广西南宁市第二中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

这是一份广西南宁市第二中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题，共16页。试卷主要包含了若全集，集合，则，已知复数是的共轭复数，则，天上有三颗星星，地上有四个孩子，已知，则等内容，欢迎下载使用。

（时间120分钟，共150分）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数是的共轭复数，则（ ）
A.2 B.3 C. D.
3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A. B. C. D.3
4.已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.天上有三颗星星，地上有四个孩子.每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C.1 D.3
7.已知函数的零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（ ）
A.中位数是34 B.众数是32
C.第25百分位数是29 D.平均数为34.3
10.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点：则下列结论正确的是（ ）
A.若，平面平面
B.若，直线与平面所成的角的正弦值为
C.若直线和异面，点不可能为底面的中心
D.若平面平面，且点为底面的中心，则
11.设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A.函数的图象关于点对称 B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知正三角形的边长为为中点，为边上任意一点，则__________.
13.已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为__________.
14.拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设代表旧城区，新的城市发展中心分别为正，正，正的中心.现已知的面积为，则的面积为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知等差数列中，.
（1）令，证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
16.（本小题满分15分）米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平.每支队伍都有自己的一个或几个明星队员，现有一支米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表.如果依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员.
（1）完成列联表，并判断张三是否是这支队伍的明星队员.
（2）米接力短跑分为一棒､二棒､三棒､四棒4个选手位置.张三可以作为一棒､二棒或四棒选手参加比赛.当他上场参加比赛时，他作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，相应队伍取得第一名的概率分别为.当张三上场参加比赛时，队伍取得第一名的概率为0.7.
（i）求的值；
（ii）当张三上场参加比赛时，在队伍取得某场比赛第一名的条件下，求张三作为四棒选手参加比赛的概率.
附：.
17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形､平面平面分别为线段的中点，点在线段上（不包括端点）
（1）若，求证：点四点共面；
（2）若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出，若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分17分）已知椭圆，四点，其中恰有三点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）设是的左､右顶点，直线交于两点，直线的斜率分别为.若，证明：直线过定点.
19.悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为.
（1）证明：曲线是轴对称图形，
（2）若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，证明：；
（3）已知函数，其中.若对任意的恒成立，求的最大值.
南宁二中2024年11月高三月考数学参考答案
1.【答案】A 【详解】因为，所以，所以.故选：A.
2.【答案】D 【详解】.故选：D.
3.【答案】C 【详解】因为双曲线为，所以它的渐近线方程为，因为有一条渐近线方程为，所以.故选：C.
4.【答案】C 【详解】由题，，取，则，故A错误；，故错误；，故D错误；因为，所以，即，故C正确.故选：C.
5.【答案】C 【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式.由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，有种情况，所以所求概率为故选：C.
6.【答案】B 【详解】由，解得，故.故选：B.
7.【答案】C 【详解】由，令，，要使的零点在区间内，即在内，与有交点，画出与图像，如图：当时，，此时；当时，，此时故.
8.【答案】D 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，又，得，令，得，所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，所以，解得，综上所述，，故选：D
9.【答案】BCD 【详解】对于A､B，把10个人的年龄由小到大排列为，
这组数据的中位数为32，众数为32，故A错误，B正确；
对于C，由，得这组数据的第25百分位数是第3个数，为29，故正确；对于，这组数据的平均数，故D正确.故选：BCD.
10.【答案】AC 【详解】因为，所以平面，平面，所以平面平面，A项正确；
设的中点为，连接，则.
平面平面，平面平面平面.
平面，设平面所成的角为，则，
，则，故B项错误；
连接，易知平面，由确定的面即为平面，
当直线和异面时，若点为底面的中心，则，
又平面，则与共面，矛盾，C项正确；
连接平面平面，
分别为的中点，则，
又，故，则，D项错误.故选：AC.
11.【答案】ABD 【详解】对于A，由为奇函数，得，即，因此函数的图象关于点对称，A正确；
由，得，则，
又，于是，令，得，即，
则，因此函数是周期函数，周期为4，
对于B，由，得，B正确；
对于C，显然函数是周期为4的周期函数，，，则
C错误；对于D，，则，D正确.故选：ABD
12.【答案】3 【详解】因为三角形是正三角形，为中点，
所以，所以，又正三角形的边长为2，所以，
所以.
13.【答案】 【详解】要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，故，
此时，又都在面上，故面，且
设外接圆半径为，则由余弦定理，所以，所以，即所以，外接球半径，故其表面积为故答案为：
14.【答案】 【详解】连接，因为分别为正，正的中心，所以，又，所以，
又因为，所以，
由勾股定理得，
即，
由余弦定理，
即，解得，
所以.故答案为：.
15.【详解】（1）证明：设等差数列的公差为，
因为，
所以，
联立解得：，
所以.
所以，
所以.
所以数列是等比数列，首项为2，公比为2.
（2）
所以数列的前项和.
两式相减得
.
16.【答案】解：（1）根据题意，可得的列联表：
零假设：队伍是否取得第一名与张三是否上场无关；
，
依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关；
故张三是这支队伍的明星队员.
（2）由张三上场时，作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，
相应队伍取得第一名的概率分别为.
设事件：张三作为一棒参赛，事件：张三作为二棒参赛，
事件C：张三作为四棒参赛，事件D：张三上场且队伍获得第一名；
则；
（i）由全概率公式：
，
即；
与
联立解得：.
（ii）由条件概率公式：
.
17【详解】
（1）证明：【法1】延长，于延长线交于点，
因底面是矩形，且是的中点，故，
则是中点，.
连，连交于点，
因是中点，故，
由得，，
又因，
故点即点，所以四点共面.
【法2】因底面是矩形，故，
过作直线与平行，则与也平行，
故直线与共面，直线也与共面，
延长与交于点，连接与直线交于点.
则，
因是中点，由得，
于是，
因是的中点，则且，
由得，又因，
故点即点，所以四点共面.
【法3】，
系数和为1，根据平面向量共线定理可知四点共面
（2）因为是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面.
取中点，连接，易知两两相互垂直，
如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则即，令，则，所以..
设，则
设与平面所成角为，
则，
解得此时或，此时
18.（1）由椭圆对称性，必过，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点，
代入椭圆方程得，
解得椭圆的方程为：
（2）说明：其他等价形式对应给分.
依题意，点
（i）若直线的斜率为0，则必有，不合题意
（ii）设直线方程为
与椭圆联立，整理得：，
因为点是椭圆上一点，即，设直线的斜率为，
所以，
所以，即，
因为
，
所以，
故直线恒过定点；
19.【详解】（1），
令，则
所以为偶函数，故曲线是轴对称图形，且关于轴对称
（2）令，得，
当时，在单调递减，在单调递增，
所以，且当时，，当时，
又恒成立，所以在上单调递增，
且当时，，当时，
且对任意，
所以的大致图象如图所示，
不妨设，由为偶函数可得，
与图象有三个交点，显然，令
整理得，解得或（舍），
所以，即，
又因为，所以.
（3）设，则，
所以
因为单调递增，
所以时，，即
由
即，
该不等式组成立的一个必要条件为：和时同时满足，即，
所以，当时等号成立；
下面分析充分性：若时，
显然对恒成立，从而，满足题意
综上所述：的最大值为年龄
45
40
36
32
29
28
人数
1
2
1
3
2
1
张三是否上场
队伍是否取得第一名的情况
取得第一名
未取得第一名
上场
10
40
未上场
6
合计
24
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
张三是否上场
队伍是否取得第一名的情况
合计
取得第一名
未取得第一名
上场
30
10
40
未上场
6
14
20
合计
36
24
60