人教版数学七年级下册期末培优专题14 相交线与平行线中的旋转问题训练（2份，原卷版+解析版）

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解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、解答题
如图1，已知，且．
求的度数；
如图1所示，射线AM绕点A开始顺时针旋转至AN便立即回转至AM位置，射线BP绕点B开始顺时针旋转至BQ便立即回转至BP位置．若AM转动的速度是每秒2度，BP转动的速度是每秒1度，若射线BP先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线BP到达BQ之前，射线AM转动多少秒？两射线互相平行．
如图2，若两射线分别绕点A，B顺时针方向同时转动，速度同，在射线AM到达AN之前，若两射线交于点C，过C作交PQ于点D，且，在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系：若改变，请说明理由．
【答案】解：，：：1，
，
故答案为：；
设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
当时，如图1，
，
，
，
，

，
解得 ；
当时，如图2，
，
，
，


，
解得 ，
综上所述，当秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
和关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
，
，
又，
，而，
，
：：1，
即，
和关系不会变化．
【知识点】角的计算、平行线的性质、分类讨论思想
【解析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
根据，：：1，即可得到的度数；
设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得 秒；当时，根据，可得秒；
设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出：：1，据此可得和关系不会变化．
如图，，，，把绕O点以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕O点以每秒的速度逆时针方向旋转．设旋转后的两个角分别记为、，旋转时间为t秒．
当秒时，______；
当射线与重合时，求t的值；
当射线恰好平分时，求t的值；
在整个旋转过程中，有______秒小于或等于？直接写出结论
【答案】解：
；
当射线与重合时，得方程，
解得：，
故旋转时间为10秒时，射线与重合；；
当射线恰好平分时，
即、两个角重合部分为
得方程，
即，解得：，
故时间t为秒时，射线恰好平分；
．
【知识点】角的计算、角的平分线、一元一次方程的应用、分类讨论思想
【解析】
【分析】
本题考查的是角的计算，角的平分线，用方程的思想解决角的旋转的问题，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据题意可知，代入t的值即可求解；
该情况相当于行程问题中的相遇问题，射线与重合时，与旋转的角度之和等于，得方程，解方程即可；
，当射线恰好平分时，也就是两个角旋转重合部分为，所以得方程，解方程即可；
求两个临界点的时间差即可，即时的时间t，与重合前，与重合后，两个时间差之内，小于或等于．
【解答】
由题意知，
当时，
故答案为．
见答案；
见答案；
当时，分与重合前与与重合后两个时刻，即
与重合前，，则
得；
与重合后，，则
得；
在旋转过程中，当时，，得到

故整个旋转过程中，有秒小于或等于．
探索新知
如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“妙分线”．
解决问题
如图2，若，且射线PQ是的“妙分线”，则________用含的代数式表示出所有可能的结果
深入研究
如图2，若，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当PQ与PN成时停止旋转，旋转的时间为t秒．
当t为何值时，射线PM是的“妙分线”．
若射线PM同时绕点P以每秒的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止．请求出当射线PQ是的“妙分线”时t的值．
【答案】解：，，；
依题意有
，解得；
，解得；
，解得．
故当t为或或时，射线PM是的“妙分线”；
依题意有
，解得；
，解得；
，解得．
故当t为3s或或9s时，射线PQ是的“妙分线”．
【知识点】角的计算、一元一次方程的应用、分类讨论思想、旋转的基本性质
【解析】本题考查了旋转的性质，妙分线的定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．
分3种情况，根据妙分线定义即可求解；
分3种情况，根据妙分线定义即可求解；
分3种情况，根据妙分线定义即可求解．
光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？即求MN与水平线的夹角
如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、，，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度秒和3度秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【答案】解：平行．
理由如下：
如图，
，
，
，
，
；
如图2，
入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
，
入射光线a与水平线OC的夹角为，b垂直照射到井底，
，
，
与水平线的夹角为：；
存在．
如图3，
与CD在EF的两侧时，
，，
，
，
要使，
则，
即，
解得；
此时，
，
旋转到与AB都在EF的右侧时，
，，
，
，
要使，
则，
即，
解得，
此时，
，
旋转到与AB都在EF的左侧时，
旋转前，，
旋转后，
，
要使，
则，
即，
解得，
此时，
，
此情况不存在．
综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行．
【知识点】平行线的性质、一元一次方程的应用、分类讨论思想、钟面角、平行线的判定与性质
【解析】本题主要考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键，要注意分情况讨论．
根据等角的补角相等求出与的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定；
根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得，然后根据平角等于求出的度数，再加上即可得解；
分与CD在EF的两侧，分别表示出与，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；
旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出与，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；
旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出与，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解．
如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中．
将图1的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边0M在的内部，且恰好平分，求的度数；
将图1中的三角尺绕点O按每秒10的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边MN恰好与射线0C平行；在第 秒时，直线ON恰好平分锐角直接写出结果；
将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】解：，
，
又平分，
，
；
或27；12或30；
与之间的数量关系为，理由如下：
，，
， ，
，
．
【知识点】角的计算、角的平分线、平行线的性质、旋转的基本性质
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质，读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据解答；
分别分两种情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解；
用和表示出，然后列出方程整理即可得解．
【解答】
解：见答案；
，
，
，
当ON在直线AB上时，，
旋转角为或，
每秒顺时针旋转，
时间为9或27，
直线ON恰好平分锐角时，
旋转角为或，
每秒顺时针旋转，
时间为12或30；
故答案为9或27；12或30．
见答案．
如图，直线EF与MN相交于点O，将一直角三角尺的直角顶点与点O重合，直角边OA与MN重合，OB在的内部将三角尺绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，设运动时间为ts．
当t为何值时，直角边OB恰好平分此时OA是否平分请说明理由．
若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
当t为何值时，EF平分
能否平分若能，请直接写出t的值若不能，请说明理由．

【答案】解：当直角边OB恰好平分时，
，
，
解得：．
此时，
此时OA平分．
平分，
依题意有，
解得；
OF平分，
依题意有，
解得．
故当t为或时，EF平分；
能．
OB在MN上面，
依题意有，
解得；
OB在MN下面，
依题意有，
解得．
故EF能平分，t的值为14或38s．
【知识点】角的计算、角的平分线、分类讨论思想、旋转的基本性质
【解析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，旋转的性质的有关知识．
根据：角度速度时间进行计算，由等量关系：直角边OB恰好平分，列出方程求解即可．
由于OE的旋转速度快，需要考虑2种情形列方程解决．
通过计算分析OE，OB的位置，需要考虑2种情形列方程解决．
“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且：：1．
填空： ．
若灯B射线先转动45秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
【答案】解：
设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
当时，如图1，
MN，
，
BD，
，

，
解得 ；
当时，如图2，
MN，
，
BD，


，
解得 ，
综上所述，当秒或105秒时，两灯的光束互相平行；
【知识点】平行线的性质、分类讨论思想
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行讨论．
根据，：：1，即可得到的度数；
设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得 t；当时，根据，可得t的值．
【解答】
解：，：：1，
，
故答案为：；
见答案．
如图，已知，一条直线分别交AB、CD于点E、F，，，点Q在BF上，连接QH．

已知，求的度数；
求证：FH平分．
在的条件下，若，将绕着点F顺时针旋转，如图，若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为，请直接写出当为多少度时，QH与的某一边平行
【答案】解：
，
，
又，
，
又，
；
，
，
，，
又，
，
即FH平分．
情况一：
QH与的边BF平行时，如下图1和图4所示：
当为图1时，
与HQ平行，
，
又，
，
此时旋转角

当为图4时
此时
旋转角；
情况二：QH与的边平行时，
如下图2所示：
此时，

旋转角

情况三：QH与的边EF平行时，
如下图3所示：
此时，
旋转角
综上所述，旋转角或或或．
【知识点】平行线的性质、分类讨论思想
【解析】本题主要考查平行线的性质，分类讨论思想．
利用平行线的性质说明，求解即可；
证明，，利用等角的余角相等即可说明结论；
分QH与的边BF平行时，QH与的边平行时，QH与的边EF平行时，三种情况讨论即可．
如图，已知，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分，BE平分，直线DE、BE交于点E，．
若，求的度数；
将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若，求的度数用含n的代数式表示
【答案】解：如图1，过点E作，
，，
，，
平分，BE平分，
，，
，
，
，，
．

．
有3种情形，如图2中，当点E在直线MN与直线PQ之间时．延长DE交MN于H．
，
，
，
当点E在直线MN的下方时，如图3中，设DE交MN于H．
，，
又，
，
当点E在PQ上方时，如图4中，设PQ交BE于同法可得．
综上所述，或或
【知识点】角的平分线、平行线的性质、分类讨论思想
【解析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义有关知识．
过点E作，由平行线的性质及角平分线求得和，即可求出的度数，
过点E作，由平行线的性质及角平分线求得和，即可求出的度数．
将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起其中，，；：
三角板ACB的位置保持不动，将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转至图2，若，则的度数为___________；
三角板ACB的位置保持不动，将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转，当旋转至恰好，求的度数要求在备用图上补全相应的图形再解答
当且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值不必说明理由；若不存在，请说明理由．
【答案】解：；
当点E在直线BC的上方时，如图所示
当时，延长BC交DE于M，
，
，
，
；
当点E在直线BC的下方时，如图所示
当时，设DC交AB于点N，
，
，
，
；
综上，当，的度数为或；
存在．
当且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺存在一组边互相平行，的值为或或或或．
【知识点】三角形的外角性质、平行线的性质、分类讨论思想、几何变换综合
【解析】
【分析】
此题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，三角形外角性质，也考查了分类讨论的思想，掌握平行线的性质是解题的关键，属于难题．
首先证明，即可得到；
画出图形，利用平行线的性及三角形外角性质可得答案；
有五种情形，画出图形即可解决问题．
【解答】
解：如图2中，
，
，
，
，
．
故答案为；
见答案；
存在。
时，如图
，
时，如图
，
时，如图
，
时，如图
，
时，如图
，
综上所述，当且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺存在一组边互相平行，的值为或或或或．
长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，且a、b满足假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且
求a、b的值；
若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作交PQ于点D，则在转动过程中，__________________．
【答案】、b满足，
，解得
答：，．
设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
，
当时，

解得．
当时，

解得．
当时，

解得：不合题意，舍去
综上所述，当秒或85秒时，两灯的光束互相平行．
．
【知识点】方程思想、非负数的性质：绝对值、平行线的性质、非负数的性质：偶次方、分类讨论思想
【解析】
【分析】
本题考查了绝对值和偶次方的非负性，平行线的性质，角度计算，由动点问题引起的分类讨论；方程思想，掌握平行线的性质和分类讨论的数学思想是关键．
先根据绝对值和偶次方的非负性得方程，解方程求得a、b的值即可．
设A灯转动t秒，即B灯转动秒，由于灯A转动速度为灯B的3倍，故灯B射线到达BQ前，灯A已转到AN并返回转，所以两灯光束平行有三种情况：当时；当时；当时，可用t表示两转动角度，列方程即能求t即可解答；
设两灯同时转动x秒，过点C作PQ的平行线，构造内错角相等的等量关系，即可用x表示图中所有角的度数，进而求：的值．
【解析】
解：见答案．
见答案．
如图，过点C作，


设两灯转动时间为x秒，则，
，






：
故答案为：．