广西南宁市第二中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份广西南宁市第二中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了 设集合，，，则， 命题“”的否定是， 不等式的一个必要不充分条件是， 已知正数，满足，则的最小值为， 下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。

题人：王晋艳､吴迪审题人：冼天悦
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 设集合，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集、并集的定义计算可得.
因为，，，
所以，则.
故选：D
2. 命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】含量词命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到.
命题 “”的否定是“”，
故选：A.
3. 如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到每一个选项对应的区域即得解.
解：如图所示，
A. 对应的是区域1；
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；
D. 对应的是区域4.
故选：B
4. 设，则“”是“”成立的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解出不等式，根据必要不充分条件的判定即可得到答案.
，解得或，
，解得或，
显然或或，
则“”是“”的必要而不充分条件，
故选：B.
5. 设集合，则集合A的真子集个数为（）
A. 7个B. 8个C. 16个D. 15个
【答案】D
【解析】
【分析】列举出集合A的所有元素，由n元集合的真子集个数为可得.
由和可得，
所以集合A的真子集个数为个.
故选：D
6. 不等式的一个必要不充分条件是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，根据必要不充分条件的定义确定正确选项.
可化为，解得，
由必要不充分条件的定义可得不等式的一个必要不充分条件是，
故选：B
7. 已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意,将所给等式变形,得到,推导出,然后利用作差法比较大小,结合二次函数的性质证出,从而得出正确结论.
由,得,
因为,
移项得,
所以,
可得,
由,得,
可得,
可得.
综上所述,不等式成立,
故选:D.
8. 已知正数，满足，则的最小值为（）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】可通过对已知方程进行变形，再将所求代数式进行转化，利用基本不等式来求解.
由，因为是正数，所以.
将的表达式代入并化简得到
，
根据基本不等式（当且仅当时取等号），
对于，这里，，则.
所以.当且仅当即时取到最值.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若且，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据时不成立说明选项A错误，利用不等式的性质判断选项B，结合题目条件和作差法判断选项C和D.
A.当时，，故选项A错误.
B. ∵，，∴，
∵，，∴，∴.故选项B正确.
C. ∵，∴，∵，∴，
∴.故选项C正确.
D. ∵，
∴,
∴.故选项D错误.
故选：BC.
10. 已知关于x不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）
A. B. 关于x的不等式的解集是
C. D. 关于x的不等式的解集为或x>12
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD.
由关于x的不等式的解集为或，
知和3是方程的两个实根，且，故A正确；
根据根与系数关系知：，
所以，
选项B：不等式化简为，解得：，
即不等式的解集是，故B正确；
选项C：由于，故，故C不正确；
选项D：不等式化简为：，
解得：或，故D正确；
故选：ABD.
11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D.
因为正数，满足，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
解得，所以，故的最大值为，故A正确；
，
即，又，所以，
所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确；
由可得，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误；
，当且仅当，即，时等号成立，故D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，且，则实数范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得，可得到关于的不等式，从而求解.
因为，集合，所以得：，
即等价于，解之得：.
故实数的范围是：.
故答案为：.
13. 若，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求解即得.
由，得，则，而，则，
因此，所以取值范围为.
故答案为：
14. 设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合为“完美集合”.给出下列命题：
①若为“完美集合”，则一定有；
②“完美集合”一定是无限集；
③集合为“完美集合”；
④若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”.
其中真命题是___________.（写出所有正确命题的序号）
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断.
因为，是集合中任意的元素，所以与可以是同一个元素，故0一定在完美集合中，故①正确；
完美集合不一定是无限集，例如，故②错误；
集合，在集合中任意取两个元素，，其中，，，为整数，则，，，均为整数加上的整数倍的形式，故③正确；
，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，故④不正确.
故答案为：①③
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程成演算步骤.
15. （1）已知，求函数的最小值；
（2）设，，且，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，利用基本不等式可求得最小值；
（2）将已知等式化为，根据，利用基本不等式可求得最小值.
（1），，
（当且仅当，即时取等号），；
（2），，，，
（当且仅当，即，时取等号），.
16. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得集合，利用集合的交并补的运算可得答案.
（2）由题意可得两集合的关系，利用分类讨论，分中是否为空集，列出对应不等式，可得答案.
【小问1】
由，则，
由，则∁RA=x<3或x>5，
所以，.
【小问2】
由，则，
当时，即，解得，符合题意；
当时，则，解得，符合题意.
综上所述，
17. 已知命题：对任意实数，不等式恒成立；命题：关于的方程无实数根.
（1）若p为真命题，求实数的取值范围，
（2）若的题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，列式求出的范围.
（2）求出命题真时的范围，结合（1）分类求出实数的取值范围.
【小问1】
对任意实数，不等式都成立，
当时，不等式对于任意实数不恒成立，不符合题意；
当时，4-2m<0m>0，解得，
所以命题真时，实数的取值范围是.
【小问2】
若真，即方程无实数根，则，解得，
即命题真时，，由（1）知，命题真时，，
由命题、中有且仅有一个是真命题，
得当真假时，，且或，因此；
当假真时，，且，因此，
所以实数的取值范围为.
18. 世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）;
（2）100（百辆），2300万元.
【解析】
【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.
【小问1】
由题意知利润收入-总成本，
所以利润
,
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
【小问2】
当时，，
故当时，；
当时，,
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
19. 已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可；
（2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可.
【小问1】
由.
得，所以，
若，即，上式可化为：，解得；
若，即，上式可化为：，解得；
若，即，上式可化为：，
因为，所以，所以，
所以：或.
综上可知：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【小问2】
不等式，即，
所以，
因为恒成立，所以：.
问题转化为：存在，使得成立，所以，
设，令，则，
因为（当且仅当，即时取等号），
所以，当且仅当时取等号.
所以综上可知：的取值范围为.
【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解.