人教版数学七年级上册期末专题训练专题12 几何图形初步 章末重难点题型（13个题型）（2份，原卷版+解析版）

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一、经典基础题
题型1 直线、射线、线段、 角的基本概念
题型2 角的表示、换算及比较大小
题型3 直线、射线、线段的实际生活中的应用
题型4 线段、角度中的计数问题
题型5 作图问题
题型6 与线段有关的计算
题型7 实际背景下线段的计算问题
题型8 钟面上的角度问题
题型9 方位角问题
题型10 一副直角三角形板中的角度问题
题型11 与角平分线（角的和差）有关的计算
题型12 余角、补角、对顶角的相关计算
题型13 七巧板相关问题
二、优选提升题
题型1 直线、射线、线段、 角的基本概念
解题技巧：熟练掌握直线、射线、线段基本性质和概念。
例1．（2022·广东汕头七年级期末）下列说法：（1）两点之间线段最短；（2）两点确定一条直线；（3）同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；（4）A、B两点间的距离是指A、B两点间的线段；其中正确的有（ ）
A．一个B．两个C．三个D．四个
【答案】C
【分析】（1）根据线段的性质即可求解；（2）根据直线的性质即可求解；（3）余角和补角一定指的是两个角之间的关系，同角的补角比余角大90°；（4）根据两点间的距离的定义即可求解．
【解析】（1）两点之间线段最短是正确的；（2）两点确定一条直线是正确的；
（3）同一个锐角的补角一定比它的余角大90°是正确的；
（4）A、B两点间的距离是指A、B两点间的线段的长度，原来的说法是错误的．故选C．
【点睛】本题考查了补角和余角、线段、直线和两点间的距离的定义及性质，是基础知识要熟练掌握．
变式1．（2022·山东潍坊·七年级期末）如图，下列说法正确的是（ ）
A．点O在射线上B．点B是直线AB的端点
C．到点B的距离为3的点有两个D．经过A，B两点的直线有且只有一条
【答案】D
【分析】根据射线、直线定义判断A、B，根据两点间的距离判断C，根据直线公理判断D．
【详解】解：点O在射线AB上，故A错误，不符合题意；
直线没有端点，故B错误，不符合题意；
平面内到点B距离为3的点有无数个，故C错误，不符合题意；
经过A，B两点的直线有且只有一条，故D正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查射线、直线定义，两点间的距离及直线公理，解题的关键是掌握相关定义、定理、公理．
变式2．（2022·河北七年级期末）下列说法正确的是( )
A．连接两点的线段，叫做两点间的距离 B．射线OA与射线AO表示的是同一条射线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．从一点引出的两条直线所形成的图形叫做角
【答案】C
【分析】根据线段、射线、直线的定义即可解题.
【解析】解：A. 连接两点的线段长度，叫做两点间的距离
B. 射线OA与射线AO表示的是同一条射线,错误,射线具有方向性,
C. 经过两点有一条直线，并且只有一条直线,正确,
D. 错误,应该是从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，故选Ｃ.
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的性质,属于简单题,熟悉定义是解题关键.
题型2 角的表示、换算及比较大小
例1．（2022·山东菏泽·七年级期末）角度换算：＝___°．
【答案】26.8
【分析】根据度分秒的换算法则求解即可．
【详解】解：=，故答案为：26.8．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，解决本题的关键是掌握度分秒的换算法则．
变式1．（2022·江西吉安·七年级期末）如下图，下列说法正确的是（ ）
A．与表示同一个角 B． C．图中共有两个角：， D．表示
【答案】A
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【详解】解：A．∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项符合题意；
B．不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．图中共有三个角：，，∠AOC，故选项错误，不符合题意；
D．表示，故选项错误，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，正确表示角是解题的关键．
变式2．（2022·湖南永州·七年级期末）若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将三个角的度数都转化成度分秒的形式后，即可得到三个角的大小关系．
【详解】解：∵1°=60′；∴0.25°=60′×0.25=15′；∴∠C=32°15′；
∴32°18′＞32°15′30″＞32°15′；∴∠A＞∠B＞∠C．故选：A．
【点睛】本题主要考查角的大小比较，需要熟练掌握度数与度分秒形式之间的转化．
题型3 直线、射线、线段的实际生活中的应用
解题技巧：主要考查“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”，弄明白两者的区别即可
例1．（2022·陕西·西安铁一中分校七年级期末）下列现象能用“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①③B．①②C．②④D．③④
【答案】A
【分析】直接利用直线的性质以及两点之间线段最短分析得出答案．
【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线；
②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，根据是两点之间线段最短；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一条直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短．故选：A．
【点睛】此题主要考查了线段以及直线的性质，解题的关键是正确把握相关性质．
变式1．（2022·河南漯河·七年级期末）下列现象：
（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
（2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
（3）植树时，只要确定两颗树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有( )
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（2）（4）
【答案】D
【分析】利用直线和线段的性质对选项逐一进行判断得出结论．
【详解】（1）利用两点确定一条直线解释，故不符合题意；
（2）可用“两点之间，线段最短”解释，故符合题意；
（3）利用两点确定一条直线解释，故不符合题意；
（4）可用“两点之间，线段最短”解释，故符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查直线和线段的性质，解决本题的关键是对直线和线段的性质熟练应用并熟悉两者的区别．
题型4 线段、角度中的计数问题
例1．（2022·山西·右玉县七年级期末）阅读并填空：
问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？
要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，3条，同样以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有______条线段．
知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有______个角；若在内部画条射线，则总共有______个角．
学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票．
【答案】6 ，10，，6，，20
【分析】问题：根据线段的定义解答；知识迁移：根据角的定义解答；
学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答．
【详解】解：问题：根据题意，则；；；
知识迁移：在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）=个不同的角；
学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数×5×4=10，需要车票的种数：10×2=20（种）．
故答案为：6 ，10，，6，，20；
【点睛】此题考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．
变式1．（2022·山东青岛·七年级期末）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（ ）
A．18B．20C．22D．24
【答案】C
【分析】根据平面内两两相交直线交点的个数所呈现的规律得出m、n的值即可．
【详解】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，
平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，
所以m+n＝22，故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线相交的交点情况，找出交点个数是解题的关键．
变式2．（2022·广西贺州·七年级期末）如图，从的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有（ ）
A．3个B．4个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】按一定的规律数角的个数即可．
【详解】解：以OA 为一边的角有：，
以OD为一边的角有：，以OC为一边的角有：，
所以，图中共有6个角，故选：C．
【点睛】本题通过数角的个数，巩固角的概念，难度适中．
题型5作图问题
解题技巧：（1）尺规作图：做已知线段的和差倍数问题；（2）常规作图：与线段射线直线有关的基本作图。
例1．（2022·河北保定·七年级期末）如图，在平面内有三点．(1)画直线，射线，线段；(2)在线段上任取一点D（不同于），连接，并延长至E，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(3)数一数，此时图中线段共有___条．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8条
【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义作图；
（2）根据在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD，并延长AD至点E，使DE=AD即可；（3）根据图中的线段为AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到图中线段的条数．
（1）如图，直线AB，线段BC，射线AC即为所求；
（2）如图，线段AD和线段DE即为所求；
（3）图中有线段AB、AC、AD、AE、DE、BC、BD、CD，一共8条．
【点睛】考查了直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握直线、射线、线段定义．
变式1．（2022·安徽宣城·七年级期末）（1）请在给定的图中按照要求画图：
①画射线AB；②画平角∠BAD；③连接AC．（2）点B、C分别表示两个村庄，它们之间要铺设燃气管道．若节省管道，则沿着线段BC铺设．这样做的数学依据是： ．
【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）两点之间，线段最短
【分析】（1）①根据射线的定义，作出图形即可；②根据平角的定义，作出图形即可；③根据线段的定义，作出图形即可；（2）根据两点之间线段最短解决问题．
【详解】解：（1）①如图，射线AB即为所求；
②如图，∠BAD即为所求；③如图，线段AC即为所求；
（2）沿着线段BC铺设．这样做的数学依据是：两点之间线段最短．
【点睛】本题主要考查了直线，射线，平角的定义，线段的基本事实，熟练掌握直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的线；射线是只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长不可测量长度的线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；两点之间线段最短是解题的关键．
变式2．（2022·河南淮滨县·七年级期末）如图，在同一平面内有四个点，，，，请用直尺按下列要求作图：（1）作射线；作直线：连接；（2）如果图中点，，，表示四个村庄，为解决四个村庄的缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，要求蓄水池P到四个村庄的距离和最小，请你找出蓄水池的位置．
【答案】（1）见解析；（2）图见解析，理由：两点之间，线段最短
【分析】（1）根据直线的定义：两端没有端点，可以向两端无限延伸，不可测量长度，射线的定义：直线 上的一点和它一旁的部分所组成的图形，线段的定义：两点都有端点，不可延长，作图即可；
（2）根据两点之间线段最短即可确定P的位置．
【详解】解：（1）所作图形如图1所示．

（2）如图2，连接，，
则与的交点为满足要求的蓄水池的位置，理由：两点之间，线段最短．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，直线，射线与线段的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
题型6 与线段有关的计算
例1．（2022·浙江·七年级期末）如图，线段是线段上一点，M是的中点，N是的中点．（1），求线段的长；（2）若线段，线段，求的长度（用含的代数式表示）．
【答案】（1）CM=1cm，NM=2.5cm；（2）
【分析】（1）求出AM长，代入CM=AM-AC求出即可；分别求出AN、AM长，代入MN=AM-AN求出即可；
（2）分别求出AM和AN，利用AM-AN可得MN．
【详解】解：（1），是的中点，，
，；
，，是的中点，是的中点，
，，；
（2），，，
是的中点，是的中点，，，
．
【点睛】本题考查了两点之间的距离，线段中点的定义的应用，解此题的关键是求出AM、AN的长．
变式1．（2022·湖南新邵县·七年级期末）如图，线段AB＝22cm，C是AB上一点，且AC＝14cm，O是AB的中点，线段OC的长度是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】B
【分析】根据O是AB的中点，求得的长，即可求解．
【详解】解：∵O是AB的中点，AB＝22cm，∴OA＝OB＝AB＝×22＝11（cm），
∴OC＝AC﹣AO＝14﹣11＝3（cm）．故选：B．
【点睛】此题主要考查了线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题的关键．
变式2．（2022·浙江·）定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作．
甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则．
乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则
关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
【答案】A
【分析】本题根据题目所给的定义对两人的猜想分别进行验证即可得到答案，对于乙的猜想注意进行分类讨论．
【详解】解：甲同学：点C在线段AB上，且，，，甲同学正确．
乙同学：点C在线段AB上，且点C是线段AB的三等分点，有两种情况，
①当时，，②当时，，乙同学错误．故选：A．
【点睛】本题主要考查对于新定义和线段的等分点的理解，对于线段的三等分点注意分类讨论即可．
题型7 实际背景下的计算问题
例1．（2022·北京海淀区·七年级期中）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距am，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距am，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．A小区B．B小区C．C小区D．D小区
【答案】B
【分析】根据题意分别计算停靠点分别在B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．
【详解】解：因为当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5a+20×（200+a）+6（2a+200）＝37a+5200（m），
因为当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30a+20×200+6（a+200）＝36a+5200（m），
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30（a+200）+5×200+6a＝36a+7000（m），
当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×（2a+200）+5（a+200）+20a＝98a+7000（m），
因为36a+5200＜37a+5200＜36a+7000＜98a+7000，
所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．
变式1．（2022·浙江·七年级期中）在数轴上有一线段，左侧端点，右侧端点．将线段沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到和右端点原位置重合时，右端点在数轴上所对应的数为24，若将线段沿数轴向左水平移动，则右端点移动到左端点原位置时，左端点在轴上所对应的数为6（单位：）（1）线段长为_________．（2）由题（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要等30年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了，哈哈！”则推算爷爷现在的年龄是_________
【答案】 70岁
【分析】（1）据题意，可知点和点之间的距离为18，且正好是线段AB长的3倍，则可求出AB的长（2）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红和爷爷的年龄差看做线段AB的长，结合（1）即可求出爷爷的年龄．
【详解】（1）如图所示，，， 所以．
（2）借助数轴，把小红和爷爷的年龄差看做线段AB的长，类似爷爷和小红大时看做当B点移动到A点时，此时点A'对应的数为-30，小红和爷爷一样大时看做当点A移动到B点时，此时点B'所对应的数为120，根据（1）中提示，可知爷爷比小红大（岁）
所以爷爷的年龄为（岁）．故答案为：①6cm；②70岁．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和线段的应用，找出蕴含的数量关系，以及利用数轴直观解决问题是解题关键．
变式2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直线l从左向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（ ）
A．4次B．5次C．6次D．7次
【答案】C
【分析】由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，根据线段中点定义解答即可．
【详解】解：由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，图中共有六条线段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，
∴点P成为黄金伴侣点的机会有六次，故选：C．
【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确理解题意得到线段中点定义是解题的关
题型8 钟面上的角度问题
例1．（2022·福建泉州·七年级期末）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：(1)分针每分钟转了几度？
(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于？
(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于？
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据分针一小时转一圈即360°，用360°除以60计算即得；（2）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，时针与分针转过的角度差是，列方程解答即可；（3）相对于12时整第二次所成的钝角第二次等于时，时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与之和是360°．
（1）解：∵分针一小时转一圈即360°,
∴分针每分钟转过的角度是： ,答：分针每分钟转了6度；
（2）设中午12时整后再经过x分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°，
∵时针一小时转动角度为： ，时分针每分钟转过的角度是： ；
∵分针与时针所成的钝角会第一次等于，
∴时针与分针转过的角度差是，∴，解得：，
答：中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°；
（3）设经过y分钟两针所成的钝角会第二次等于，
则从12时算起经过(y+22)分钟两针所成的钝角会第二次等于，
因为时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与之和是360°，
故列得方程：，
解得：，解得：，
答：经过分钟两针所成的钝角会第二次等于．
【点睛】本题通过钟面角考查一元一次方程，掌握时针分针的转动情况，会根据已知条件列方程是解题的关键．选择合适的初始时刻会简化理解和运算难度，起到事半功倍的效果．
变式1．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）每天中午12点30分是“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹的的角为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得： 6×30°-×30°=180°-15°=165°， ∴时针与分针所夹的的角为165°， 故选：B．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
变式2．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图是从图的时钟抽象出来的图形，已知三角形是等边三角形，，当时针正对点时恰好是：，若时针与三角形一边平行时，时针所指的时间不可能是（ ）
A．：B．：C．：D．：
【答案】D
【分析】根据题意可知，需要分三种情况，分别画出图形，可根据时钟得出结论．
【详解】解：根据题意可知，需要分三种情况，如下图所示：

当时，如图2（1），此时对应的时间为：或：；
当时，如图2（2），此时对应的时间为：或：；
当时，如图2（3），此时对应的时间为：或：；故选：D．
【点睛】本题主要考查分类讨论思想，对于时钟的认识，找到每种情况是解题关键．
题型9 方位角问题
例1．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图,射线OA表示北偏东30°方向,射线OB表示北偏西50°方向,则∠AOB的度数是（ ）
A．60°B．80°C．90°D．100°
【答案】B
【分析】根据题意可得∠AOB=30°+50°，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵射线OA表示北偏东30°方向，射线OB表示北偏西50°方向，
∴∠AOB=30°+50°=80°．故选：B
【点睛】此题主要考查了方向角问题，根据题意借助互余两角的关系求出是解题关键．
变式1．（2022·河北廊坊·七年级期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可．
【详解】解：如图：
∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处
∴∠2=∠3=，∠1=∴∠ABE＝∠1+∠2=138°．故答案为D．
【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键．
变式2．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东
【答案】C
【分析】根据题意求得∠AOB的度数，根据角的和差以及，可得∠DOC的度数，即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，
∴，∴，
∵，，
，．故选C．
【点睛】本题考查了方位角的表示，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
题型10 一副直角三角形板中的角度问题
例1．（2022·山东枣庄·七年级期中）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．
(1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由；(2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由．
【答案】(1)CB是∠ECD的角平分线；理由见详解；(2)∠ACE=∠DCE；理由见详解；
【分析】（1）根据∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分线，可知∠ECB=∠ACB=45°，进而可知∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，则∠ECB=∠DCB，由此可证CB是∠ECD的角平分线；
（2）由∠ACB=∠DCE=90°，可知∠ACE＋∠ECB=90°，∠DCB＋∠ECB=90°，则∠ACE=∠DCB．
（1）解：猜想CB是∠ECD的角平分线，理由如下：
∵∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ECB=∠ACB=45°，∴∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，
∴∠ECB=∠DCB，∴CB是∠ECD的角平分线；
（2）猜想：∠ACE=∠DCE，理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE＋∠ECB=90°，∠DCB＋∠ECB=90°，∴∠ACE=∠DCB．
【点睛】本题考查角平分线的判定，角度的转换，能够根据题意分析出角的变换过程是解决本题的关键．
变式1．（2022·山东威海·期末）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75°B．105°C．110°D．135°
【答案】C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．
【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；110°角用一副三角板不能画出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。故选：C．
【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．
变式2．（2022·山东济南·七年级期末）如图，将一副三角尺的两个直角项点O按如图方式叠放在一起，若∠AOC＝130°，则∠BOD＝（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【答案】B
【分析】根据题意可得，推算出的度数，即可得出的度数．
【详解】解：由题可知，，
∵∠AOC＝130°，∴
∴故选B．
【点睛】本题考查了角度的和差计算，推理出角度之间的关系是本题的关键．
题型11 与角平分线（角的和差）有关的计算
例1．（2022·辽宁大连市·）如图1，在内部作射线，，在左侧，且．
（1）图1中，若平分平分，则______；
（2）如图2，平分，探究与之间的数量关系，并证明；
（3）设，过点O作射线，使为的平分线，再作的角平分线，若，画出相应的图形并求的度数（用含m的式子表示）．
【答案】（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；
（3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可．
【详解】解：（1）∵，，∴，∴ ，
∵平分平分，∴，
∴，∴，故答案为：120；
（2）．
证明：∵平分，∴，
∵，∴．
∴．
∵，∴．
∵，∴，∴；
（3）如图1，当在的左侧时，
∵平分，∴，，∴，
∵，，
∴，∴，∴．
∵为的平分线，∴．∴；
如图2，当在的右侧时，∵平分，∴，
∵，∴，∵，，
∴，∴，∴．
∵为的平分线，．综上所述，的度数为或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析出各角之间的数量关系．
变式1．（2022·天津和平区·七年级期中）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD＝80°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数．（2）在图1中若∠AOC＝α（其中20°＜α＜100°），请直接用含α的代数式表示∠DOE的度数，不用说明理由．（3）如图2，①请直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，不用说明理由．②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF．试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，直接写出关系式即可，不用说明理由．
【答案】（1）10°；（2）α﹣10°；（3）①∠AOC＝2∠DOE+20°；②4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．
【分析】（1）由∠AOC的度数可以求得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度数，又由∠DOC＝80°可以求得∠DOE的度数；（2）由第（1）问的求法，可以直接写出∠DOE的度数；
（3）①首先写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，由∠COD＝80°，OE平分∠BOC，∠BOC+∠AOC＝180°，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；
②首先得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，由∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，∠COD＝80°，OE平分∠BOC，∠AOC和∠DOE的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系．
【详解】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．
∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC．∴∠COE＝70°．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝80°﹣70°＝10°．
（2）∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α．
∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC．∴∠COE＝90°﹣α．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝80°﹣90°+α＝α﹣10°．
（3）①∠AOC＝2∠DOE+20°．
理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE．
∵∠COD＝80°，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOE+∠COE＝80°，∠AOC+2∠COE＝180°∴∠COE＝80°﹣∠DOE．
∵∠AOC+2∠COE＝180°．∴∠AOC+2（80°﹣∠DOE）＝180°．化简，得：∠AOC＝2∠DOE+20°；
②4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．
理由：∵∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，∴∠AOC﹣2∠BOE＝5∠AOF．
∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOE，∴∠AOC﹣2∠EOC＝5∠AOF．
由（3）①知：∠AOC＝2∠DOE+20°，∴2∠DOE+20°﹣2∠EOC＝5∠AOF．
∵∠EOC＝∠COD﹣∠DOE＝80°﹣∠DOE，∴2∠DOE+20°﹣2（80°﹣∠DOE）＝5∠AOF．
∴4∠DOE﹣140°＝5∠AOF．即4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．
【点睛】此题主要考查角度的关系综合，解题的关键是熟知角平分线的性质、邻补角的特点．
变式2．（2022·广西南宁市·）如图，己知，是内的一条射线，且．
（1）求，的度数：（2）作射线平分，在内作射线，使得，求的度数；（3）过点作射线，若，求的度数．
【答案】（1），；（2）；（3）或
【分析】（1）由，即可求出，的度数；
（2）由，，求出；由平分,且，求出的度数；然后由得到结果；
（3）分类讨论，画出相关图形，当射线在内部时，根据条件，计算出相关角度，由，得到结果；当射线在外部时，由，得到结果．
【详解】解：（1）∵，
∴,
（2）∵，∴
又∵射线平分,且∴
∴
（3）分两种情况，讨论：①当射线在内部时，作图如下：

∵∴
又∵,且∴
∴，
又∵∴
②当射线在外部时，作图如下：
∵且∴
又∵∴
∴，
又∵∴
综上所述，或
【点睛】本题考查的是角度的计算，角平分线的性质等，利用分类讨论思想解题是关键．
题型12 余角、补角、对顶角的相关计算
例1．（2022·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：
①；②；③；
④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合即可判断①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合即可判断②正确；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，而∠AOF=∠DOF，
∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，即∠COE=∠BOE，所以①正确；
∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°，所以②正确；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线，∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确．
所以，正确的结论有3个．故选：C．
【点睛】题考查余角和补角、角度的计算、余角的性质及角平分线的定义等知识，准确识图是解题的关键．
变式1．（2022·江苏淮安·七年级期末）若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3，理由是_____．
【答案】同角的补角相等
【分析】根据补角的性质：同角的补角相等进行解答即可．
【详解】解：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3（同角的补角相等）．故答案为：同角的补角相等．
【点睛】本题考查了补角的定义和性质，解题时牢记同角的补角是解题关键．
例2．（2022·江苏洪泽区·七年级期末）（问题情境）
苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．
（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；
（变式探究）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝ °；
（变式拓展）小明继续探究：（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．
【答案】（1）45°；（2）；（3）
【分析】（1）首先假设∠AOC=a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，推出∠DOE即可；（2）首先假设∠AOC=a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，用m°表示∠DOE即可；（3）分三种情况讨论，第一种：OC在AM上，第二种：OC在AM下侧，∠MON之间，第三种：OC在∠AON之间，即可得到∠DOE，
【详解】解：（1）设∠AOC＝a°，则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+90°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC＝（a°+90°）﹣a°＝＝45°；
（2）设∠AOC＝a°，则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC＝（a°+m°）﹣a°＝，故答案为：；
（3）①当OC在AM上，即OC在∠BOM之间，设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC＝（a°+m°）﹣a°＝；

②当OC在直线AM下方，且OC在∠MON之间时，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝m°，
∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝∠AOC+∠AOB＝∠BOC＝；
③当OC在直线AM下方，且OC在∠AON之间时，
由②得，∠BOC＝m°，∠DOE＝∠AOC+∠AOB＝∠BOC＝；综上所述，∠DOE＝．
【点睛】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是引入参数a，即设∠AOC=a°，然后在计算中消掉a．
题型13 七巧板相关问题
例1．（2022·山东青岛·七年级期末）把一幅七巧板按如图所示方式进行编号，①～⑦号分别对应着七巧板的七块．如果编号⑤的面积比编号③的面积小6，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积为_________．
【答案】32
【分析】根据七巧板，可知小正方形的面积等于2个小三角形面积，中等三角形的面积等于2个小三角形面积，小平行四边形面积等于2个小三角形面积，一个大三角形面积等于4个小三角形面积求解即可．
【详解】解：设编号⑤对应的面积等于，编号③对应的面积等于，
编号⑤的面积比编号③的面积小6，，，
∴这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于．故答案为：．
【点睛】本题考查七巧板中的几何图形；能够理解七巧板的构图原理是解题的关键．
变式1．（2022·河南中原区·七年级期末）今年是牛年，在班级“牛年拼牛画”的活动中，小刚同学用一个边长为8cm的正方形做成的七巧板（如图1）拼成了一头牛的图案（如图2），则牛头部所占的面积为（ ）
A．4 cm2B．8 cm2C．16 cm2D．20 cm2
【答案】C
【分析】由图1的正方形的边长为8cm，可求正方形的面积，再根据牛头所占面积为正方形面积的可得
答案．
【详解】解：∵图1的正方形的边长为8cm，∴正方形的面积是64cm2，
由牛的拼法可知，牛的头部占正方形的，∴牛头部所占的面积是64×=16cm2，故选：C．
【点睛】本题是一道趣味性探索题，结合我国传统玩具七巧板，用七巧板来拼接图形，可以培养学生动手
能力，展开学生的丰富想象力．
变式2．（2022·福建宁德·七年级期末）七巧板是中国传统数学文化的重要载体．将一块正方形木板制成如图1所示的一副七巧板，小明选择该副七巧板中的若干块拼成了如图2所示的“帆船”图案，其中已经用上编号为①和③的两块，则拼成该“帆船”图案还需要的木块一定是（ ）
A．②⑥B．④⑥⑦C．⑤⑥⑦D．④⑤⑥
【答案】A
【分析】根据七巧板拼凑的方法及拼图的线条即可求解．
【详解】解：图2中“帆”的部分由两块大三角形组成，即图1中的①③④，左侧船体是一块小三角形，即③，右侧船体由于帆有一些重合，但根据线条形状不难看出是一个平行四边形，即⑥⑦，所以拼成该“帆船”图案还需要的木块一定是④、⑥和⑦，故选：A．
【点睛】本题考查了七巧板的运用，熟练掌握七巧板的拼凑方法是解题的关键．
1．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．∠BAC和∠DAE是同一个角 B．∠ABC和∠ACB不是同一个角
C．∠ABC可以用∠B表示 D．∠AED可以用∠E表示
【答案】D
【分析】根据角的表示方法，对四种说法逐一甄别．
【详解】解：A、∠BAC和∠DAE两边相同，顶点相同，故是同一个角，选项正确，不符合题意；
B、由∠ABC和∠ACB顶点不同即可判断二者并非同一角，选项正确，不符合题意；
、点处只有一个角，故可以用表示，选项正确，不符合题意；
D、由于以点为顶点的角有三个，故不可用表示，选项错误，符合题意；故选：D．
【点睛】此题考查角的表示方法，解题的关键是要明确，在同一顶点处有多个角时，只能用三个字母表示．
2．（2022·河北石家庄·一模）将量角器按如图方式放置，其中角度为45°的角是（ ）
A．∠AOBB．∠BOCC．∠CODD．∠DOE
【答案】B
【分析】根据量角器分别得出每个角的度数即可．
【详解】解：由量角器可知，∠AOB＝40°，∠BOC＝45°，∠COD＝55°，∠DOE＝35°，故选：B．
【点睛】本题主要考查角的概念，熟练掌握角的概念是解题的关键．
3．（2022·天津益中学校七年级期末）下列生产. 生活中的现象可用“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）
A．如图1，把弯曲的河道改直，可以缩短航程
B．如图2，用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上
C．如图3，植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线
D．如图4，将甲. 乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的
【答案】A
【分析】利用两点确定一条直线以及两点之间线段最短的性质得出即可．
【详解】解A. 把弯曲的河道改直，可以缩短航程，可用“两点之间，线段最短”来解释，故本选项符合题意；
B. 用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意；
C. 植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意；
D. 将甲. 乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的，可用“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意；故选：A
【点睛】此题主要考查了线段的性质，正确把握两点之间线段最短的性质是解题关键．
4．（2022·河北秦皇岛·七年级期末）往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备（ ）种不同的车票
A．4B．8C．10D．20
【答案】D
【分析】把甲乙两地看作是一条线段，线段上有3个点，先求出线段条数，再乘以2即是车票的种类．
【详解】解：把甲乙两地看作是一条线段，线段上有3个点，如图，
∴线段一共有（条），而，
∴需要准备20种不同的车票，故选D
【点睛】本题主要考查运用数学知识解决生活中的问题；关键是需要掌握正确数线段的方法．
2．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校期末）芳芳家位于琪琪家东偏北35°方向，则琪琪家位于芳芳家（ ）方向．
A．北偏东35°B．南偏西35°C．西偏南35°D．西偏南25°
【答案】C
【分析】根据方向的相对性，东偏北对西偏南，度数不变，进行分析．
【详解】芳芳家位于琪琪家东偏北35°方向，则琪琪家位于芳芳家西偏南35°方向．故选C．
【点睛】本题解题的关键是理解方向的相对性，地图上一般按上北下南左西右东确定方向．
3．（2022·上海理工大学附属初级中学期末）如图，点B在点A的（ ）方向．
A．北偏东35°B．北偏东55°C．北偏西35°D．北偏西55°
【答案】C
【分析】先求出55°的余角，再根据方向角的定义，即可解答．
【详解】解：由题意得：90°﹣55°＝35°，∴如上图，点B在点A的北偏西35°方向，故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
5．（2022·重庆·七年级期中）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】A
【分析】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间．
【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表： ，即时针转了24°，
∵分针每转动1°，时针转动 ，由此知：分针转动： ，
由每一大格对应30°知： ，即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置：
由此确定此时是10点53分；故答案为：A．
【点睛】此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键．
6．（2022·新疆·七年级期末）把一副三角板按照如图所示的位置摆放，使其中一个三角板的直角顶点放在另一个三角板的边上，形成的两个夹角分别为，，若，则的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．75°
【答案】A
【分析】根据题意可得，，即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，则，故选：A
【点睛】此题考查了涉及三角板的有关计算，解题的关键是掌握三角板中有关角的度数．
7．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，若，且，求的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据角的和差可得，又根据角的和差可得，再根据即可得．
【详解】解：，，，
，，
又，，，故选：A．
【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，正确找出图形中的角之间的联系是解题关键．
8．（2022·浙江金华·七年级期末）一张小凳子的结构如图所示，，，则( )
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】根据和互为补角，得，根据三角形内角和为，，得，即可求出的角度．
【详解】∵和互为补角∴∵∴
又∵在中，，∴∴故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、补角的知识，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理、补角的性质．
9．（2022·安徽合肥·七年级期末）若∠1与∠3互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠2的关系是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1与∠2互余C．∠1与∠2互补D．∠2－∠1＝90°
【答案】D
【分析】根据余解和补角的定义求解即可．
【详解】解：∠1与∠3互余，∠1＋∠3＝90°，∠3＝90°－∠1．
∠2与∠3互补，∠2＋∠3＝180°，∠2＋90°－∠1＝180°，即∠2－∠1＝90°．故选：D．
【点睛】本题考查余角和补角定义，两角的和等于90度，这两角和互为余角；两角和为180度，则这两角互为补角．
10．（2022·河北泊头初一期中）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有____________个．
【答案】6
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段六条，所以出现报警次数最多6次．
【解析】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，
∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA∴发出警报的点P最多有6个．故答案为：6．
【点睛】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．
11．（2022·浙江杭州市·七年级期中）工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在_________处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为A、B、C、D、E、F，6个，那么工具箱应该放在___________________，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？
【答案】C C与D之间
【分析】假设工具箱分别设置在A、B、C、D、E的位置，根据图示求出设置在以上位置时工人经过的总路程，然后进行比较即可；再根据题意及图示，分工具箱的安放位置在A与B之间，在B与C之间，在C与D之间，在D与E之间，在E与F之间进行讨论．
【详解】解：如图，
∵若放在A点，则总路程=AB+AC+AD+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB；
若放在B点，则总路程=AB+BC+BD+BE=AB+AB+2AB+3AB=7AB；
若放在C点，则总路程=AC+BC+CD+CE=2AB+AB+AB+2AB=6AB；
若放在D点，则总路程=DE+CD+BD+AD=AB+AB+2AB+3AB=7AB；
若放在E点，则总路程=DE+CE+BE+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB，
∴将工具箱放在C处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短．
如果工作台由5个改为6个，如图，
位置在A与B之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+BD+BE；
位置在B与C之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+CD+CE；
位置在C与D之间：拿到工具的距离和=AF+BE+CD；
位置在D与E之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CD；
位置在E与F之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CE；
∴将工具箱放在C与D之间，能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
12．（2022·甘肃·甘州中学七年级期末）钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了_____度，分针转了_____度，8点40分时针与分针所成的角是_____度．
【答案】 20 240 20
【分析】根据分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度，乘以走的时间即可求解
【详解】钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，钟表一圈有360度、60分钟、12个小时，所以分针转动的速度等于 度/分钟，时针转动的速度等于 度/分钟．由题意可知，时针和分针都走了40分钟，所以时针转了 度，分针转了 度，8点时时针与分针所形成的角是120度，所以8点40分时针与分针所形成的角是 度．
故答案为：20；240；20
【点睛】本题考查钟面角，需注意一开始时针与分针的位置不一定重合
13．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），给出以下结论：
①；②；③；④．
其中不正确的是_________．（写出序号）
【答案】①③④
【分析】根据三角板中角之间的关系解答即可．
【详解】解：∵，，
∴当时， ，故①不正确；
∵∴②正确；
∵∴③不正确；
∵，，∴∴④不正确；
综上所述：不正确的是①③④，故答案为：①③④
【点睛】本题考查三角板中角度的关系，解题的关键是结合图象找出角之间的关系．
14．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，射线OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD的度数为 _____．
【答案】60°##60度
【分析】设∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度数为x，由∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOC＋∠AOD＋∠BOD＝200°求出x，进而求解．
【详解】解：∵OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
设∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度数为x，
∴∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOC＋∠AOD＋∠BOD＝x＋x＋x＋2x＋3x＋2x＝10x＝200°，
∴x＝20°，∴∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝3x＝60°，故答案为：60°．
【点睛】本题考查角的计算，解题关键是根据图象列出所有锐角和为200°．
15．（2022·湖北黄石·七年级期末）如图是用一副七巧板拼成的正方形，边长是10cm．图中小正方形（涂色部分）的面积是 ．
【答案】12.5
【分析】如图，将正方形分成4个大三角形，再将右面的三角形分成4个小三角形，阴影部分占2个小三角形，所以占右下大三角形的一半，它的面积就用正方形的面积除以4再除以2求得．
【详解】解：正方形的面积为10×10=100（）
∴100÷4÷2=12.5（）∴涂色正方形的面积是12.5．故答案为：12.5．
【点睛】本题考查了七巧板，利用了正方形的性质和等腰直角三角形的性质．解答本题的关键是把阴影部分的面积转化为正方形面积的几分之几．
16．（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有______个角．
【答案】
【分析】首先分析在∠AOB的内部以O端点引1条射线，有1+2个角，引2条线段，有1+2+3个角，···进而得出引n条线段，有角的个数，得出答案即可．
【详解】在∠AOB的内部以O端点引1条射线，有1+2=3（个）角，
引2条线段，有1+2+3=6（个）角，···
引n条线段，有（个）角，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数角的个数，掌握数字变化规律式解题的关键．
17．（2022·河北承德·七年级期末）（1）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
①画直线AB；②画射线DC交直线AB于点E；③连接BD，反向延长BD到点F，使得BF=BD．
（2）如图，某小区将铺设一个长方形绿化带，四个角都铺一块半径相同的四分之一圆形的花卉区，其余地带都铺设草坪．若圆形的半径为R，长方形的长为a，宽为b．
①用式子表示花卉区的面积为______，草坪的面积为________；
②若长方形的长为，宽为，圆形的半径为，铺设每平方m草坪的费用是10元，求铺设草坪大约共需支付多少钱？（）．
【答案】（1）见解析；（2）①πR2；ab-πR2．②铺设草坪大约共需支付47000元．
【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义画出图形即可．
（2）①利用圆的面积公式可求得花卉区的面积，根据草坪的面积等于长方形的面积减去花卉区的面积即可求解；
②根据题①的结论，将相应的数代入计算即可得．
【详解】解：（1）①直线AB如图所示：
②如图所示；③如图所示；
（2）①花卉区的面积为πR2；
草坪的面积=长方形的面积-花卉区的面积=ab-πR2，故答案为：πR2；ab-πR2．
②当a=100m，b=50m，R=10m时，
草坪的面积=100×50-π×102=5000-100π（m2），
铺设草坪大约共需支付10×(5000-100π)≈47000(元) ．
∴铺设草坪大约共需支付47000元．
【点睛】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段的定义以及列代数式、代数式求值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，依据题意，正确列出代数式．
18．（2022·山东东昌府区·七年级期末）如图，点C为线段AB上一点，AC=16cm，CB=10cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若AC+BC=bcm，其他条件不变，求出线段MN的长并说明理由．
【答案】（1）13cm；（2）bcm，理由见解析
【分析】（1）根据线段中点求出CM、CN长，相加即可求出答案；
（2）根据线段中点得出CM=AC，CN=BC，求出MN=（AC+BC），代入即可得出答案．
【详解】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC=16cm，CB=12cm，
∴CM=AC=16cm，CN=BC=10cm，∴MN=CM+CN=16cm+10cm=13cm，即线段MN的长是13cm；
（2）∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC+CB=bcm，∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=（AC+BC）=bcm，即线段MN的长是bcm．
【点睛】本题考查了线段中点定义和两点间的距离的应用，主要考查学生的计算能力，本题比较典型，是一道比较好且比较容易出错的题目．
19．（2022·河北石家庄市·七年级期中）如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长 cm；
（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；
（3）小明由（1）（2）猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，线段MN的长与（2）中结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．
【答案】（1）16；（2）MN＝6cm；（3）同意，理由见解析
【分析】（1）根据线段中点的定义可求解AP的长，进而可求解AB的长；（2）根据线段中点的定义可求得AB=2MN，即可求解MN的值；（3）可分两种情况：当P点在线段AB延长线上时，当P点在线段BA延长线上时，根据中点的定义求解M，N两点间的距离．
【详解】解：（1）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP=2MP，BP=2PN，
∵MP=4cm，∴AP=8cm，∵P为AB的中点，∴AB=2AP=16cm，故答案为：16；
（2）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP+BP=2MP+2PN=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm；
（3）同意．理由：当P点在线段AB延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，∴AP-BP=2MP-2PN=2MN，即AB=2MN，
∵AB=12cm，∴MN=6cm；
当P点在线段BA延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP=2MP，BP=2PN，
∴BP-AP=2PN-2MP=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点，由线段中点的定义求解两点间的距离是解题的关键．
20．（2022·山东郓城县·七年级期末）某摄制组从市到市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到地），过了小镇，汽车赶了千米，傍晚才停下来休息（休息处），司机说：再走从地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：，两市相距多少千米．
【答案】A，B两市相距600千米．
【分析】根据题意可知DE的距离且可以得到，，，由计算即可得出结果．
【详解】如图，由题意可知，千米，，，
∴ （千米）
∴ （千米）
答：A，B两市相距600千米．
【点睛】本题考查了求解线段长度在实际生活中的应用，能够找出线段之间的等量关系是解题关键．
21．（2022·陕西秦都区·七年级期中）如图，已知是的角平分线，是的角平分线．
（1）若，，求的度数；
（2）若，且，求的度数．
【答案】（1）100°；（2）22.5°
【分析】（1）由角平分线的定义可知∠BOC=2∠COD，∠AOC=2∠AOE，根据∠AOB=∠AOC-∠BOC易得结果；（2）由角平分线定义，设∠COD=∠BOD=x．得∠BOE=45°−x，∠COE=45°+x．∠AOE=∠COE=45°+x再根据题意∠AOC+∠BOC=180°，列方程，求出x，即可得．
【详解】解：（1）因为是的角平分线，，所以．
因为是的角平分线，所以．
所以．
（2）因为是的角平分线，所以设．
因为，所以，．
因为是的角平分线，所以
因为，所以，
所以，即．
【点睛】本题考查了角平分线知识，关键是根据题意，由角平分线得定义得出角之间的等量关系，从而根据等量关系求出角的度数．
22．（2022·成都市七中育才学校七年级期末）如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：
（1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °；
（2）当与在同一直线上时，求的值； （3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)
【答案】（1）6，0.5；（2）的值为；（3）的值为或
【分析】（1）由题意根据分针每60分钟转动一圈，时针每12小时转动一圈进行分析计算；
（2）由题意与在同一直线上即与所围成的角为180°，据此进行分析计算；
（3）根据题意分当时以及当时两种情况进行分析求解.
【详解】解：（1）由题意得分针每分钟转动：；
时针每分钟转动：.故答案为：6，0．5.
（2）当与在同一直线上时，时针转了度，即
分针转了度，即 ∴ 解得， ∴的值为．
（3）①当时， ∵ ∴∴；
②当时，∵
∴∴；∴综上所述，符合条件的的值为或.
【点睛】本题考查钟表角的实际应用，根据题意熟练掌握并运用方程思维进行分析是解答此题的关键.
23．（2022·广西贵港·七年级期末）.如图1，在∠AOB中，OC是∠AOB内部任意一条射线，ON、OM分别平分∠AOC和∠BOC．
(1)若∠AOB=100°，求∠MON的度数．
(2)若∠AOB=ɑ，直接写出∠MON的度数= （结果用含α的代数式表示）．
(3)若射线OC在∠AOB外部（∠BOC＜180°），其它条件不变，如图2所示，∠AOB=，求∠MON的度数（结果用含的代数式表示）．
【答案】(1)50°
(2)
(3)或
【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根据，即可计算；
（2）根据（1）中的结论直接得到答案；
（3）根据角平分线的性质可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根据角的和差计算．
（1）
解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，
所以∠MON=∠COM+∠CON
=∠BOC+∠AOC
=（∠BOC+∠AOC）
=
=50°；
（2）
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，
所以∠MON=∠COM+∠CON
=∠BOC+∠AOC
=（∠BOC+∠AOC）
=
=；
故答案为：；
（3）
如图2所示：
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，
所以∠MON=∠COM﹣∠CON
=∠BOC﹣∠AOC
=（∠BOC﹣∠AOC）
=
=．
如图3所示，
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，
所以∠MON=∠COM+∠CON
=∠BOC+∠AOC
=（∠BOC+∠AOC）
=
=，
综上所述，∠MON的度数或．
【点睛】本题考查角的和差计算，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和理解角的和差运算是解题的关键．
24．（2022·辽宁抚顺县·七年级期末）如图1，A、O、B三点在同一直线上，∠BOD与∠BOC互补．
（1）请判断∠AOC与∠BOD大小关系，并验证你的结论；
（2）如图2，若OM平分∠AOC，ON平分∠AOD，∠BOD＝30°，请求出∠MON的度数．
【答案】（1）∠AOC＝∠BOD，证明见解析；（2）60°
【分析】（1）根据补角的性质即可求解；
（2）根据角平分线的定义以及等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下：
∵A，O，B三点共线，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC与∠BOC互补，
∵∠BOD与∠BOC互补，∴∠AOC＝∠BOD；
（2）∵∠BOD＝30°，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵OM平分∠AOC，∴，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠AOD＝180°﹣30°＝150°，
∵ON平分∠AOD，∴，∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°．
【点睛】本题考查的是角的有关计算和角平分线的定义，理解并灵活运用角平分线的定义是解题的关键．
25．（2022·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线，相交于点O，．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图1，请直接写出图中所有互余的角；
(3)如图2，若射线在的内部，且，请比较与的大小并说明理由．
【答案】(1)
(2)和互余，和互余，和互余，和互余；
(3)，见解析
【分析】（1）根据题意得，再求出，即可得；
（2）根据互余的定义“如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角”，和角之间的关系进行计算即可得；
（3）根据，得，设，则，，根据得，进而得出．
（1）
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）
解：∵，
∴，
，
∴和互余，
和互余，
∵，
∴，
，
∴和互余，
和互余，
综上，和互余，和互余，和互余，和互余；
（3）
，理由如下：
解：∵，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查了角之间的运算，互余，解题的关键是掌握这些知识点．