2024-2025学年黑龙江省牡丹江市高一(上)第二次三校联考数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年黑龙江省牡丹江市高一(上)第二次三校联考数学试卷(解析版)，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以．
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】命题“，”的否定是“，”.
故选：D.
3. 函数的定义域为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】由解得或．
故选：D．
4. 已知幂函数的图象经过点，则＝（ ）
A. B. 9C. D.
【答案】D
【解析】设，由的图象经过点，得，解得，
即，所以.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】取，，可知A，B错误；
因为，所以C正确；
取，可知D错误.
故选：C.
6. 经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中，且．若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】当时，，当时，，
故；当时，，
故，所以．
故选：A．
7. 函数的图象与的图象的交点个数为（ ）
A 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】在同一直角坐标系中，作两个函数与的图象，
由图可知，两函数的图象的交点个数为4．
故选：C．
8. 已知函数的定义域为，，，都有，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当，时，，所以；
令得，所以；
，，，…，
.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】因为不等式的解集为，
所以，，4是方程的两根，
所以，，则，A错误；
，则，D正确；
因为，所以，B正确；
因为，所以，，两式相加得，
即，C正确．
故选：BCD．
10. 若，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为函数在0,+∞上单调递减，所以，则，所以，A正确；
由，得，，但与1的大小关系不确定，所以B错误；
由，得，则，所以，C正确；
由，得，所以，但与1的大小关系不确定，所以D错误．
故选：AC．
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，为偶函数B. 既有最大值又有最小值
C. 在上单调递增D. 的图象恒过定点
【答案】ACD
【解析】当时，，定义域为，因为，
所以为偶函数，A正确；
因为，所以，
则有最大值，没有最小值，B错误；
因为在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，
C正确；
当时，，所以的图象恒过定点，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则______.
【答案】0
【解析】已知函数，则，所以．
13. 若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】根据对数函数的图象可知，
要使函数的图象经过第一、二、三象限，
则，即，所以，故实数的取值范围为．
14. ，分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则________.
【答案】4
【解析】因为
因为，，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．
（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）当时，不等式为，
解得，即：；
由，得，即：，
由和都是真命题，得，
所以实数的取值范围是．
（2）由，，得，即命题：．
由（1）知命题：，
因为是的充分不必要条件，因此解得，
所以实数的取值范围是．
16. 已知函数为奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性并证明．
解：（1）因为函数为奇函数，定义域为，
所以，即恒成立，所以，
又，所以，所以．
（2）在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
又，且，所以，，，
所以，即，所以在上单调递增．
17. 一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比；每月土地占地费用（单位：万元）与（单位：km）成反比，当在距离车站5km处建仓库时，和的费用分别为1万元和8万元．
（1）若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离（单位：km）应该在什么范围？
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值．
解：（1）设，，
由题知：当时，和的费用分别为1万元和8万元，
即，，解得，，
所以，．
若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，
即，解得，
所以若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，
则仓库到车站的距离的取值范围为（单位：km）．
（2）由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以仓库到车站的距离为15km时，两项费用之和最小，最小值为7万元．
18. 已知函数图像经过点，.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）求关于的不等式的解集.
解：（1）由题意可知，解得或，（舍去），
所以.
（2）证明：因为，
所以曲线关于点对称，故曲线是中心对称图形.
（3）由（1）可知，，
易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减.
由（2）可知，，
由，得，
即，
根据在上单调递减，得，
整理得，，即.
当时，解得；
当时，无解；
当时，解得.
综上可知，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19. 现定义了一种新运算“⊕”：对于任意实数，，都有（且）．
（1）当时，计算4⊕4；
（2）证明：，都有；
（3）设，若在区间上解：（1）当时，．
（2）因，
，
所以．
（3）由新运算可知，
，
令，则在上单调递减，
由于在上的值域为，
所以，则，
所以在上单调递增，则，即
整理得，，所以，
将代入，得，
同理得，．
所以，是函数在上的两个不同的零点，
则
解得，
所以，
故实数的取值范围为．