广西南宁市第二中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学

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（时间120分钟，共150分）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若全集，集合，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数是的共轭复数，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A. B. C. 3D.
4. 已知实数，，满足，且，则下列说法正确是（ ）
A. B.
C. D.
5. 天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A B. C. 1D. 3
7. 已知函数（）的零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（ ）
A. 中位数是34B. 众数是32
C. 第25百分位数是29D. 平均数为34.3
10. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点：则下列结论正确的是（ ）
A. 若，平面平面
B. 若，直线与平面所成的角的正弦值为
C. 若直线和异面，点不可能为底面的中心
D. 若平面平面，且点为底面的中心，则
11. 设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B.
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正三角形的边长为2，为中点，为边上任意一点，则______.
13. 已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为______.
14. 拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设代表旧城区，新的城市发展中心，分别为正，正，正的中心､现已知，的面积为，则的面积为___________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列{an}中，a5＝8，a10＝23．
（1）令，证明：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{nbn}的前n项和Sn．
16. 米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平.每支队伍都有自己的一个或几个明星队员，现有一支米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表.如果依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员.
（1）完成列联表，并判断张三是否是这支队伍的明星队员.
（2）米接力短跑分为一棒､二棒､三棒､四棒4个选手位置.张三可以作为一棒､二棒或四棒选手参加比赛.当他上场参加比赛时，他作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，相应队伍取得第一名的概率分别为.当张三上场参加比赛时，队伍取得第一名的概率为0.7.
（i）求的值；
（ii）当张三上场参加比赛时，在队伍取得某场比赛第一名的条件下，求张三作为四棒选手参加比赛的概率.
附：.
17. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形，平面平面分别为线段的中点，点在线段上（不包括端点）.
（1）若，求证：点四点共面；
（2）若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出，若不存在，请说明理由.
18. 已知椭圆，四点，其中恰有三点在椭圆上.
（1）求方程；
（2）设是的左､右顶点，直线交于两点，直线的斜率分别为.若，证明：直线过定点.
19. 悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为.
（1）证明：曲线是轴对称图形，
（2）若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，证明：；
（3）已知函数，其中.若对任意恒成立，求的最大值.年龄
45
40
36
32
29
28
人数
1
2
1
3
2
1
张三是否上场
队伍是否取得第一名的情况
取得第一名
未取得第一名
上场
10
40
未上场
6
合计
24
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828