广东省珠海市北京师范大学（珠海）附属高级中学2025届高三上学期第三次考试（10月）数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省珠海市北京师范大学（珠海）附属高级中学2025届高三上学期第三次考试（10月）数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：赵凌昊 审题人：王蕾
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式求出集合B，根据补集与解集的定义写出.
【详解】集合, ,
或,

故选：
2. 若，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先化简复数，再根据复数的特征求虚部.
【详解】，
所以的虚部是.
故选：C
3. 若，则的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】选项是的充分不必要条件，则选项的范围是的子集，以此判断选项是否满足条件.
【详解】依题意可知选项是的充分不必要条件，则选项的范围是的子集，
对于选项A，不是的子集，故A不满足；
对于选项B，不是的子集，故B不满足；
对于选项C，不是的子集，故C不满足；
对于选项D，不是的子集，故D满足.
故选：D
4. 已知向量，，若与垂直，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据与垂直，可得，即可求出，再根据模的坐标公式即可得解.
【详解】，
因为与垂直，
所以，解得，
所以.
故选：B.
5. 甲､乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲､乙到不同社区的不同安排方案共有（ ）
A. 6种B. 18种C. 36种D. 72种
【答案】D
【解析】
【分析】按照分步计数原理并利用平均分配的计算方法，即可计算得出结果.
【详解】根据题意，分成两步进行分析：
第一步，将6位同学分成3组，要求甲、乙不到同一组，有种分组方法，
第二步，将分好的3组全排列，安排到三个不同的社区，有种情况，
则共有种不同的安排方法.
故选：D
6. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据半径求底面周长，由弧长公式可得母线长，然后可得侧面积.
【详解】因为底面半径，所以底面周长，
又圆锥母线长，所以圆锥侧面积．
故选：A．
7. 已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先分析出函数单调递增，再根据函数单调性定义得到不等式组，解出即可.
【详解】因为对于，都有成立，所以函数是增函数，
则函数和均为增函数，且有，
即，解得.
故选：C.
8. 已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A. B. ．C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简得到，从而得到，根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案.
【详解】，
，，
函数在区间上恰有3个极大值点，
故，解得.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中， 正确的是（ ）
A. 数据的第百分位数为
B. 已知随机变量服从正态分布，；则
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，则
D. 若样本数据的方差为，则数据的方差为4
【答案】BC
【解析】
【分析】利用第百分位数的性质判断A，利用正态分布的性质判断B，利用回归方程的性质判断C，利用数据方差的性质判断D即可.
【详解】对于A，我们首先按顺序排列数据，得到，
而第百分位数即为中位数，所以该数为，故A错误，
对于B，因为随机变量服从正态分布，，
所以，，
故，得到，故B正确，
对于C，因为，所以，
将代入中，得到，解得，故C正确，
对于D，因为样本数据的方差为，
所以数据方差为，故D错误.
故选：BC
10. 设正实数，满足，则（ ）
A. 有最小值4B. 有最小值
C. 有最大值D. 有最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据基本不等式可进行判断.
【详解】选项A：，当且仅当时等号成立，故A正确；
选项B：，当且仅当时等号成立，故B错误；
选项C：，当且仅当时等号成立，故C正确；
选项D：，当且仅当时等号成立，故D正确；
故选：ACD
11. 设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在实数使得B. 方程有唯一正实数解
C. 方程有唯一负实数解D. 有负实数解
【答案】ABC
【解析】
【分析】求导，分析函数的图象与性质，对个选项逐一验证即可.
【详解】因为，.
由，
设，因为函数定义域为，且，，
可知方程一定有实数根，故A正确；
由f′x>0或.
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
且为极大值，为极小值.
做出函数草图如下：

观察图象可知：方程有唯一正实数解，有唯一负实数解，
故BC正确；
又，结合函数的单调性，当 时，，所以无负实数解.故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中常数项是______．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式求出指定项即可.
【详解】由的展开式的通项得：，
令，得，故．
故答案为：.
13. 已知随机事件满足，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】由乘法公式及事件和的概率公式代入数据即可.
【详解】，.
故答案为：.
14. 对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和________.
【答案】##0.375
【解析】
【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求和.
【详解】由题意可知，
，
，
，
……
，
所以，
，
，，
当时，上式也成立，
故，，
所以数列，
.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，证明：为直角三角形.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和逆用正弦和角公式得到，求出答案；
（2）由（1）得到，结合，得到，化简得到，，得到答案.
【小问1详解】
由，
可得，
所以，
所以，
则，即.
【小问2详解】
证明：由（1）可得.
又，所以，
即，
故，
所以，
即，
因为，所以为锐角，
解得（负值舍去），即，
所以为直角三角形.
16. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式；
（2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论．
【小问1详解】
由，则当时
两式相减得，所以.
将代入得，，
所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
小问2详解】
.
，
因为当时，当时，
所以当时，，
当时，.
故.
17. 在直三棱柱中，在上，且．

（1）证明：；
（2）当四棱锥的体积为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证垂直.
（2）先根据已知四棱锥的体积求的长，再利用空间向量求二面角的三角函数.
【小问1详解】
因为三棱柱是直三棱柱，且，所以两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系：

设，则，，，，.
所以，.
因为,
所以.故.
【小问2详解】
因为梯形的面积：
，
，所以.
所以，，所以.
设平面的法向量为，
则，取.
取平面的法向量为：，
设平面与平面所成的二面角为，
则，所以.
18. 某校组织知识竞赛，有两类问题．若A类问题中每个问题回答正确得20分，否则得0分；若B类问题中每个问题回答正确得50分，否则得0分．已知李华同学能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为．
（1）若李华从这两类问题中随机选择一类问题进行回答，求他回答正确的概率；
（2）若李华连续两次进行答题，有如下两个方案：
方案一：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，若答对，则第二次继续回答该类问题；若答错，则第二次回答另一类问题．
方案二：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，无论是否答对，第二次回答另一类问题．
为使累计得分的期望最大，李华应该选择哪一种方案？
【答案】（1）
（2）选择方案二．
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式计算即可；
（2）利用离散型随机变量的分布列、期望公式一一计算判定两种方案的期望大小即可.
【小问1详解】
设“选择A类问题”， “选择B类问题”，“选中问题回答正确”
则，
所以．
【小问2详解】
若选方案一：设李华累计得分为X，则X可能取值为0，20，40，50，100，
，
，
，
，
，
则X的分布列为
．
若选方案二：设李华累计得分Y，则Y可能取值为0，20，50，70，
，
，
，
，
则Y的分布列为
，
∴，故选择方案二．
19. 已知（，且）.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，求证：在上单调递增；
（3）设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式求切线方程；
（2）在上单调递增，即在上恒成立，通过构造函数求最值的方法证明.
（3）不等式恒成立，即，通过构造函数研究单调性求最值的方法，求不等式恒成立时实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，，
所以，，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
当时，，
则，
要证明在上单调递增，
只需证明在上恒成立，
则只需证，即只需证.
设，则只需证
因为，所以在单调递增，
所以时，即时，成立，
所以，所以在上单调递增.
【小问3详解】
，即，两边取对数得：，即
设，令，得，
当时，，单调递减
又因为，所以，在单调递减，
由，则在恒成立，即，
上式等价于，即，
由在单调递减，所以.
即实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.
X
0
20
40
50
100
P
X
0
20
50
70
P