河北省唐山市第二十六中学　 2024-2025学年上学期 九年级10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省唐山市第二十六中学　 2024-2025学年上学期 九年级10月月考数学试题（解析版）-A4，共23页。
1. 已知是关于的一元二次方程，则“？”是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】已知是关于的一元二次方程，则“？”是．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
2. 方程二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 1，1，0B. 0，1，0C. 0，，0D. 1，，0
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）中，叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【详解】解：方程的二次项系数是1，一次项系数为，常数项为0．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．正确记忆一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）是解题关键．
3. 如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若，则的度数为（ ）
A. 70°B. 90°C. 40°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=70°，
故选：A．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．
4. 如图，，是上的三点，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同弧所对圆心角等于圆周角的倍即可解答
【详解】解：，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆心角等于圆周角的倍，掌握弧、圆心角、圆周角之间的数量关系是解题的关键．
5. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．
【详解】解：
∴
解得：,
丁同学是错的，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
6. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于( )
A. 25°B. 20°C. 40°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
【详解】如图，连接OA．
∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°．
∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠C＝40°．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
7. 如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A. 3B. C. D. 0或
【答案】B
【解析】
【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，
∴m=-3
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.
8. 如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（ ）
A. aB. C. D. b
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查线段长度的最值，
只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上，且点C在AB之间时，S取到最小值，据此求解即可．
【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值．
故选：B．
9. 已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是（ ）．
A. (20)B. (2,1)C. (3,0)D. (3,1)
【答案】A
【解析】
【分析】利用坐标系结合网格得出线段AB以及线段BC的垂直平分线交点，即为△ABC对应的圆心．
【详解】解：如图所示：△ABC对应的圆心坐标是（2，0）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了垂径定理推论以及三角形外接圆圆心位置确定方法，正确掌握三角形外接圆作法是解题关键．
10. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共有飞机场（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】D
【解析】
【分析】每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航线，每两个飞机场之间只开通一条航线，等量关系为： 飞机场数 （飞机场数-1）=21，把相关数值代入求解即可．
【详解】解：设这个航空公司共有飞机场 个，

解得 （不合题意，舍去）
所以，这个航空公司共有飞机场7个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，得出飞机航线与飞机场数的等量关系，并能够正确计算是解题的关键．
11. 如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A. 1cmB. 2cmC. 8cmD. 2cm或8cm
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：连接OA，如图：
∵OH⊥AB，AB=8cm，∴AH=4cm，∵OA=OC=5cm，∴由勾股定理可得OH=3cm，∴当直线向下平移到点H与点C重合时，直线与圆相切，∴CH=OC-OH=2cm；同理：当直线向上平移到与圆相切时，平移的距离=5+3=8cm，所以直线在原有位置移动2cm或8cm后与圆相切，故选D．
考点：垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系．
12. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价x元，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，即可得解．
【详解】解：设每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得：，
故选：A
13. 如图，切于点，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理得，，，然后根据周长即可求解，理解切线长定理是解题的关键．
【详解】解：∵与相切，直线与相切，
∴，，，
∴的周长为
，
故选：．
14. 如图，，为射线上点，以点为圆心，长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转，旋转角为当射线与相切时，则（ ）
A. 30°B. 60°C. 60°或D. 60°或
【答案】C
【解析】
【分析】切线性质和旋转的性质，设旋转后与相切于点，连接，则可求得，再利用角的和差可求得的度数．
【详解】如图，设旋转后与相切于点，连接，设与与交于点，连接，

，即，
，
∴
∴是等边三角形，
则
又∵，
，
当点在射线上方时，
，
当点在射线下方时，同理可得
，
故选：C．
15. 已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（ ）
A. B. 1C. 或1D. 或3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．注意，方程有实数根，判别式大于等于零．
由方程有两个实数根得，根据根与系数的关系得，然后代入计算即可．
【详解】解：∵是方程的两实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍）或；
故选A．
二.填空题（每题3分，共12分）
16. 一元二次方程的根是________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题可对方程提取公因式x，根据因式分解法，即可求出方程的根.
【详解】∵3x2−x=0
即x(3x−1)=0
解得：，
故答案为，
【点睛】考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解是解题的关键.
17. 某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染，设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出一元二次方程即可．
【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得：
，即，
解得：x=6或（舍去）
故答案为：6．
18. 如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则______．
【答案】140°
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠BCD的度数即可．
【详解】∵∠BOD=80°，
∴∠A=40°．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-40°=140°．
故答案为140°．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
19. 如图，直线，与和分别相切于点A和点B．点M和点N分别是和上的动点，沿和平移，的半径为1，．小媛同学得到以下结论：
①若与相切，则；
②若与相切，则；
③若与相切，则；其中一定正确的有___________．
【答案】②③
【解析】
【分析】连结，根据切线的性质和得到AB为的直径，则和的距离为2；当与相切，连结，当在左侧时，根据切线长定理得，在中，利用正切的定义可计算出，在中，由于，可计算出，当在右侧时，，所以的长为或，从而判定①与③；再利用直角三角形的性质即可求出，从而判定②．
【详解】连结，如图1，
∵与和分别相切于点A和点B，
∴，，
∵，
∴，
∴点A、O、B共线，
∴为的直径，
∴和的距离为2；
作于H，如图1，
则，
∵，
∴，
∴；
当与相切，如图2，连结，
当在左侧时，，
∵，
∴，
同理，，
在中，，即，
在中，，，即，
当在右侧时，同理，，，
∴的长为或；；
故①错误，③正确；
当与相切，在左侧时，，
∵，
∴，，
∴；
同理在AB右侧时，；故②正确；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了三角函数的应用，切线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质．
三.解答题（共58分）
20. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．
（1）先移项得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程，提公因式，将方程转化为两个一元一次方程即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
，
或，
解得：，．
21. 如图，中，弦，相交于点，．
（1）比较与的长度，并证明你的结论；
（2）求证：．
【答案】（1）相等，理由见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．
（1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到．
（2）由证明，即可推出．
【小问1详解】
解：与的长度相等，理由如下：
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：在和中，
，
，
．
22. 嘉淇准备完成题目：解方程：．发现系数“□”印刷不清楚．
（1）她把“□”猜成4，请你解方程；
（2）她妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果有一个是-8．”通过计算说明原题中“□”是几；
（3）若此方程两个实根都是整数，直接写出“□”中所有可能的正数之和．
【答案】（1）
（2）5 （3）40
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，即可．
（1）利用完全平方公式将变形为：，再开方解出，即可；
（2）设一次项系数“□”为，把代入，解出，即可；
（3）设一次项系数“□”为，先利用一元二次方程根的判别式求出的求值范围，令（p，q为整数），则，解出，根据此方程两个实根都是整数，求出的所有值，将的所有值中，正数求和即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
解得：，；
【小问2详解】
解：设一次项系数“□”为，把代入，
则，
解得：；
【小问3详解】
解：设一次项系数“□”为，则，
根据题意：，即恒成立，
解得：为任何实数；
令（p，q整数），则，
，
解得：，；
方程两个实根都是整数，
或或或或或或或，
或或或或或或或，
或或或，
“□”中所有可能的正数之和为：．
23. （1）如图1，是的直径，于点，且点为中点，，求半径．
（2）如图2，在（1）的前提下，点P是直线上任意一点，连接．
①试判断，点P在直线上移动到任意位置时，与总是相等的吗？_____（填“是”或“否”）
②如果先将点P移动到与点A重合，再将点P移动到右侧，使与相切于点C，那么点P在这两个位置时，线段的长度是一样的吗？_____（填“是”或“否”）；
③如图3，当点P运动到左侧，且时，_______．
【答案】（1）的半径为2；（2）①是；②是；③
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理得，设的半径为r，则，连接，在中，根据勾股定理即可求解．
（2）①根据（1）可得，，证明，即可证出．
②如图，连接，由（1）得，得出，从而证出是等边三角形，得出，再根据与相切，是的直径，得出，证明，即可证明．
③如图，连接，根据，得出，再根据，得出，从而得出，即可得，在中，根据勾股定理得出，得出，在中，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵是的直径，，
∴，
设的半径为r，
∵点为中点，
∴，
连接，在中，，
解得：或（舍去），
故的半径为2．
（2）①根据（1）可得，，
，
，
，
故答案为：是．
②如图，连接，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵与相切，是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点P在这两个位置时，线段的长度是一样的，
故答案为：是．
③如图，连接，
∵，
∴，
根据②可得，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，
．
故答案为：．
【点睛】该题主要考查了勾股定理、二次根式的性质、圆周角定理、垂径定理、切线的性质、全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
24. 如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d．

（1）若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：______；________；________；
（2）按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 _________；
（3）嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．”淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确．
【答案】（1）；；
（2）552 （3）嘉嘉的说法错误,淇淇的说法正确，见解析
【解析】
【分析】（1）观察日历表，即可用含a的代数式表示出b，c，d；
（2）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论；
（3）嘉嘉的说法错误，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出嘉嘉的说法错误；淇淇的说法正确，根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出淇淇的说法正确．
【小问1详解】
根据题意得：．
故答案为：；；．
【小问2详解】
观察日历表，可知：a的最大值为23，
∴ab的最大值为．
故答案为：552．
【小问3详解】
嘉嘉的说法错误，理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∵10月8日为周六，不符合题意，
∴嘉嘉的说法错误；
淇淇的说法正确，理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∵10月6日为周四，符合题意，
∴淇淇的说法正确．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25. 如图，已知点D在⊙O的直径延长线上，点C为⊙O上，过D作，与的延长线相交于E，为⊙O的切线，．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）若的平分线与⊙O交于点F，P为的内心，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】想要证明，需先求出，由弦切线定理知，可发现和是和的余角，故可证，即．
方法一：连接，根据勾股定理，列出方程即可求出的长；方法二：根据相似三角形和勾股定理即可求出的长．
连接，由平分得，所以，∵为直径，，∴，又∵P为的内心，可得，进而可求．
【小问1详解】
证明：如图，
连接，
∵是⊙O的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
（2）方法一：
∵，
∴，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∴解得：或（舍去），
故．
方法二：
由弦切角定理得，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴，
解得或（舍去）,
故．
【小问3详解】
如图，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵P为的内心，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
方法二：
如图，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵P为的内心，平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理等，正确作出辅助线是解题关键．