广东省深圳市松岗中英文实验学校2024-2025学年九年级上学期数学月考试卷 （9月）（解析版）-A4

这是一份广东省深圳市松岗中英文实验学校2024-2025学年九年级上学期数学月考试卷 （9月）（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8题，共24分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、当a=0时，不一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．
2. 新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染，根据经过两轮传染后有64人患病，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染．
依题意得，
即．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A. 当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形
B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C. 当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D. 当∠DAB＝90°时，四边形ABCD是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可
【详解】A.四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,
四边形ABCD是矩形,正确,故本选项错误
B.:四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，
四边形ABCD是菱形,正确,故本选项错误;
C.四边形ABCD是菱形，AC平分∠BAD，
四边形ABCD是菱形,正确,故本选项错误;
D.四边形ABCD是平行四边形,∠DAB=90°
四边形ABCD是矩形,错误,故本选项正确
故选D.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，正方形的判定和矩形的判定，掌握判定定理是解题关键
4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B.
C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：A．
5. 如图，某十字路口有交通信号灯，在东西方向上，红灯开启秒后，紧接着绿灯开启秒，再紧接着黄灯开启秒，然后接着又是红灯开启秒……按这样的规律循环下去，在不考虑其他因素的前提下，当一辆汽车沿东西方向随机行驶到该路口时，遇到绿灯开启的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是概率公式的应用，解题关键是熟练掌握概率公式．
根据概率公式随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数，即可求解．
【详解】解：红灯开启秒后，绿灯开启秒，再黄灯开启秒，
，
故选：．
6. ，是一元二次方程的两个根，，对的估算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据韦达定理找到=1-,利用不等式性质求解即可.
【详解】解：由韦达定理知+=1,即=1-,
∵，
∴，整理得：,
故选A.
【点睛】本题考查了韦达定理和解不等式,属于简单题,熟悉韦达定理的内容是解题关键.
7. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则的长为（ ）
A. 2.5B. 3C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.
利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解.
【详解】解：由题意得，，
∵矩形中，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
在中，，
故选：B．
8. 对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（图1），再折叠一次，使点A落在上的处，得到折痕，延长交于点H（图2）．则下列结论：①；②；③；④是等边三角形．正确的是（ ）

A. ①④B. ②③C. ①③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，翻折变换及其性质，①由折叠性质得， 1，由此得，则为等边三角形，进而得，由此可对结论①进行判断；②在中，，由此可对结论②进行判断；③在中，，，则，由此可对结论③进行判断；④根据得，再根据得，则，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①连接，如图所示：

∵四边形为矩形纸片，
∴，
由折叠性质得：，，，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，故结论①正确；
②在中，，
∴，故结论②不正确；
③在中，，
∴，故结论③正确；
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①③④．
故选：C．
二、填空题（共5题，共15分）
9. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是________．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是根据题意得到，再代入求值．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：2024．
10. 国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的有________ 人．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意准确找出等量关系是解答本题的关键．设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程解答即可．
【详解】设有x个人参加聚会，
根据题意可得：，
所以，
解得，（不合题意舍去），
所以参加聚会的人数是有13人．
故答案为：13．
11. 在如图所示电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______．
【答案】．
【解析】
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为：=．故答案为．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比
12. 如图，在正方形中，点E、F、G分别在上，，，与于点P，连接，则的最小值为______．

【答案】##
【解析】
【分析】过点E作于点M，取的中点Q，连接，根据正方形的性质证明，然后根据直角三角形性质可得，当Q、D、P共线时，DP有最小值；最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：过点E作于点M，取的中点Q，连接，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴,
在和中，，
∴，
∴,
∵,
∴.,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是直角三角形，Q是的中点，
∴，
∵,
∴，
∴,
∵，
∴当Q、D、P共线时，有最小值，
∵，,
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题是解答本题的关键．
13. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论序号是___________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】过点E作EM⊥DC于点M，EH⊥BC于点H，利用正方形的性质和判定，三角形全等的判定和性质，推理论证即可．
【详解】如图，过点E作EM⊥DC于点M，EH⊥BC于点H，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠BCD=90°，∠ECM=∠ECH=∠CEM=45°，
∴四边形EHCM是矩形，MC=ME，EM∥CF，
∴四边形EHCM是正方形，∠EFH=∠FEM，
∴EM=EH，
∵ 四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF=90°，
∴∠EDM=90°-∠DEM，∠FEM=90°-∠DEM，
∴∠EDM=∠FEM，
∴∠EDM=∠EFH，
∴△EDM≌△EFH，
∴ED=EF，
故结论①正确；
∴四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG，
∵∠CDG=90°-∠EDM，∠ADE=90°-∠EDM，
∴∠CDG=∠ADE，
∴△ADE≌△CDG，
故结论②正确；
∴∠DCG=∠DAE=45°，
∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=45°+45°=90°，
∴AC⊥CG；
故结论③正确；
若CE=CF，则
∴
∴
∴ 与题干不符，
∴无法判定CE=CF，故结论④错误；
正确的结论有①②③，
故答案：①②③．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（共7题，共61分）
14. 用指定方法解下列方程：
（1）2x2-5x+1＝0(公式法)；
（2）x2-8x+1＝0(配方法)．
【答案】（1）x1＝，x2＝
（2）x1＝4+，x2＝4-
【解析】
【分析】（1）根据公式法，可得方程的解；
（2）根据配方法，可得方程的解．
【小问1详解】
解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
【小问2详解】
解：移项得，
并配方，得，
即(x-4)2＝15，
两边开平方，得x＝4±，
∴x1＝4+，x2＝4-．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法解一元二次方程的关键是配方，利用公式法解方程要利用根的判别式．
15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值．
【答案】（1）该方程不是“邻2根方程”
（2）或
【解析】
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解．
（1）求解方程，即可进行判断．
（2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻2根方程”即可求解．
小问1详解】
解：∵
∴
∴
∵，
故该方程不是“邻2根方程”．
【小问2详解】
解：∵
∴．
∴．
由题意得：或，
解得：或．
16. 为落实“双减政策”，某中学积极开展社团活动，其中艺术社团学生参与面达100％，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）该班共有学生________人，把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，________，剪纸社团对应的扇形圆心角为________度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
【答案】（1）50，图见解析
（2）20，144 （3）
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与画树状图法求概率．
（1）利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用总人数减去其它四项的人数可得到D的人数，然后补图即可；
（2）根据总数与各项人数比值可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘即可得出圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：该班共有学生人数为：（人），
则D的人数为：（人），
故答案为：50；
把条形统计图补充完整如下：
；
【小问2详解】
解：，
，
参加剪纸社团对应的扇形圆心角为：，
故答案为：20，144；
【小问3详解】
解：把小鹏和小兵分别记为a、b，其他3位同学分别记为c、d、e，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种，
恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为．
17. 如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）8
【解析】
【分析】（1）先证四边形ABEF为平行四边形，继而再根据AB＝AF，即可得四边形ABEF为菱形；
（2）由四边形ABEF为菱形可得AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，在Rt△AOB中，求出AO的长即可得答案．
【详解】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝FA，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF为菱形；
（2）∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，
在Rt△AOB中，AO＝＝4，
∴AE＝2AO＝8
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个
【解析】
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，“月销售利润达到10000元”列方程，求解即可．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
根据题意可得，
解得，（舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
【小问2详解】
解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，
由题意可得，
解得，
尽可能让顾客得到实惠，
（舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元/个．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键．
19. 如图，在中，，厘米，厘米，点D在上，且厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以4厘米/秒的速度沿向终点C运动；点Q以5厘米/秒的速度沿向终点C运动．过点P作交于点E，连接．设动点运动时间为t秒．
（1） ；（用t的代数式表示）
（2）连接，并运用割补的思想表示的面积（用t的代数式表示）；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；
（4）当t为何值时，为直角三角形．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
（4）或
【解析】
【分析】（1）用减去的长即可；
（2）连接，由平行线的性质可得，由，可求出，再利用三角形面积公式计算即可；
（3）由平行四边形的性质可得，可得，可求的值；
（4）分两种情况讨论，利用直角三角形的性质和面积和差关系可求解．
【小问1详解】
解：由题意可得：
；
【小问2详解】
如图1，连接，
，
，
cm，
，
，
，
，
∴；
【小问3详解】
四边形是平行四边形，
，
，
，
∴当时，使四边形是平行四边形；
【小问4详解】
如图2，当时，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
；
当时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（不合题意舍去），
综上所述：或时，为直角三角形．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
20. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．

（1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）；
（2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．
①求证：四边形是“神奇四边形”；
②如图2，点M、N、P、Q分别是、、、的中点．试判断四边形是不是“神奇四边形”；
（3）如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长．
【答案】（1）④ （2）①见解析；②四边形是“神奇四边形”，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论；
（2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；
②由三角形中位线定理得出，，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论；
（3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题．
【小问1详解】
平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
正方形是“神奇四边形”，
故答案为：；
【小问2详解】
①证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是“神奇四边形”；
四边形是“神奇四边形”，理由如下：
，为，的中点，
为的中位线，
，，
同理：，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为菱形，
，，
，
，
，
四边形为正方形，
四边形是“神奇四边形”；
【小问3详解】
如图，延长交于S，

由翻折的性质可知，，，，，
四边形是正方形，边长为，
，，
，，
，
设，则，
中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即线段的长为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．