广东省珠海市北京师范大学（珠海）附属高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可得解.
【详解】因为，，，
所以，解得.
故选：C.
2. 已知是三角形的一个内角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由同角的三角函数的关系式求出 ，结合已知，再利用两角和的余弦公式可求的值.
【详解】由是三角形的一个内角，，则
所以，即
由，即，
所以，则
故选：A
3. 已知平面向量，，若，则（ ）
A. 或B. 或
C. 或3D. 或3
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示得到，再进行弦化切即可得到.
【详解】，且，
，即，
，即，
或.
故选：A.
4. 若向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】给，两式两边分别平方化简，再将代入，两式再消去，可得向量，的夹角.
【详解】解：令向量，的夹角为，
因，，
所以，
因为，所以得
解得，
因为，所以，
故选：B
【点睛】此题考查向量的数量积、向量的模、向量的夹角等知识，属于基础题.
5. 下列函数中，以为周期且在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】A. 由判断；B.由判断；C.作出 图象判断；D. 作出的图象判断.
【详解】A. 因为，则，由，得，所以 单调递增，故正确；
B. ，则，由，得，所以不单调，故错误；
C. ，其图象如图所示：，由图象知：，由，得，因为不单调，故错误；
D. ，其图象如图所示：由图象知：，由，得，因为不单调，故错误；
故选：A
6. 如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为是的边上的中线，
所以，所以
.
故选：C
7. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式把函数化为同名函数，结合函数图象变化规则即可求解.
【详解】因为
，
则向左平移个单位后得，
故选：B.
8. 如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（ ）

A. B. C. 6D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解.
【详解】根据题意可得，，
所以，
又因为，
所以,，
设,则，
所以，
，
所以
，
令，
当单调递增，单调递减，
当，取最大值为.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点D，E，F分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量加减法的三角形法则及中点，再利用三角形的中位线及平行四边形的性质即可求解.
【详解】对于A,，故A正确；
对于B,，故B正确；
对于C,因为D，E，F分别是的边，，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，即，故C正确；
对于D,因为F为的中点，所以，所以，故D错误．
故选:ABC．
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 在区间上是增函数
B. 点是图象的一个对称中心
C. 若，则的值域为
D. 的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到
【答案】CD
【解析】
【分析】根据函数图像特征，从最小值，周期，及最低点坐标可依次求出参数值，得到函数解析式；将看成整体角z，由选项求出其值或取值范围，结合正弦函数的图象即可判断单调性、对称性以及函数的值域；最后通过诱导公式将化成，经过平移图象即可判断.
【详解】
由图知，,则,故，
代入点，即得：，则，
故，因，则得：，即：.
对于A项，由，得，
所以函数在区间上是增函数.
当时，函数在区间上是增函数，
故函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，故A项错误；
对于B项，由，得，
函数图象的对称中心是，（而时，，故B项错误；
对于C项，若，则，
则的值域为，故C项正确；
对于D项，，
将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D项正确.
故选：CD.
11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A. 点P再次进入水中时用时30秒
B. 当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C. 当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D. 点P第二次到达距水面米时用时25秒
【答案】BCD
【解析】
【分析】以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点P距离水面的高度，逐一分析各选项即可求解.
【详解】解：由题意，角速度弧度/秒，
又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A错误；
当水轮转动50秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确；
以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度，
由，所以，
又角速度弧度/秒，时，，所以，，
所以点P距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，点P距离水面2米，故C正确；
将代入中，得，或，即，或．
所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意存在，使得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为向量与的方向相反，
所以存在，使得，
又，是两个不共线的非零向量，
所以，解得或（舍去）.
故答案为：
13. 若，则________，________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据两角差的正切公式，以及正切的倍角公式，准确运算，即可求解.
【详解】因为，
所以，且.
故答案为：；.
14. 已知函数，给出下列五个说法:①；②若，则；③在区间上单调递增；④将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象；⑤函数的图象关于点成中心对称.，其中说法正确的是___(填序号).
【答案】①④
【解析】
【分析】先求函数的周期，结合周期性的性质可得，再由解析式求函数值，判断①，
根据正弦函数性质化简关系，可得关系，由此判断②，
求函数的单调区间，对称中心，判断③⑤，根据函数图象平移结论求平移后解析式，判断④.
【详解】因为，
所以函数周期，
，命题①正确；
因为所以，
所以，
所以或，，
所以或，，命题②错误，
令，得
所以函数的单调递增区间为，
但不包含于，
故函数在区间上不是单调递增函数，命题③错误，
函数的对称中心的横坐标满足，，
解得，，
当，时，，
所以函数的对称中心的坐标为，
故点不是其对称中心，命题⑤错误，
将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，
命题④正确.
故答案为：①④.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，求，，的值．
【答案】，，．
【解析】
【分析】由同角三角函数关系及角范围得到，利用二倍角公式进行求解即可.
【详解】因为，所以．
所以．
所以，
，
．
16. 已知，且与的夹角为120°，求：
（1）；
（2）与的夹角；
（3）若向量与平行，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用展开计算；
（2）求出，，然后利用公式计算即可；
（3）存在实数使，利用系数对应相等列方程组求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
因为，
所以，又，
所以，又，
所以与的夹角为；
【小问3详解】
因为向量与平行，
所以存在实数使，
所以，解得.
17. 已知函数．
（1）用五点作图法画出函数在一个周期上的简图；
（2）若，求．
【答案】（1）答案见解析
（2）或．
【解析】
【分析】（1）利用五点作图的要求列表作图即可；
（2）根据三角函数的图像与性质计算即可.
【小问1详解】
由“五点作图法”列表如下：
图象如下：
【小问2详解】
由，得，
所以或，即或．
又因，所以k取0，得或．
18. 已知函数的最小正周期是．
（1）求的解析式，并求的单调递减区间；
（2）将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，若时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1），单调递减区间为，
（2）
【解析】
【分析】（1）化简函数解析式，在求单调递减区间处理即可.
（2）合理分析题意，分离参数法处理即可.
【小问1详解】
∵，
由，解得，
．
由，
得，
∴，
【小问2详解】
依题意得，
∵，∴
∵当时，恒成立，
∴只需，转化为求的最大值与最小值．
当时，为单调减函数，
∴，
从而，，即，
故的取值范围是．
19. 某港口水深（米是时间（，单位：小时）函数，下表是水深数据：
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.

（1）试根据数据表和曲线，求出的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
【答案】（1）
（2）16小时.
【解析】
【分析】（1）根据图象的最高点和最低点可以求出，由两个最高点的之间的距离可以求出，从而可求函数的表达式；
（2）在当的前提下，解不等式即可.
【小问1详解】
根据数据，，
，，，
，
函数的表达式为；
【小问2详解】
由题意，水深，
即，
，
，，1，
或；
所以，该船在至或至能安全进港，
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.x
0
0
3
0
0
（小时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0