2024-2025学年浙江省G5联盟高一(上)期中联考数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年浙江省G5联盟高一(上)期中联考数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为集合，所以.
故选：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则由不等式的性质知，，故充分性成立；
若，则，即，
解得或，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
3. 已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】函数恒过定点，
，解得，，
，
在上为递增的奇函数，其图象经过第一第三象限及坐标原点，
的图象不经过第四象限．
故选：D．
4. 已知，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，则，
所以的解析式为.
故选：D.
5. 关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ）
A. 或B.
C D.
【答案】C
【解析】设，
则由题意可知，即，解得，
故实数的取值范围是.
故选：C．
6. 已知函数为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】为奇函数，设，，则，
，
，．
故选：C．
7. 若，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数在上为减函数，函数在上为增函数，
则，即，
因为对数函数在上为增函数，则，
因此，.
故选：B.
8. 定义在上且都不恒为零的函数与进行下列运算，正确的是（ ）
A. 若均为奇函数，则为奇函数
B. 若单调性相同，则为增函数
C. 若，则
D. 若，则
【答案】A
【解析】对于A，若，均为奇函数，则，
则，则函数为奇函数，故A正确；
对于B，设，，在上都是增函数，
则，但其在上不具有单调性，故B错误；
对于C，设，，满足，但不成立，故C错误；
对于D，设，，，
在上递增，满足，但为减函数，
，故D错误.
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】AD
【解析】由，可得，利用换底公式可得，A项正确；
因为，且，
所以，则，
所以，选项B错误；
因为，
所以，C项错误；
，所以，D项正确．
故选：AD．
10. 函数，若该函数存在最小值，则的可能取值是（ ）
A B. C. D. 3
【答案】AB
【解析】由题可知且，
当时，函数在上单调递减，且，；
此时函数在，单调递减，
要使函数有最小值，则，
解得，所以；
当时，函数在，上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
要使函数有最小值，则，解得，不满足；
当时，，此时函数有最小值2，满足题意；
当时，，函数无最小值，不满足题意；
当时，函数在，和上单调递增，不满足题意；
综上，或.
故选：AB.
11. 已知，对关于的方程的实数解情况进行讨论，则下列结论中正确的是（ ）
A. 存在，使该方程无实根
B. 对任意，该方程至少有一个实根
C. 存在，使该方程有两个实根
D. 存在，使该方程有三个实根
【答案】BCD
【解析】对于AB，由题意知：方程的实数解，
即为函数与的图象交点的横坐标，
，作出其图象如下：
由函数图象特征可知直线一定会与的图象有交点，故A错误，B正确；
对于C，如图，当直线位于位置①时，直线与的图象有两个公共点，C正确；
对于D，如图，当，时，直线位于位置②，此时直线的图象有三个交点，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出命题“”的否定__________．
【答案】
【解析】“，”的否定：，．
13. 已知奇函数在上单调递减，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】因为奇函数在上单调递减，
故，时，，时，，
则不等式可化为或，
即或，所以.
所以不等式的解集是.
14. 已知，，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为，，则，，
因为，则，即，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
解：（1），则，
集合，
则或，故.
（2）因为，则，
当时，符合，此时，解得，
当时，要使，，则，解得，
综上所述，的取值范围为.
16. 设函数.
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
（2）解关于的不等式：．
解：（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立.
当时，不等式可化为，不满足题意.
当，有，即，解得，
所以的取值范围是．
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式解集为.
当时，不等式化为，此时，
所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17. 某学校计划在半径为2的半圆形广场规划一等腰梯形绿化，等腰梯形下底边为半圆直径，、在圆周上．
（1）写出这个梯形周长与腰长的函数解析式，并求出它的定义域；
（2）当所截梯形的周长最大时，用一条垂直于底边（垂足为）的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，若左边部分的面积为时，求的长．
解：（1）如图，过作于，圆心为，连接，
设，则，由，
得，整理得，
则，所以，
由于，，所以．
故所求函数为，.
（2）由（1）知，，，
则当时，取得最大值，
此时，，，，
则等腰梯形的底角为，面积为，
令，则时，，解得（舍去）；
当时，，解得；
当时，，
解得（舍去）或（舍去）.
综上所述，.
18. 已知函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）若方程在上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
解：（1）根据题意，因为是奇函数，其定义域为，
所以，
解得.
（2）由（1）的结论，，
函数在上单调递减，证明如下：
任取，
所以，
由，可得，
所以，
所以，即，
所以在上单调递减．
（3）方程等价于，
因为方程在上恰有两个不相等的实数根，
且在上单调递减，
所以在上恰有两个不相等的实数根，
令，则方程转化为在上恰有两个不相等的实数根，
由二次函数的图象与性质可得，解得，
所以的取值范围是．
19. 定义．
（1）写出函数的表达式；
（2）已知函数，求的最小值；
（3）已知函数，当时，的最小值为8，求实数的取值范围．
解：（1）根据已知．
可得．
化简得．
（2）由题可知．
因为，当过时，
作出函数的大致图象，
当时，由可得，
所以．
当时， ．
综上，．
（3）因为，
令，解得，
所以，
因为，所以．
因为，恒过定点，
所以，即，所以实数的取值范围为．