山东省青岛市第二十六中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省青岛市第二十六中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：90分钟，满分：120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只有一个符合题意）
1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件:①是整式方程，即等号两边都是整式;②只含有一个未知数;③整理后未知数的最高次数是2；即可解答．
【详解】解：A．未知数的最高次数是3，故错误；
B．符合一元二次方程的定义，故正确；
C．化简后得：，是一元一次方程，故错误；
D．当时，不是一元二次方程，故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的相关概念．
2. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的一般步骤，准确计算．根据配方法解一元二次方程的方法进行解答即可．
【详解】解：，
移项得：，
方程两边同加上16得：，
此方程可变形为．
故选：D．
3. 如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于( ).
A. 22.5°B. 45°C. 30°D. 135°
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型．
4. 用如图所示的A、B两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成紫色），A转盘是二等分，B转盘是三等分，分别转动两个转盘各一次（指针指向分界线则重新转动转盘），则配成紫色的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出能配成紫色的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：根据题意，列出表格如下：
一共有6种等可能结果，其中配成紫色的有2种，
所以配成紫色的概率为．
故选：C
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
5. 已知方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根，，进行求解即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即：，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查判别式与一元二次方程根的情况．熟练掌握判别式大于0，方程有两个不相等的实数根，判别式等于0，方程有两个相等的实数根，判别式小于0，方程没有实数根，是解题的关键．
6. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ）
A 2020B. 2027C. 2021D. 2023
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程左右相等的未知数的值和利用整体代入得思想是解题关键．
由题意可知，即得出，再将所求式子变形为，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根，
∴，即，
∴．
故选：D．
7. 如图是某公园在一长，宽的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为，则x满足的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程．熟练掌握矩形面积公式，平移的性质，是解决本题的关键．
根据平移的性质可得除去桥的面积后，湖的面积正好是一个长为，宽为的矩形的面积，据此列出方程即可．
【详解】解：如图，将曲桥平移至同一水平上，
可得．
故选：C．
8. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 两对角线相等的四边形是矩形B. 两对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D. 一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理可进行求解．
【详解】解：A、两对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故不符合题意；
B、两对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，故不符合题意；
C、两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，故符合题意；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理，熟记平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键．
9. 若一元二次方程x2﹣7x+5=0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y=abx+a+b的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据根与系数的关系可得出a+b=7、ab=5，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y=abx+a+b的图象经过的象限，此题得解．
【详解】解：∵方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a、b，
∴a+b=7、ab=5，
则一次函数的解析式为y=5x+7，
∴该一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．
10. 把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为（ ）

A. 3B. 4C. 4.8D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据长方形的性质得出，，由折叠的性质可得：，设，则，根据勾股定理得出：，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵长方形中，，
∴，，
由折叠的性质可得：，
设，则，
根据勾股定理得出：，
解得：，即，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
11. 一元二次方程有一个根为1，则________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义，将代入列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1，
∴满足关于x的一元二次方程，
∴，
解得，．
故答案为：5．
12. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 5 个红球和若干白球，通过多次摸球试 验后，发现摸到红球的频率约为 ，估计袋中白球有_____个．
【答案】
【解析】
【分析】根据摸到红球的频率约为，用5除以得到总球数，再计算求解即可．
【详解】解：摸到红球的频率约为，
∴不透明的袋子中一共有球为：(个)，
故估计袋子中的白球有：(个)，
故答案为：
【点睛】本题主要考查用频率估计概率及应用，解题的关键是明确频率估计概率的意义．
13. 如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质及三角形中位线定理．因为点不动，所以不变，根据中位线定理，可得的长．
【详解】解：连接
分别是的中点
为的中位线，
是矩形
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为___________．

【答案】2
【解析】
【分析】根据三角形中位线的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，由此可解．
【详解】解：中，点D、E分别是边的中点，
是的中位线，
，
，点D是边的中点，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半；直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
15. 如图矩形中，，，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点，作直线交于点，连接，点关于的对称点为点，作射线交于点，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据对称的性质和垂直平分线的性质求出，从而推出，然后设，在中，根据勾股定理建立方程求解，则可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
∵点与点关于对称，
∴，，
∴，
由作图可知，为CD的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，
在中，，
即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质、矩形的性质及余角的性质，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．
三、解答题（本题共70分）
16. 解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）利用直接开方法，解方程即可；
（2）利用配方法，解方程即可；
（3）移项，提取公因式，利用因式分解法解方程即可；
（4）先化简，再利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：
∴；
【小问2详解】
解：
∴；
【小问3详解】
或，
∴；
【小问4详解】
或，
∴．
17. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
（2）请用列表或画树状图方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】（1）
（2）树状图见解析，该游戏对双方公平
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是，
故答案为：；
小问2详解】
解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
18. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，方程的根为，，求代数式的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键；
（1）由题意可得，再求解即可；
（2）当时，一元二次方程为，再根据根与系数的关系求解即可．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：；
【小问2详解】
解：当时，一元二次方程为，
，
．
19. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．

（1）求证：；
（2）连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）矩形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，证出，，由证明，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出，，证出，由已知得出，，即可证出四边形是平行四边形．
【小问1详解】
解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∵和的平分线、分别交、于点E、F，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点G、H分别为、的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形
∵，G为的中点，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
20. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【答案】（1）
（2）5元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：（1）
（1）设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，根据三月份销售256件，五月份的销售量达到400件，列出方程进行求解即可；
（2）设降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，
由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为；
【小问2详解】
解：设降价元，由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：应降价5元．
21. 请阅读下列材料：，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得，化简，得，故所求方程为，这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________；
（2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程为：________；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根，熟练掌握“换根法”是解题的关键：
（1）设所求方程的根为，则：，得到，把代入原方程，化简即可；
（2）设所求方程的根为，则：，得到，把代入原方程，化简即可．
【小问1详解】
解：设所求方程的根为，则：，
∴，
把代入原方程，得：，即：；
故答案为：．
【小问2详解】
设所求方程的根为，则：，
∴，
把代入原方程，得：
整理得：；
故答案为：．
22. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发．
（1）________，________，________（用含的代数式表示）；
（2）经过几秒后的面积等于；
（3）四边形的面积能否等于，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）2秒 （3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形，利用面积公式正确的列出方程，是解题的关键：
（1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可；
（2）过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，利用面积公式，列出一元二次方程，进行求解即可；
（3）利用分割法求面积，列出一元二次方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，；
故答案为：
【小问2详解】
过点作，
∵，，
∴，
∴的面积为，
解得：或（不合题意，舍去）；
故经过2秒后的面积等于；
【小问3详解】
不能，理由如下：
过点作，
∵，
∴，
∴四边形的面积为，
当四边形的面积等于时，
，整理，得：，
∵，
∴方程无实数根，
故四边形的面积不能等于．
附加题（不计入总分）：（10分）
23. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B，设BD的长为x（0＜x＜8）．
（1）求证：△DCE∽△ABD；
（2）用含x的代数式表示CE的长；当CE=2时，求x的值；
（3）当x何值时，△ADE为等腰三角形（直接写出结果）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角，可以证得∠B=∠C，然后根据三角形的外角的性质，证得∠2=∠3，根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等，即可用列方程求得x的值；
（3）分三种情况进行讨论，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵，
∴，
，
∴△DCE∽△ABD；
（2）由（1）得△DCE∽△ABD，
当CE=2时，即
解得；
（3）①当DA=DE时，△DCE≌△ABD，
∴DC=AB=6，即8-x=6．解得 x=2．
②当EA=ED时，∠DAE=∠1=∠B=∠C．
∴△DAC∽△ABC．
∴，即．
解得：．
③当AD=AE时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时x=0．
（或当AD=AE时，∠1=∠AED＞∠C，
∵∠1=∠B=∠C，
∴AD=AE情况不成立．
综上所述，当或时，△ADE为等腰三角形．
红
蓝
红
（红，红）
（蓝，红）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
绿
（红，绿）
（蓝，绿）