江苏省无锡市锡山区锡北片2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省无锡市锡山区锡北片2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.4的平方根是（ ）
A.2B.C.D.
3.“三角形具有稳定性”这个事实说明了（ ）
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
4.等腰三角形有两条边的长分别为3和4，则该三角形的周长为（ ）
A.10B.10或11C.11D.7或11
5.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A.三条高的交点B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点
6.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A.0.3，0.4，0.5B.10，15，18
C.，，D.6，8，10
7.在等腰三角形ABC中，，则的度数为（ ）
A.B.C.或D.或
8.如图，在中，，，则与的关系是（ ）
A.B.
C.D.
9.如图，已知中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A.2个B.4个C.6个D.8个
10.如图，在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①；②；③；④；⑤时，其中结论正确的个数是（ ）
A.2B.3C.4D.5
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分.
11.的立方根是__________.
12.小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是__________.
13.一个正数的两个平方根分别是和，则__________.
14.若a、b、c是的三边，且，，，则最长边上的高等于__________.
15.如图，在四边形ABCD中，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若，则的度数为__________.
16.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目的大致意思是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都是1尺（1尺寸），则AB的长是几寸？若设图中单扇门的宽寸，则可列方程为：__________.
图1 图2
17.如图，在中，，，，P为三角形内一点，则的最小值为__________.
18.如图，在中，点D，E分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，，已知，，则的最小值的平方是__________.
三、解答题：本题共9小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
19.（本小题8分）解方程：
（1）（2）
20.（本小题7分）
如图，点E，F在BC上，，，.
（1）证明：；
（2）若，，求BE的长.
21.（本小题7分）
等腰三角形的周长为21cm.
（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；
（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长.
22.（本小题8分）
作图：（1）如图1，在边长为1的正方形网格中：
①画出关于直线l轴对称的（其中D、E、F分别是A、B、C的对应点）；
②直接写出中AB边上的高=__________.
（2）如图2，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等.（用直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
图1 图2
23.（本小题8分）
如图，在四边形ABCD中，，，，且，求的度数.
24.（本小题8分）
如图，在中，，，D是AB边上一点（不与A，B重合），以CD为边作等腰，，且，CB与DE交于点F，连接BE.
（1）求证：；
（2）当时，证明是等腰三角形.
25.（本小题8分）
如图，的外角的平分线交BC边的垂直平分线于P点，于D，于E.
（1）求证：；
（2）若，，求AD的长.
26.（本小题10分）
课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”.王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决.若两直角边为a，，斜边为c.
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、__________、__________；
（2）当（n为奇数，且）时，若__________，__________时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；
（3）构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，__________.
27.（本小题10分）
如图，在中，，，，.点C在直线l上.点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动.点P和Q分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动，运动时间为t秒；在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止.
（1）点P在AC边上时，__________；点Q在AC边上时，__________；（用含t的代数式表示）；
（2）若点D是AB的中点，是以CD为腰的等腰三角形，求运动时间t的值；
（3）分别过P和Q作于点E，于点F，当与全等时，求运动时间t的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意.故选：D.
根据轴对称图形的知识求解.
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合.
2.【答案】C
【解析】解：4的平方根是.故选：C.
根据平方根的定义求解即可.
本题考查了平方根的定义，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数.
3.【答案】D
【解析】解：当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，
故三角形具有稳定性.观察选项，只有选项D符合题意.故选：D.
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性.这一特性主要应用在实际生活中.
考查了三角形的稳定性，数学要学以致用，会对生活中的一些现象用数学知识解释.
4.【答案】B
【解析】解：①当腰是3，底边是4时，，能构成三角形，则其周长；
②当底边是3，腰长是4时，，能构成三角形，则其周长.故选：B
等腰三角形两边的长为3和4，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论.
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可.
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
【解答】
解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D.
6.【答案】D
【解析】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、，，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、，且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；故选：D.
利用勾股数定义进行分析即可.
此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数.注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数.
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数.
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
7.【答案】D
【解析】解：设，则，
当是顶角时，，即：，
解得：，此时；
当是底角时，，即，
解得：，此时，
综上所述，的度数为或.故选：D.
分是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可.
本题考查了等腰三角形的性质，能够进行分类讨论是解答本题的关键，难度不大.
8.【答案】A
【解析】解：，，
，，
，，
，.故选：A.
根据等腰三角形的性质可得到两组相等的角，再根据三角形外角的性质可表示出和，
再根据角之间的关系即可得到与之间的关系.
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质的综合运用.
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题是开放性试题，根据题意，画出图形结合求解.
本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.
【解答】
解：第1个点是以A为圆心，以AB长为半径截取，交CA延长线于点P；
第2个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有；
第3个点是以B为圆心，以BA长为半径截取，与CB的延长线交于点P；
第4个点是以A为圆心，以AB长为半径截取，与BC的延长线交于点P；
第5个点是以A为圆心，以AB长为半径截取，交AC的延长线于点P；
第6个点是以B为圆心，以BA长为半径截取、与AC的延长线交于点P；
符合条件的点P有6个点.故选：C.
10.【答案】C
【解析】解：①，
，，
在和中，，
，，故结论①正确；
②在中，，，，
，，故结论②正确；
③设，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，故结论③正确；
④在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，，，
，，故结论④不正确；
⑤，
当时，则，，
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论由①②③⑤，共4个，故选：C.
①先证明，进而可依据“SAS”判定和全等，然后由全等三角形的性质可对结论①进行判断；
②根据等腰直角三角形的性质得，再根据和全等得，由此可对结论②进行判断；
③设，则，进而得，
根据三角形内角和定理求出，进而得，由此可对结论③进行判断；
④由勾股定理得，，
则，证明得，，由此可对结论④进行判断；
⑤先求出，再根据时，得，进而得，由此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案.
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键.
11.【答案】
【解析】解：，的立方根是.故答案为：.
利用立方根的意义解答即可.
本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的意义是解题的关键.
12.【答案】15：01
【解析】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：21成轴对称，
所以此时实际时刻为15：01，故答案为：15：01.
利用镜面对称的性质求解.镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称.
本题考查镜面对称.掌握镜面对称的性质是解题的关键.
13.【答案】
【解析】解：由题意得：，解得：.故答案为：.
根据一个正数的两个平方根互为相反数可得关于a的方程，解出即可.
本题考查平方根的知识，难度不大，关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数.
14.【答案】4.8
【解析】解：、b、c是的三边，且，，，
又，是直角三角形，且6，8是两条直角边的长，10为斜边的长，
设斜边上的高为h，则，解得.故答案为4.8.
先根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，且最长边为，再通过三角形的面积公式列出方程，化简计算即可得出答案.
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形.也考查了直角三角形的面积.判断出为直角三角形是解题的关键.
15.【答案】
【解析】解：，E是AC的中点，
，，
，，，
，
，，
，
.
故答案为：.
由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出.
本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解.
16.【答案】
【解析】解：取AB的中点O，过D作于E，如图2所示：
由题意得：，设寸，
则（寸），寸，寸，寸，
在中，，即，
故答案为：.
取AB的中点O，过D作于E，根据勾股定理解答即可得到结论.
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键.
图2
17.【答案】
【解析】解：将绕点C顺时针旋转得到，连接BD、PE，
则，，，
是等边三角形，，，
在和中，，
，，
，，，
，
，，
的最小值为，
故答案为：.
将绕点C顺时针旋转得到，连接BD、PE，则，，是等边三角形，所以，可证明，得，而，，则，所以，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案.
此题重点考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.
18.【答案】194
【解析】解：，，，，
作，使点F与点C在直线AB的异侧，且，连接EF、CF，
，，
，
在和中，
，，，
，且，
，的最小值为，
的最小值的平方为194，故答案为：194.
由，，，求得，作，使点F与点C在直线AB的异侧，且，连接EF、CF，可证明，得，由，且，得，则的最小值为，所以的最小值的平方为194，于是得到问题的答案.
此题重点考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.
19.【答案】解：（1），则，解得：；
（2），，，
解得：或.
【解析】（1）直接利用立方根的定义计算得出答案；
（2）直接利用平方根的定义计算得出答案.
此题主要考查了立方根和平方根，正确把握相关定义是解题关键.
20.【答案】（1）证明：在和中，，
（2）解：，，，
，，，.
【解析】（1）由“SAS”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，即可求解.
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键.
21.【答案】解：（1）如图，设底边，则，
等腰三角形的周长是21cm，，，，
等腰三角形的三边长是3cm，9cm，9cm；
（2）①当等腰三角形的底边长为6cm时，腰长；
则等腰三角形的三边长为6cm、7.5cm、7.5cm，能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为6cm时，底边长；
则等腰三角形的三边长为6cm，6cm、9cm，能构成三角形.
故等腰三角形其他两边的长为7.5cm，7.5cm或，6cm、9cm.
【解析】（1）设底边，则，代入求出即可；
（2）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意.
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.
22.【答案】
【解析】解：（1）①如图，为所作；
图1 图2
②设AB边上的高为CF，
，而，
，；故答案为：；
（2）如图，点P为所作.
（1）①利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线l的对称点即可；
②利用面积方式计算AB边上的高；
（2）分别作的角平分线和线段AD的垂直平分线，它们的交点即为P点.
本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点.也考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质.
23.【答案】解：如图所示，连接AC，
，，，，
又，，
，，，
是直角三角形，，.
【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理.解题的关键是连接AC，并证明是直角三角形.
由于，，利用勾股定理可求AC，并可求，而，，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求.
24.【答案】证明：（1），
，
在和中，，.
（2），，
，
同理，由（1）得，
，，
，
，，
，，，
，，
，是等腰三角形.
【解析】（1）由，得，而，，即可根据“SAS”证明；
（2）由，，求得，同理，
由全等三角形的性质得，
由，得，
再证明，则，
所以，则，所以是等腰三角形.
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键.
25.【答案】（1）证明：连接BP、CP，
点p在BC的垂直平分线上，，
是的平分线，，，，
在和中，，
，；
（2）解：在和中，
，，，
，即，，
即，.
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质.
（1）连接BP、CP，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用角平分线的性质得到，然后根据“HL”可判断，从而得到结论；
（2）先证明得到，再利用得到，从而可求出AD的长.
26.【答案】60 61 52或101或29
【解析】解：（1）、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
，60，61；故答案为：60，61.
（2）观察发现：当（n为奇数，且）时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：，，
证明如下：
，，
，
又为奇数，且，，，三个数组成的数是勾股数.
故答案为：，；
（3）当时，由勾股定理可得：，
当，则有：，即，
当，解得：，，
，（舍去）；
当时，解得；
当，解得：；
当，解得：，
综上，c的值为52或101或29.故答案为：52或101或29.
（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组勾股数：11，60，61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后计算验证即可；
（3）由勾股定理可得：，再根据勾股定理可得；然后根据列举法即可解答.
本题考查了勾股数，列代数式，规律型：数字的变化类，发现规律是解题的关键.
27.【答案】
【解析】解：（1）由题意得：当点P在AC边上时，，，
点Q在AC边上时，，，
故答案为：，；
（2）在中，，，，，点D是AB的中点，
，
是以CD为腰的等腰三角形，
当点Q在BC上，当时，此时点Q与点B重合，如图1，
图1
则，，
当点Q在BC上，当时，如图2，
图2
，，解得：；
当点Q在AC上，当时，如图3，
图3
，，解得：；
当点Q在AC上，当时，此时点Q与点A重合，如图4，
图4
此时，解得：，
综上所述，是以CD为腰的等腰三角形，运动时间t的值为0或1或或；
（3）解：与全等，斜边斜边CQ，
当点P在AC上，点Q在BC上时，如图6，
图6
，，，，
，，解得：；
当点P、Q都在AC上时，此时P、Q重合，如图7，
图7
，，
，，
，，解得：；
当点P在BC上，点Q在AC上时，如图8，
图8
，，，，
，，解得：，不符合题意；
当点Q在A点，点P在BC上时，如图9，
图9
，，
，，，解得：；
综上所述，运动时间t的值为2或或6.
（1）根据点P、Q的运动速度及运动路径，进行计算即可；
（2）分5种情况：当点Q在BC上，当时，此时点Q与点B重合；当点Q在BC上，当时；当点Q在AC上，当时；当点Q在AC上，当时，此时点Q与点A重合；当点Q在AB上，当时，此时点Q与点B重合；分别利用等腰三角形的定义，建立方程，解方程即可得到答案；
（3）分四种情况：当点P在AC上，点Q在BC上时；当点P、Q都在AC上时，此时P、Q重合；当点P在BC上，点Q在AC上时；当点Q在A点，点P在BC上时；分别建立方程，解方程即可得到答案.
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、列代数式，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键.