC，
∵AC⊥AB，AB∥y轴，
∴AC∥x轴，
∴AB=OE，
∴S△ABC=S△AOC=6，
∴S△OAE+S△OEC=6，
∴S△OAE=4，S△OEC=2，
∴k1=-8,k2=4，
∴．
故答案为-4．
【点睛】本题考查平行线性质，三角形相似判定与性质，反比例函数系数k与三角形面积关系，掌握平行线性质，三角形相似判定与性质，反比例函数系数k与三角形面积关系是解题关键．
14. 如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可．
【详解】解：过作，
菱形，，
，，即为等边三角形，，
在中，，
，
当、、三点共线时，取得最小值，
，，
，
在中，，
则的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
三、解答题（共78.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 解下列方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是解一元二次方程，根据方程找出适合的解法是关键．
（1）利用配方法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【小问1详解】
解：，
∴，
即，
∴，
解得：
【小问2详解】
解：，
∴，
∴，
解得：．
16. 计算：
（1）；
（2）．.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值代入原式计算即可；
（2）根据特殊角的三角函数值代入原式计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了三角函数值的综合应用，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
17. 在中，．请用尺规作图，在边上求作一点，连接，使得将分为两个相似三角形（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，垂线的尺规作图， 于D，根据垂线的定义得到 再证明即可证明．
【详解】解：如图所示，点D即为所求．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D即为所求．
18. 某种服装，平均每天可以销售20件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过30元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要赢利1900元，每件应降价多少元？
【答案】6元
【解析】
【分析】设每件应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该服装获得的利润＝每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设每件应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每件应降价6元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）4．
【解析】
【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD=90°，则可证得四边形CODE为矩形；
（2）首先推知△ABC是等边三角形，所以AC=4，则OC=AC=2，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可．
【详解】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
（2）解：∵菱形ABCD中，AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝4，
∴OC＝AC＝2，
∴
∴矩形OCED的面积是2×2＝4．
【点睛】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
【答案】（1）见解析（2）6
【解析】
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似；
（2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，．
，，
．
在与中，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
．
由（1）知，
，
．
，，
，
，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明．
21. 如图，已知在中，，，点D在边上，，连接AD，．

（1）求边的长；
（2）求的值．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）设，根据，可求出长度，再根据勾股定理可求出长度，即可得到长，最后由，可解出x的值．即得到长．
（2）作于点E，由，可求出长，再由勾股定理可求出，继而得到长，即可求出．
【小问1详解】
设，
根据题意：，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
，即，
解得，
经检验，是该分式方程的解．
∴．
【小问2详解】
如图，作于点E，

∵，即，
∴，
∵，
由（1）知．
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角函数综合，勾股定理的知识．理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键．
22. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【小问1详解】
由题意可得，数字1，1，2，3中，数字1有2个，
所以，从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
树状图如下：

由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
23. 雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关《测量物体的高度》的知识，测量路灯的高度AB．如图所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2米的点F处的小水潭中看到了路灯点A的影子．已知小明的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出路灯的高度AB．

【答案】4.2米．
【解析】
【分析】设米，米．利用相似三角形的性质，构建方程组求解即可．
【详解】解：设米，米．
，
，
，
①，
由题意，，，
，
，
②，
由①②解得，，
经检验，的分式方程组的解．
米．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，中心投影等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．
24. 如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的表达式；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
（3）在（2）条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C（9，3），
（2）
（3）存在，（－3，6）或（12，6）或或
【解析】
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标；
（2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
∴∆AOB≅∆BHC，
∴BH=OA=6，CH=OB=3，
∴OH=9，
∴C(9，3)
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴k=9×3=27，
∴；
【小问2详解】
如图所示，过点D作轴，，,
同（1）方法可得：，
∵，
∴四边形OGEA为矩形，
∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6，
∴D(6，9)，
∵点A’恰好落在反比例函数图象上，
∴当y=6时，x=，
∴m=，
∴D’(6+，9)即D’(，9)；
【小问3详解】
当OA’=OP时，如图所示：
∵A’(，6)，
OA’=，
四边形OPQA’是菱形，
A’Q∥OP，A’Q=OP，
Q(12,6)，
当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)；
当A’O=A’P时，如图所示：
点A’与点Q关于x轴对称，
Q(，-6)；
当PO=PA’时，如图设P（m,0），
则PO=PA’，
∴，
解得：，
∴OP=A’Q=，
∴Q(，6)，
综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6) ．
【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键．
25. 问题提出
如图，在中，．若，则的值为__________．
问题探究
如图，在四边形中，对角线、相交于点，、、、分别为、、、的中点，连接、、、．若，求四边形的面积．
问题解决
如图，某市有一块五边形空地，其中米，米，米，米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园，使点、、、分别在边、、、上，要求请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形花园？若存在，求四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】问题提出：；问题探究：；问题解决：存在四边形面积的最大值，四边形的最大面积为平方米．
【解析】
【分析】问题提出：由，得，得出，进一步得出结果；
问题探究：根据三角形中位线性质可得出，，，，从而得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，从而，进一步得出结果；
问题解决：延长，，交于，可得出四边形是矩形，设，，表示出和的面积，进而表示出四边形的面积，配方后求出结
果．
【详解】解：问题提出
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
问题探究如图，设，交于点，，交于点，作于，
∵、、、分别为、、、的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
问题解决：如下图，延长，，交于，
∵
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴可设，，
∴，
∴，
∴
∴存在四边形面积的最大值，当米时，四边形的最大面积平方米．