2020届广东省珠海市高三上学期期末考试 数学（文）（解析版）

珠海市2019〜2020学年度第二学期普通高中学生学业质量监测

髙三文科数学

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1.已知集合A={}，B={-1,0,1,2,3},则

A.{0,1,2}  B.{0,1} C.{-1,0,1}   D.{-2,-1,0,1,2}

2.已知是虚数单位，复数满足，则

A.       B.     C.    D.

3.己知命题任意,都有;命题a>b,则有以a2>b2，则下列命题为真命题的是

A.  B.  C. D.

4.某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生.为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取

A. 10名学生 B. 11名学生 C. 12名学生 D.无法确定

5.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b, c, ,则—定为

A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形

6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次曰脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后 到达目的地.”问此人第5天和第6天共走了

A. 24 里 B. 6 里 C. 18 里 D. 12 里

7.已知满足,则在上的投影为

A. -2 B. -1 C. -3 D. 2

8.双曲线C: 的两条渐近线与圆相切，则C的离心率为

A.       B.     C.2    D.

9.函数在区间[-4,4]附近的图象大致形状是

10.已知，则

A.a<b <c   B.a<c<b C.c <a<b D.b <c<a

11.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加每次加200元的燃油，则下列说法正确的是

A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 

C.两种方案一样       D.无法确定

12.已知函数,若，则的取值范围是

A. [e,3]          B.  

C.    D.

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.函数的图象在点（1，)处切线方程为      .

14.若，则       .

15.函数在区间的最小值为    .

16.在半径为2的球内有一个内三棱锥P-ABC，点P，A,B,C都在球面上，且是边长为3的等边三角形，那么三棱锥P-ABC体积的最大值为                   .

三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试 题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一）必考题

17.(本小题满分12分）

   已知正项等差数列{}满足,等比数列{}的前项和满足,其中c是常数.

(1)求c以及数列{}、{}的通项公式；

(2)设，求数列{}的前项和；

18.(本小题满分12分)

    为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：

并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示:

(1)根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；

(2)请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关.

参考公式： ,其中.

参考数据：

19.(本小题满分12分）

   如图，四棱锥S—ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥ BC，

AB=2BC=2CD=2, 为正三角形，点M为线段AB的中点.

(1)证明：SM⊥ AD.

(2)当时，求点B到平面SAD的距离.

20. (本小题满分12分）

    中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过A(0，-1)、两点，

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线与椭圆C交于P，O两点，求当所取何值时，的面积最大.

21.(本小题满分12分）

    已知函数，其中为常数.

(1)若函数在上是单调函数，求的取值范围；

(2)当时，证明：.

 (二）选考题

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分）

    已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，直线的极坐标方程为：,曲线C的参数方程为：为参数）.

(1)写出直线的直角坐标方程；

(2)求曲线C上的点到直线的距离的最大值.

23.(本小题满分10分）

   已知.

(1)解关于的不等式;

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

珠海市2019～2020学年度第一学期普通高中学业质量监测

高三文科数学试题和答案

时间：120分钟      满分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）

1．已知集合，则

A．       B．           C．      D．

【答案】C.

解析： .则.

2．已知i是虚数单位，复数满足，则

A． B． C． D．

【答案】C.

解析：，所以.

3．已知命题：任意，都有；命题：，则有．则下列命题为真命题的是

A．         B．        C．        D． 

【答案】B.

解析：为真命题；命题是假命题，比如当或者取时，则 不成立.

4．某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生．为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取

A．10名学生       B．11名学生         C．12名学生         D．无法确定

【答案】A.

解析：得. 

5．已知的内角的对边分别为，，则一定为

A．等腰三角形　　　B．钝角三角形　　　C．锐角三角形　　　D．等腰直角三角形

【答案】A.

解析：由结合正弦定理得，,从而.

6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了

A．24里           B．6里           C．18里            D．12里

【答案】C.

解析：设第六天走了里，则第五天走了里，…，依次下去，构成一个等比数列.所有路程之和为：，解得，可知.

7．已知满足，，,则在上的投影为

A．           B．           C．            D．2

【答案】A.

解析：在上的投影为.

8．双曲线：的两条渐近线与圆相切，则的离心率为

A．　　　　  B．　　  　　C．　　    　　D．

【答案】A.

分析：数形结合可得，，，所以选A.

9．函数在区间附近的图象大致形状是

A                  B                  C                  D

【答案】B.

解析：过点，可排除选项A，D.又，排除C.

10．已知，则

A．     B．       C．        D．

【答案】B.

解析：，由幂函数为上的增函数可知

又由指数函数为上的增函数可知，所以.

11．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是

A．采用第一种方案划算   B．采用第二种方案划算   C．两种方案一样   D．无法确定

【答案】B.

解析：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．

第一种方案的均价：；

第二种方案的均价：.

所以无论油价如何变化，第二种都更划算．

本题可以从以下角度思考：第一种方案是无论价格多少都加固定升数；而第二种相当于价格便宜时多加油，价格高时少加油.

12．已知函数，若，则的取值范围是

A．　　  　B．　　  　C．　　　D．

【答案】C.

解析：法一：不妨设，由题意可知，函数的图象与直线有两个交点，其中，由，即，解得，

由，即，解得，

记，其中，，

∴当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以函数的最小值为：；而，，∴，即.

法二：数形结合，如图可将直线平移与曲线相切，利用导数求得切线，可得最小值，而最大值为（取得到）或（取不到）时.

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．函数的图象在点处切线方程为            ．

【答案】.

解析：，则，又，则切线方程为

14．若，则___________．

【答案】.

解析：.

15．函数在区间的最小值为___________．

【答案】.

解析：，则，，可知的最小值

为.

16．在半径为的球内有一个内三棱锥，点都在球面上，且是边长为的等边三角形，那么三棱锥体积的最大值为_________．

【答案】.

解析：如图：.

在中，.

三棱锥体积的最大时，最长的高为.

.

三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题

17．（本小题满分12分）

已知正项等差数列满足，，等比数列的前项和满足，其中是常数．

（1）求以及数列、的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

解：（1）数列为正项等差数列，公差，

，又，

，，可得，即可得；

①

当时，，

当时，②

①②即可得，，又为等比数列，

，即可得，，；

（2）由题意得，

，③

，④

③④可得：．

．

18．（本小题满分12分）

为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：

并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：

（1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；

（2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．

参考公式：，其中．

参考数据：

解：（1）

该款手机的平均使用时间为7.76年.

（2）

可知有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形，点为线段的中点．

（1）证明；

（2）当时，求点到平面的距离．

解：（1）取的中点，连接、，

由题意可知：

.

为正三角形

.

又，，面，

面.

面，

.

（2）由题意可知，且，

，且，

.

又，

.

由（1）知，且，面，

面，

三棱锥的体积为，

设点到平面的距离为，

则，

得.

20．（本小题满分12分）

中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆过、两点，

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，求当取何值时，的面积最大．

解：（1）由题意可设椭圆的方程为，代入、两点得

      解得，得椭圆.

（2）将直线代入得：.

整理得：.

得.

由韦达定理得，.

.

由二次函数可知当即时，的面积的最大．

21．（本小题满分12分）

已知函数，，其中为常数．

（1）若函数在上是单调函数，求的取值范围；

（2）当时，证明：．

解：（1）求导得，，

①当在上为单调递减函数时，即恒成立，

又，，．

②当在上为单调递增函数时，即恒成立，

又，，；

综上所述：在上为单调递减函数时，；

在上为单调递增函数时，．

（2）证明：要证，只需证恒成立，

令，，则，

令，，则.

易证当时，.

，即在上递减，

，即，在上递减，

即，命题得证．

（二）选考题

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：为参数）．

（1）写出直线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．

解：（1）直线的极坐标方程为：，

，

，．

（2）根据曲线的参数方程为：为参数）．

得：.

它表示一个以为圆心，以2为半径的圆，

圆心到直线的距离为：，

曲线上的点到直线的距离的最大值．

23．（本小题满分10分）

已知．

（1）解关于的不等式；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）当时，不等式化为，得即

当时，不等式化为，成立，即

当时，不等式化为，得即

综上所述：所求不等式的解集为.

（2）

若恒成立，则.

解得.